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湖北省黄冈中学2010年秋季高二数学期末考试(理A)


年秋季高二数学期末考试( 湖北省黄冈中学 2010 年秋季高二数学期末考试(理)
命题:胡华川 审稿:程金辉 校对: 袁 进

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 是符合题目要求的. 是符合题目要求的. 1.命题“ ?x ∈ Z ,x2+x+m<0”的否定是( ) 2 A.存在 x∈Z 使 x +x+m≥0 B.不存在 x ∈ Z 使 x2+x+m≥0 C. ? x ∈ Z ,x2+x+m≤0 D. ? x ∈ Z ,x2+x+m≥0 2.下列说法错误的是( ) A.自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系; ^ ^ ^ B.线性回归方程对应的直线y=bx+a至少经过其样本数据点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn) 中的一个点; C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高;
2 2 D.在回归分析中, R 为 0.98 的模型比 R 为 0.80 的模型拟合的效果好.

3.两个正态分布 N ( ?1 , σ 1 )(σ 1 > 0) 和 N ( ? 2 , σ 2 )(σ 2 > 0) 对应的曲线如图所示,则有(
2 2



A.

?1 > ? 2 , σ 1 > σ 2 B. ?1 > ? 2 , σ 1 < σ 2 C. ?1 < ?2 , σ 1 > σ 2 D. ?1 < ?2 , σ 1 < σ 2
2 2

y
N ( ?1 , σ 12 )

N ( ?2 , σ 2 2 )

x 4.对实数 a, b, c ,命题“若 a > b ,则 ac > bc ”,在这个命题与它的逆命题、否命题、逆否命 题四个命题中,真命题的个数为( ) A.2 B.0 C. 4 D.3 5.设语句甲:“事件 A 与事件 B 是对立事件”,语句乙:“P(A)+P(B)=1”,则甲是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知随机变量 X 的分布列如下表,随机变量 X 的均值 E ( X ) = 1 ,则 x 的值为( A.0.3 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.24
X

) 1 2

0

P
7
4 3

0.4

x

y


2




4


3

式 ) D. (?1, 0, 2, ?2)

x + a1 x + a2 x + a3 x + a4 = ( x + 1) + b1 ( x + 1) + b2 ( x + 1) 2 + b3 ( x + 1) + b4 ,
定义映射 f : ( a1 , a2 , a3 , a4 ) → (b1 , b2 , b3 , b4 ) ,则 f (4,3, 2,1) = ( A. (1, 2,3, 4) B. (0, 3, 4, 0) C. (0, ?3, 4, ?1)

8.抛掷红、蓝两颗骰子,若已知蓝骰子的点数为 3 或 6 时,则两颗骰子点数之和大于 8 的概率为 ( ) A.

1 3

B.

1 2

C.

5 36

D.

5 12

9.现有四所大学进行自主招生,同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁 4 位学 生发出录取通知书.若这 4 名学生都愿意进这四所大学的任意一所就读, 则仅有 2 名学生被录取
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到同一所大学的概率为( A.



1 2

B.

9 16

C.

11 16

D.

7 24

10.设 a1 , a2 ,…, an 是 1,2,…, n 的一个排列,把排在 ai 的左边且比 ai 小的数的个数称为 ai .. . 的顺序数( i = 1, , , ) 2 L n .如在排列 6,4,5,3,2,1 中,5 的顺序数为 1,3 的顺序数为 0.则
在由 1、2、3、4、5、6、7、8 这八个数字构成的全排列中,同时满足 8 的顺序数为 2,7 的顺序数 为 3,5 的顺序数为 3 的不同排列的种数为( A.48 B. 96 ) D. 192

C. 144

小题, 把答案填在答题卡相应位置上. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上. 填空题: 11.除夕夜,一位同学希望给他的 4 位好友每人发一条短信问候,为节省时间看春晚,他准备从手 机草稿箱中直接选取已有短信内容发出.已知他手机草稿箱中只有 3 条适合的短信,则该同学共 有 种不同的发短信的方法.

5 2 ;命题 q: ?x ∈ R ,都有 x + x + 1 > 0 ,给出下列结论: 2 ① 命题“p∧q”是真命题; ② 命题“p∧ ? q”是假命题; ② 命题“p∨q”是真命题; ① 命题 (填写正确的序号) “ ? p∨ ? q”是假命题,其中正确的是_____________.
12.已知命题 p: ?x ∈ R ,使 sin x = 13. 如图, 半径为 10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为 1 cm 的小圆. 现 将半径为 1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上,使硬币整体随机平落在纸板内(硬币 不出纸板边界) ,则硬币落下后与小圆无公共点的概率为 . 14.设一次试验成功的概率为 p,进行 100 次独立重复试验,当 p=_______时,成功次数的标准差 标准差 ... 的值最大,其最大值为________. 15.对任意正整数 n 定义双阶乘 n !! 如下:当 n 为偶数时, n !! = n( n ? 2)( n ? 4) ?L ? 4 ? 2 ; 当 n 为奇数时, n !! = n( n ? 2)( n ? 4) ?L ? 3 ?1 ,现有如下四个命题:

① (2011!!)(2010!!) = 2011! ; ② 2010!! = 2 × 1005! ; ②设 1010!! = a ×10 k ( a, k ∈ N*) ,若 a 的个位数不是 0,则 k = 112;
n ①设 15!! = a1n1 a 2 2 L a mm ( ai 为正质数, ni 为正整数 (i = 1, 2,L , m) ) ,则 ( ni ) max = 4 ; n

则其中正确的命题是_________________(填上所有正确命题的序号) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0,对一切 x∈R 恒成立,q:函数

f ( x) = (3 ? 2a ) x 是增函数,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围.

