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高三数学小练习20121109


高三数学练习(2012.11 月江苏试题选) 1.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(4)=1,f’(x)为 f(x)的导函数,已知 y=f’(x)的图像如图所示,若两个
b ?1 1 正数 a、b 满足 f(2a+b)<1,则 的取值范围是 ( ,5) . y a ?1 3 2.已知定义域为 R 的函数 y ? f ( x) ,则下列命题: ①若 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) 恒成立,则函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x=1 对称;②若 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ? 0 恒成立,则函数 y ? f ( x) 的图 x O 像关于(1,0)对称;③函数 y ? f ( x ? 1) 的图像与函数 y ? f (1 ? x) 的 图像关于 y 轴对称;④若 f (1 ? x) ? f ( x ?1) ? 0 恒成立。则函数 y ? f ( x) 以 4 为周期。
其中真命题有② ④ . 3. 下列说法: ①当 x ? 0 且 x ? 1 时, ln x ? 有

10. ?ABC 内接于以 P 为圆心,半径为 1 的圆,且 3PA ? 4PB ? 5PC ? 0 ,则 ?ABC 面积为 6/5. 11.若已知 a, b, c ? 0 ,则

a2 ? b2 ? c2 的最小值为 ab ? 2bc
2 2 2

2 5 5



12.当且仅当 a ? r ? b 时,在圆 x ? y ? r (r ? 0) 上恰好有两点到直线 2x+y+5=0 的距离为 1, 则 a ? b 的值为

2 5 .

13.设实数 a ? 1 ,若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x ? ? a, 3 a? ,都有 y ? [ a, a2 ] 满足方程

log a x ? log a y ? c ,这时,实数 a 的取值的集合为

{3}



1 ? 2 ; ②函数 y ? a x 的图象可以由函数 y ? 2a x ln x (其中 a ? 0 且 a ? 1 )平移得到;③若对 x ? R ,有 f ( x ? 1) ? ? f ( x), 则 f (x) 的周期为 2;
④ “若 x ? x ? 6 ? 0 , x ? 2 ”的逆否命题为真命题; 则 ⑤函数 y ? f (1 ? x) 与函数 y ? f (1 ? x)
2

14.已知关于 x 的实系数一元二次不等式 ax 2 ? bx ? c≥0 (a ? b) 的解集为 R , 则 M ? a ? 3b ? 4c 的最小值是 2 5? 5 . b?a 15.数列 {an } 满足 an ?1 ? (?1) an ? 2n ? 1 ,则 {an } 的前 60 项的和为___1830___.
n

的图象关于直线 x ? 1 对称. 4.已知直线 y ? x 与函数 g x) ? (

其中正确的命题的序号

23 .

2 ( x ? 0) 和图象交于点 Q,P、M 分别是直线 y ? x 与函数 x

16.不等式 x ? 1 ? a x ? 1 对任意的 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围是_ (??,?2] ___.
2

2 ( g x) ? ( x ? 0) 的图象上异于点 Q 的两点,若对于任意点 M,PM≥PQ 恒成立,则点 P 横坐标 x
的取值范围是

? ??, 2 ? ? ?

2, 2 2 ? ?


A D

17.设函数 f ( x) ?

( x ? 1) 2 ? sin x 的最小值为 m ,最大值为 M ,则 m ? M = ___2___. x2 ? 1
2

π 5.在△ABC 中, ?A ? ,D 是 BC 边上任意一点(D 与 B、C 不重合) , 6 ??? ? ???? ??? ???? ? 且 | AB |2 ?| AD |2 ? BD ? DC ,则 ?B 等于 . f ( x) 6.设函数 f ( x) ? x ? 2ex ? mx ? ln x ,记 g ( x) ? ,若函数 g ( x) 至少存 x 在一个零点,则实数 m 的取值范围是 .
3 2

