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4.07正弦定理余弦定理(复习设计)


SCH 南极数学 2017 届理科高考一轮复习第四章《三角函数》

NO4.07 正弦定理余弦定理(复习设计) [知识梳理] 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为△ABC 外接圆半径,则 定理 正弦定理 a b c = = =2R sin A sin B sin C 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos_A; 内容 b2=c2+a2-2cacos_B; c2=a2+b2-2abcos_C (1)a=2Rsin A, b=2Rsin_B, c=2Rsin_C; 变形 a b c (2)sin A= ,sin B= ,sin C= ; 2R 2R 2R (3)a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C; (4)asin B=bsin A, bsin C=csin B, asin C=csin A 1 1 1 abc 1 2.S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+c)· r(r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R、r. 2 2 2 4R 2 3.在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 图形 关系式 解的个 数 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × (2)在△ABC 中,若 sin A>sin B,则 A>B.( √ ) (3)在△ABC 的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( × ) (4)当 b2+c2-a2>0 时,三角形 ABC 为锐角三角形;当 b2+c2-a2=0 时,三角形为直角三角形;当 b2+c2-a2<0 时, 三角形为钝角三角形.( × ) )
1

b2+c2-a2 cos A= ; 2bc c2+a2-b2 cos B= ; 2ac a2+b2-c2 cos C= 2ab

A 为钝角或直角

a=bsin A 一解

bsin A<a<b 两解

a≥b 一解

a> b 一解

)

(5)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.( √

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[考点自测] π 1.在△ABC 中,a=3 3,b=3,A= ,则 C 为( 3 π A. 6 π C. 2 答案 C 3 3 3 解析 由正弦定理得 = , sin B π sin 3 1 ∴sin B= , 2 π π ∵a>b,0<B< ,∴B= . 3 6 π π? π ∴C=π-(A+B)=π-? ?3+6?=2. 2.(2015· 合肥模拟)在△ABC 中,A=60° ,AB=2,且△ABC 的面积为 A. 3 2 B. 3 D.2 3 ,则 BC 的长为( 2 ) π B. 4 2π D. 3 )

C.2 3 答案 B

1 解析 因为 S= ×AB×ACsin A 2 1 3 3 = ×2× AC= ,所以 AC=1, 2 2 2 所以 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos 60° =3, 所以 BC= 3. sin 2A 3.(2015· 北京)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则 =________. sin C 答案 1 解析 由余弦定理: b2+c2-a2 25+36-16 3 cos A= = = , 2bc 4 2×5×6 ∴sin A= 7 , 4

a2+b2-c2 16+25-36 1 cos C= = = , 2ab 8 2×4×5

2

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3 7 sin 2A ∴sin C= ,∴ = 8 sin C

3 7 2× × 4 4 =1. 3 7 8

4.(教材改编)△ABC 中,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为________三角形. 答案 直角 解析 由已知得 sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A, ∴sin(B+C)=sin2A,∴sin A=sin2A, π 又 sin A≠0,∴sin A=1,A= , 2 ∴△ABC 为直角三角形. 5.(2015· 杭州二中高中第二次月考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 bcos C+ 3bsin C-a- c=0,则角 B=________. 答案 π 3

解析 由正弦定理知, sin Bcos C+ 3sin Bsin C-sin A-sin C=0. ∵sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 代入上式得 3sin Bsin C-cos Bsin C-sin C=0. ∵sin C>0,∴ 3sin B-cos B-1=0, π? ? π? 1 ∴2sin? ?B-6?=1,即 sin?B-6?=2. π ∵B∈(0,π),∴B= . 3 [例题选讲] 题型一 例1 利用正弦定理、余弦定理解三角形 )

(1)在△ABC 中,已知 a=2,b= 6,A=45° ,则满足条件的三角形有( B.2 个 D.无法确定

A.1 个 C.0 个

(2)在△ABC 中,已知 sin A∶sin B= 2∶1,c2=b2+ 2bc,则三内角 A,B,C 的度数依次是________. 1 π (3)(2015· 广东)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a= 3,sin B= ,C= ,则 b=________. 2 6 答案 解析 (1)B (2)45° ,30° ,105° (3)1 (1)∵bsin A= 6× 2 = 3,∴bsin A<a<b. 2