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数学(理)

第2 页

17. 本小题满分 12 分) X ~ N ( ? , σ ) , P ( ? ? σ < X ≤ ? + σ ) = 0.6826 ,P ( ? ? 2σ < X ≤ . (本小题满分 若 则 ( ? + 2σ ) = 0.9544 , P( ? ? 3σ < X ≤ ? + 3σ ) = 0.9974 .在 2010 年黄冈中学理科实验班招生考
2

试中,有 5000 人参加考试,考生的数学成绩服 X ~ N (90,100) . (Ⅰ)在 5000 名考生中,数学分数在 (100,120) 之间的考生约有多少人; (Ⅱ)若对数学分数从高到低的前 114 名考生予以录取,问录取分数线为多少?

18. 本小题满分 12 分) ? x + . ( 在

? ?

1 2 ? 的展开式中, 3 项的系数与倒数第 3 项的系数之比为 第 . 2 ? 16 x ?

n

(Ⅰ)求 n 的值; (Ⅱ)展开式的哪几项是有理项(回答项数即可) ...... ; (Ⅲ)求出展开式中系数最大的项.

19. 本小题满分 13 分)袋中有大小相同的三个球,编号分别为 1、2 和 3,从袋中每次取出一个 (本小题满分 . ( 球,若取到的球的编号为偶数,则把该球编号加 1(如:取到球的编号为 2,改为 3)后放回袋中 继续取球;若取到球的编号为奇数,则取球停止,用 X 表示所有被取球的编号之和. (Ⅰ)求 X 的概率分布; (Ⅱ)求 X 的数学期望与方差.

20. 某班主任对全班 50 名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查, . 统计数据如下表 所示: 积极参加班级 工作 学习积极性高 学习积极性一般 合计 18 19 50 不太主动参 加班级工作 合计

(Ⅰ)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是 成上面的 2 × 2 列联表; (Ⅱ)在(1)的条件下,试运用独立性检验的思想方 法分析:在犯错误概率不超过 0.1%的情况下判断学生的 学习积极性与对待班级工作的态度是否有关?并说明理 由.

12 ,请完 25
0.001

P ( K 2 ≥ ko ) k0

0.010 6.635

0.005

7.879 10.828

高二(上)期末考试

数学(理)

第3 页

21. 本小题满分 14 分)有人玩掷正四面体骰子走跳棋的游戏,已知正四面体骰子四个面上分别 ( 印有 A, B, C , D ,棋盘上标有第 0 站、第 1 站、第 2 站、…、第 100 站.一枚棋子开始在第 0 站, 棋手每掷一次骰子,若掷出后骰子为 A 面,棋子向前跳 2 站,若掷出后骰子为 B, C , D 中的一面, 则棋子向前跳 1 站,直到棋子跳到第 99 站(胜利大本营)或第 100 站(失败大本营)时,该游戏 结束.设棋子跳到第 n 站的概率为 Pn ( n ∈ N ) . (Ⅰ)求 P0,P,P2 ; 1 (Ⅱ)求证: Pn ? Pn ?1 = ?

1 ( Pn ?1 ? Pn ? 2 ) ; 4

(Ⅲ)求玩该游戏获胜的概率.

期末考试数学参考答案(理科) 期末考试数学参考答案(理科)
1. 【答案】D 解析:由定义知选 D.

$ 2. 【答案】B 提示:回归直线方程 $ = bx + a 经过样本点的中心( x , y ),可能不经过(x1,y1), y $
(x2,y2),…,(xn,yn)中的任何一点,这些点分布在这条直线附近. 3. 【答案】C 解析:显然 ?1 < ?2 ,正态曲线越“瘦高”,表示取值越集中, σ 越小.