18.已知函数 g ( x ) ? x ? 2 ,若 g (a) ? g (b) ,且 0 ? a ? b ,则满足条件的点 (a, b) 构成平面区 域的面积为_____ ? / 2 _.
C

B

E

→ → 19.△ABC 的外心为 O,AB=2,AC=3,BC= 7,则AO· 等于( 2.5 ) . BC 20.关于 x 的不等式 ax ?b ? 0 解集是 (1, ??) ,则关于 x 的不等式

ax ? b ? 0 解集是 (?1,2) . x?2

7.已知 ?ABC 的面积为 1,点 D 在 AC 上, DE // AB ,连结 BD ,设 ?DCE 、?ABD 、?BDE 中面积最大者的值为 y ,则 y 的最小值为

3? 5 . 2
( 2 , 3)


21.二次不等式 ax2 ? 2 x ? b ? 0 的解集为 ? x x ? ? ? ,且 a ? b ,则

? ?

1? a?

a2 ? b2 的最小值为_ 2 2 . a ?b

8.在锐角 ?ABC 中,若 A ? 2B ,则 a/b 的取值范围是

22.曲线 C : y ?

9.已知函数 f (x) 在定义域 (0,??) 上是单调函数,若对任意 x ? (0,??) ,都有 f [ f ( x) ? 1/ x] ? 2 , 则 f (1/ 5) 的值是 6 .

b ( a ? 0, b ? 0 )与 y 轴的交点关于原点的对称点称为“望点” ,以“望点” x ?a 为圆心,凡是与曲线 C 有公共点的圆,皆称之为“望圆” ,则当 a ? 1, b ? 1 时,所有的“望圆” 中,面积最小的“望圆”的面积为___ 3? _.

1

???? 1 ??? ??? ? ? ? 23.已知△ABC 中, A(0,1), B(2, 4)C (6,1) ,P 为平面上任意一点,M、N 分别使 PM ? ( PA ? PB) , 2
???? ??? ? ? ???? 1 ??? ??? ??? ? ? ? PN ? ( PA ? PB ? PC ) ,给出下列相关命题:① MN // BC ;②直线 MN 的方程为 3x ? 10 y ? 28 ? 0 ; 3 ??? ???? ? ③直线 MN 必过△ABC 的外心;④向量 ? ( AB ? AC )(? ? 0) 所在射线必过 N 点,上述四个命题中正确

a a ? 30. 已知等差数列 {an } 的首项为 1 , 公差为 2 , aa2 ? 2a3 ? 3a4 a4a5 若 1
对 n ? N 恒成立,则实数 t 的取值范围是
*

????

?a2 n a2 n?1 ? t ? n2

的是

_____.(将正确的选项全填上) .②

24.如图,在四边形 ABCD 中,AD=8,CD=6,AB=13,∠ADC=90° ,且 ??? ???? ? (1)求 sin∠BAD 的值; (2)设△ABD 的面积为 S△ABD,△BCD AB ? AC ? 50 . S 的面积为 S△BCD,求 ?ABD 的值. S ?BCD 25. 数列 {an } 中, 如果存在 ak , “ ak ? ak ?1 且 ak ? ak ?1 ” (其中 k ? 2 , 使得 成立
2 , (1)若 an ? ?3n ? 11n , {an } 的峰 则 k ? N? ) 则称 ak 为 {an } 的一个峰值.

B C

(? ?, ?1 2 ] . 解: a1a2 ? a2 a3 ? a3a4 ? a4 a5 ? ??? ? a2 n a2 n ?1 ? a2 (a1 ? a3 ) ? a4 (a3 ? a5 ) ? ??? ? a2 n (a 2 n ?1 ?a2 n ?1 ) a ? a2 n ? ?4(a2 ? a4 ? ? ? a2 n ) ? ?4 ? 2 ? n ? ?8n2 ? 4n , 2 4 2 2 * 所以 ?8n ? 4n ? tn ,所以 t ? ?8 ? 对 n ? N 恒成立, t ? ?12 , n x2 y2 31.设 x, y 是正实数,且 x ? y ? 1 ,则 的最小值是 1/4 . ? x ? 2 y ?1 解:设 x ? 2 ? s , y ? 1 ? t ,则 s ? t ? 4 ,
所以 因为