∴满足条件的三角形有 2 个. (2)由题意知 a= 2b,a2=b2+c2-2bccos A, 即 2b2=b2+c2-2bccos A,
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又 c2=b2+ 2bc, ∴cos A= 2 1 ,A=45° ,sin B= ,B=30° ,∴C=105° . 2 2

1 π 5π (3)因为 sin B= 且 B∈(0,π),所以 B= 或 B= . 2 6 6 π π 2π 又 C= ,B+C<π,所以 B= ,A=π-B-C= . 6 6 3 a b 3 b 又 a= 3,由正弦定理得 = ,即 = , sin A sin B 2π π sin sin 3 6 解得 b=1. 思维升华 (1)判断三角形解的个数的两种方法

①代数法:根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断. ②几何图形法:根据条件画出图形,通过图形直观判断解的个数. (2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理,也可用余弦定理.用正弦定理时,需判断其解的 个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情况判断解的个数. (1)已知在△ABC 中,a=x,b=2,B=45° ,若三角形有两解,则 x 的取值范围是( A.x>2 C.2<x<2 2 B.x<2 D.2<x<2 3 )

(2)在△ABC 中,A=60° ,AC=2,BC= 3,则 AB=________. 答案 解析 (1)C (2)1 (1)若三角形有两解,则必有 a>b,∴x>2,

a x 2 又由 sin A= sin B= × <1, b 2 2 可得 x<2 2, ∴x 的取值范围是 2<x<2 2. (2)∵A=60° ,AC=2,BC= 3, 设 AB=x,由余弦定理,得 BC2=AC2+AB2-2AC· ABcos A, 化简得 x2-2x+1=0, ∴x=1,即 AB=1. 题型二 例2 和三角形面积有关的问题

π 1 (2015· 浙江)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 A= ,b2-a2= c2. 4 2

(1)求 tan C 的值; (2)若△ABC 的面积为 3,求 b 的值. 解 1 (1)由 b2-a2= c2 及正弦定理得 2
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1 1 sin2B- = sin2C. 2 2 所以-cos 2B=sin2C.① π 3 又由 A= ,即 B+C= π,得 4 4 3 ? -cos 2B=-cos2? ?4π-C? 3 ? =-cos? ?2π-2C? =sin 2C=2sin Ccos C,② 由①②解得 tan C=2. (2)由 tan C=2,C∈(0,π)得 2 5 5 sin C= ,cos C= , 5 5 π ? 因为 sin B=sin(A+C)=sin? ?4+C?, 3 10 所以 sin B= , 10 2 2 由正弦定理得 c= b, 3 π 1 又因为 A= , bcsin A=3, 4 2 所以 bc=6 2,故 b=3. 思维升华 1 1 1 (1)对于面积公式 S= absin C= acsin B= bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. 2 2 2 (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求 C 和 BD; (2)求四边形 ABCD 的面积. 解 (1)由题设 A 与 C 互补及余弦定理得

BD2=BC2+CD2-2BC· CDcos C=13-12cos C,① BD2=AB2+DA2-2AB· DAcos A=5+4cos C.② 1 由①②得 cos C= ,BD= 7, 2 因为 C 为三角形内角,故 C=60° . (2)四边形 ABCD 的面积 1 1 S= AB· DAsin A+ BC· CDsin C 2 2
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1 1 ? =? ?2×1×2+2×3×2?sin 60° =2 3. 题型三 正弦、余弦定理的简单应用

命题点 1 判断三角形的形状 例3 c (1)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 <cos A,则△ABC 为( b B.直角三角形 D.等边三角形 ) )