A

D

x2 y 2 ( s ? 2)2 (t ? 1)2 4 1 4 1 4 1 ? ? ? ( s ? 4 ? ) ? (t ? 2 ? ) ? ( s ? t ) ? ( ? ) ? 6 ? ( ? ) ? 2 。 = x ? 2 y ?1 s t s t s t s t
x2 y2 1 4 1 1 4 1 1 4t s 9 ? ? 。 ? ? ( ? )( s ? t ) ? ( ? ? 5) ? , 所以 x ? 2 y ?1 4 s t 4 s t 4 s t 4

值为
{t | t ?

10

; (2) 若 an ? t ln n ? n , {an } 不 存 在 峰 值 , 实 数 t 的 取 值 范 围 是 且 则

1 1 或t ? , n ? N*且n ? 2} n ?1 ln 2 ln( ) n .

26.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点, 使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的取值范围是( 解∵圆 C 的方程可化为: ? x ? 4 ? ? y ? 1 ,∴圆 C 的圆心为 (4, 0) ,半径为 1.
2 2

π 32.已知直线 x=a(0<a< )与函数 f(x)=sinx 和函数 g(x)=cosx 的图象分别交于 M,N 两点, 2 1 若 MN= ,则线段 MN 的中点纵坐标为 7/10 . 5 33.已知函数 f(x)=2x2+m 的图象与函数 g(x)=ln|x|的图象有四个交点, 1 则实数 m 的取值范围为 (-∞,- -ln2) . 2 34.已知直线 y=a 与函数 f ( x) ? 2 x 及函数 g ( x) ? 3 ? 2 x 的图象分别相交于 A,B 两点,



∵由题意,直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点 A( x0 , kx0 ? 2) ,以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有 公共点; ∴存在 x0 ? R ,使得 AC ? 1 ? 1 成立,即 ACmin ? 2 . ∵ ACmin 即为点 C 到直线 y ? kx ? 2 的距离

4k ? 2 k ?1
2

,∴

4k ? 2 k ?1
2

? 2 ,解得 0 ? k ?

4 . 3

则 A,B 两点之间的距离为

log 3 2

. 3 .

1 ? ?x ? , x ? 0 2 27. 已知函数 f ( x ) ? ? , 则方程 f (2 x ? x) ? a a ? 2 ) ( 的根的个数可能为 (4,5,6 ) . x ? x 3 ? 3, x ? 0 ?
28.数列 ? an ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则

1 9 35.已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? 4 x ? c ? 1 的值域是[1,+∞),则 + 的最小值是 a c π 36.如图,A,B 是半径为 1 的圆 O 上两点,且∠AOB= .若点 C 是 3 →→ ? 3 1? 圆 O 上任意一点,则 OA? BC 的取值范围为 ? ? , ? .

B C O , A

a1C

0 100

? a2C

1 100

? a3C

2 100

? a4C

3 100

? ........ ? a100C

99 100

? a101C

100 100

?

1 . 37. 已知 a, c 是正实数, abc+a+c=b, p ? b, 且 设

? 2 2?

29.已知等比数列 {an } 的首项是 1 ,公比为 2,等差数列 {bn } 的首项是 1 ,公差为 1 ,把 {bn } 中的 各项按照如下规则依次插入到 {an } 的每相邻两项之间, 构成新数列 {c n } :a1 , b1 , a2 , b2 , b3 , a3 , b4 ,

2 2 3 ? 2 ? 2 a ?1 b ?1 c ?1
2

则 p 的最大值为

10/3



b5 , b6 , a4 ,……,即在 an 和 an ?1 两项之间依次插入 {bn } 中 n 个项,则 c2013 ?

1951 .
2


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