A.钝角三角形 C.锐角三角形

B a+c (2)在△ABC 中,cos2 = (a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为( 2 2c A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 答案 解析 (1)A (2)B

c sin C (1)已知 <cos A,由正弦定理,得 <cos A,即 sin C<sin Bcos A,所以 sin(A+B)<sin Bcos A,即 sin Bcos A b sin B

+cos Bsin A-sin Bcos A<0,所以 cos Bsin A<0.又 sin A>0,于是有 cos B<0,B 为钝角,所以△ABC 是钝角三角形. B 1+cos B B a+c (2)∵cos2 = ,cos2 = , 2 2 2 2c ∴(1+cos B)· c=a+c, a2+c2-b2 ∴a=cos B· c= , 2a ∴2a2=a2+c2-b2, ∴a2+b2=c2, ∴△ABC 为直角三角形. 命题点 2 求解几何计算问题 例4 (2015· 课标全国Ⅱ)如图,在△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的 2 倍.

sin B (1)求 ; sin C (2)若 AD=1,DC= 解 2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

1 (1)S△ABD= AB· ADsin∠BAD, 2

1 S△ADC= AC· ADsin∠CAD. 2 因为 S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD, 所以 AB=2AC.
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sin B AC 1 由正弦定理可得 = = . sin C AB 2 (2)因为 S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以 BD= 2. 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理,知 AB2=AD2+BD2-2AD· BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD· DCcos∠ADC. 故 AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6, 由(1)知 AB=2AC,所以 AC=1. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法

①化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. ②化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用 A+B+C=π 这个结论. (2)求解几何计算问题要注意 ①根据已知的边角画出图形并在图中标示; ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理. (1)(2015· 马鞍山模拟)在△ABC 中, 内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c,若 c-acos B=(2a-b)cos A,则△ABC 的形状为( )

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 2 2 (2)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC,sin∠BAC= ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为______. 3

答案 解析

(1)D (2) 3 (1)∵c-acos B=(2a-b)cos A,

C=π-(A+B), ∴由正弦定理得 sin C-sin Acos B =2sin Acos A-sin Bcos A, ∴sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B =2sin Acos A-sin Bcos A ∴cos A(sin B-sin A)=0, ∴cos A=0 或 sin B=sin A, π ∴A= 或 B=A 或 B=π-A(舍去), 2 ∴△ABC 为等腰或直角三角形. π (2)sin∠BAC=sin( +∠BAD)=cos∠BAD, 2
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2 2 ∴cos∠BAD= . 3 BD2=AB2+AD2-2AB· ADcos∠BAD 2 2 =(3 2)2+32-2×3 2×3× , 3 即 BD2=3,BD= 3. [巩固作业] A 组 专项基础训练(时间:35 分钟) 1 1.在△ABC 中,若 a=4,b=3,cos A= ,则 B 等于( 3 π A. 4 π C. 6 答案 A 1 解析 因为 cos A= ,所以 sin A= 3 由正弦定理,得 所以 sin B= 4 3 = , sin A sin B 1 2 2 1- = , 9 3 π B. 3 2π D. 3 )

2 , 2

π π 又因为 b<a,所以 B< ,B= ,故选 A. 2 4 2.设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 b+c=2a,3sin A=5sin B,则角 C 等于( 2π π 3π 5π A. B. C. D. 3 3 4 6 答案 A 3 7 解析 因为 3sin A=5sin B,所以由正弦定理可得 3a=5b.因为 b+c=2a, 所以 c=2a- a= a.令 a=5, b=3,c=7, 5 5 1 2π 则由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C,得 49=25+9-2×3×5cos C,解得 cos C=- ,所以 C= . 2 3 3.若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,则△ABC( A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 答案 C a b c 解析 由正弦定理 = = =2R(R 为△ABC 外接圆半径)及已知条件 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,可 sin A sin B sin C 设 a=5x,b=11x,c=13x(x>0).
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)

)

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?5x?2+?11x?2-?13x?2 -23x2 则 cos C= = <0, 2· 5x· 11x 110x2 ∴C 为钝角. ∴△ABC 为钝角三角形. π 4.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c2=(a-b)2+6,C= ,则△ABC 的面积是( 3 A.3 3 3 C. 2 答案 C 解析 ∵c2=(a-b)2+6, ∴c2=a2+b2-2ab+6.① π ∵C= , 3 π ∴c2=a2+b2-2abcos =a2+b2-ab.② 3 由①②得-ab+6=0,即 ab=6. 1 1 3 3 3 ∴S△ABC= absin C= ×6× = . 2 2 2 2 c-b sin A 5.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 = ,则 B 等于( c-a sin C+sin B π π π 3π A. B. C. D. 6 4 3 4 答案 C a b c 解析 根据正弦定理 = = =2R, sin A sin B sin C 得 c-b sin A a = = , c-a sin C+sin B c+b ) 9 3 B. 2 D.3 3 )

即 a2+c2-b2=ac, a2+c2-b2 1 得 cos B= = , 2ac 2 π 故 B= ,故选 C. 3 6.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B= 3ac,则角 B 的值为________. 答案 π 2π 或 3 3

a2+c2-b2 解析 由余弦定理,得 =cos B, 2ac 结合已知等式得 cos B· tan B= 3 , 2
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∴sin B=

3 π 2π ,∴B= 或 . 2 3 3

7.(2015· 天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为 3 15,b-c=2,cos A 1 =- ,则 a 的值为________. 4 答案 8 1 15 解析 ∵cos A=- ,0<A<π,∴sin A= , 4 4 1 1 15 S△ABC= bcsin A= bc× =3 15,∴bc=24, 2 2 4 又 b-c=2,∴b2-2bc+c2=4,b2+c2=52, 由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A 1? =52-2×24×? ?-4?=64, ∴a=8. 8.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面 积的最大值为________. 答案 3

解析 由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)· c. ∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,即 b2+c2-a2=bc. b2+c2-a2 1 由余弦定理,得 cos A= = . 2bc 2 ∴sin A= 3 . 2

由 b2+c2-bc=4,得 b2+c2=4+bc. ∵b2+c2≥2bc,即 4+bc≥2bc,∴bc≤4. 1 ∴S△ABC= bc· sin A≤ 3,即(S△ABC)max= 3. 2 9. 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.已知 a≠b, c= 3, cos2A-cos2B= 3sin Acos A- 3sin Bcos B. (1)求角 C 的大小; 4 (2)若 sin A= ,求△ABC 的面积. 5 解 (1)由题意得

1+cos 2A 1+cos 2B 3 3 - = sin 2A- sin 2B, 2 2 2 2 即 3 1 3 1 sin 2A- cos 2A= sin 2B- cos 2B, 2 2 2 2

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π? π? ? sin? ?2A-6?=sin?2B-6?. 由 a≠b,得 A≠B,又 A+B∈(0,π), π π 所以 2A- +2B- =π, 6 6 2π 即 A+B= , 3 π 所以 C= . 3 4 a c 8 (2)由 c= 3,sin A= , = ,得 a= , 5 sin A sin C 5 3 由 a<c,得 A<C,从而 cos A= , 5 故 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C = 4+3 3 , 10

8 3+18 1 所以,△ABC 的面积为 S= acsin B= . 2 25 π 10.如图,在△ABC 中,B= ,AB=8,点 D 在 BC 边上,且 CD=2, 3 1 cos∠ADC= . 7 (1)求 sin∠BAD; (2)求 BD、AC 的长. 解 (1)在△ADC 中,

1 因为 cos∠ADC= , 7 4 3 所以 sin∠ADC= . 7 所以 sin∠BAD=sin(∠ADC-B) =sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B = = 4 3 1 1 3 × - × 7 2 7 2 3 3 . 14

(2)∵∠ADB+∠ADC=π, 4 3 ∴sin∠ADB=sin∠ADC= . 7 在△ABD 中,由正弦定理得

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3 3 8× 14 AB· sin∠BAD BD= = =3. sin∠ADB 4 3 7 在△ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos B 1 =82+(2+3)2-2×8×5× =49. 2 所以 AC=7.

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