4. 【答案】A 解析:若 a>b,c2=0,则 ac2=bc2.∴原命题为假;若 ac2>bc2,则 c2≠0 且 c2>0,则 a>b.∴逆命题为真;又∵逆命题与否命题等价,∴否命题也为真;又∵逆否命题与原命题等价, ∴逆否命题为假. 5. 【答案】A 提示:若事件 A 与事件 B 是对立事件,则 A∪B 为必然事件,再由概率的加法公式 得 P(A)+P(B)=1.设掷一枚硬币 3 次,事件 A:“至少出现一次正面”,事件 B:“3 次出现正面”, 则 P(A)=

7 1 ,P(B)= ,满足 P(A)+P(B)=1,但 A、B 不是对立事件. 8 8

6. 【答案】B 提示: x + y = 0.6 , E ( X ) = x + 2 y = 1 ,解得 x = 0.2 . 7. 【解析】 :C 依题意得 a1 = C4 + C3 b1 ,得 b1 = 0 ,同理有 a2 = C4 + C3 b1 + b2 ,得 b2 = ?3 ,再利
3 3 2 2

用排除法选 C. 8. 【答案】 :D 提示:记 A:“蓝骰子的点数为 3 或 6”,A 发生时红骰子可以为 1 6 中任意一个, n( A) = 12 ,记 B:“两颗骰子点数之和大于 8”,则 AB 包含 (3, 6), (6, 3), (6, 4), (6,5), (6, 6) 5 种情
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况,所以 P ( B | A) = 9. 【答案】B
4

n( AB) 5 = . n( A) 12
2

提示:所有等可能的结果相当于甲、乙、丙、丁四位学生任选四所大学之一,共
3 C42 A4 9 = . 44 16 3 2

有 4 种,仅有两名学生被录取到同一所大学,可先把四个同学分成 1+1+2 三份,有 C4 种分法,再 选择三所大学就读,即有 C4 A4 种就读方式.故所求的概率为
2 3

10. 【答案】 C 提示:分析知 8 必在第 3 位,7 必在第 5 位;若 5 在第 6 位,则有: A4 A2 = 48 , 若 5 在第 7 位,则有 C4 A4 = 96 ,合计为 144 种.
1 4

11. 【答案】81 提示:给每一位好友都有 3 种选择,因此共有发短信的方法 3 = 81 种. 12. 【答案】②② 提示:因 p 为假命题,q 为真命题,故非 p 是真命题,非 q 是假命题;所以 p∧q 是假命题;p∧非 q 是假命题;p∨q 是真命题;命题“ ? p∨ ? q”是真命题.
4

77 13. 【答案】 : 81
14. 【答案】
1 ;5 2

π × 92 ? π (1 + 1)2 77 = 提示:几何概型问题, P = . 81 π (9) 2
解析: 设成功次数为随机变量 ξ ,服从二项分布 B (100, p ) ,要使标准差最

大,即须方差 D (ξ ) = npq = 100 p (1 ? p ) 最大,当 p =
15. 【答案】①① 提示:由定义

1 时满足. 此时 δ (ξ ) = D (ξ ) = 5 . 2

(2011!!)(2010!!) = (2011× 2009 × L × 3 × 1)(2010 × 2008 ×L × 4 × 2) ,∴①为真命题;

2010!! = 2010 × 2008 × L × 4 × 2 = 21005 × 1005! ,∴②为假命题;由条件就是要求从个位数 算起到第 1 个不是 0 的数字之间 1010 ×1008 × L × 2 的尾数中共有多少个连续的 0,也即为 1010 ×1000 × 990 × L × 20 × 10 中各数的尾数所含 0 的个数的总和, 共有11× 9 + 12 + 1 = 112 个,而 5 × 2 还能产生 0(如 50 × 2 等)∴②是假命题; 15!! = 15 × 13 × 11× 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 13 × 11× 7 × 52 × 34 , ∴①为真命题, ∴正确的命题是①①. 2 2 16.解:设 g ( x ) = x + 2ax + 4 ,由于关于 x 的不等式 x + 2ax + 4 > 0 对一切 x∈R 恒成立,
所以函数 g(x)的图象开口向上且与 x 轴没有交点, 故 ?= 4a ? 16 < 0 ,∴ ?2 < a < 2 . ………………………………………………3 分 又∵函数 f(x)=(3-2a)x 是增函数,∴ 3 ? 2a > 1 ,∴ a < 1 .………………………6 分 由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p 和 q 一真一假. …………………………7 分
2

若 P 真 q 假,则 ? 若 p 假 q 真,则 ?

? ?2 < a < 2 ∴1 ≤ a < 2 ; ? a ≥ 1,

………………………………………9 分

? a ≤ ?2, 或a ≥ 2 ∴ a ≤ ?2 ;……………………………………………11 分 ? a < 1, 综上可知,所求实数 a 的取值范围为 1 ≤ a < 2 或 a ≤ ?2 .………………………………12 分 1 17.解: (Ⅰ) p (100 < X ≤ 120) = [ p (90 ? 30 < X ≤ 90 + 30) ? p (90 ? 10 < X ≤ 90 + 10)] 2 1 = (0.9974 ? 0.6826) = 0.1574 ;……………………………5 分 2 数学分数在 (100,120) 之间的考生约有: 5000 × 0.1574 = 787 人;………………6 分 114 1 (Ⅱ)注意到 114 人占 5000 的比例为 P = = 0.0228 = [1 ? p (70 < X ≤ 110)] , 5000 2
所以录取分数线应该在 110. ……………………………………………………………12 分 (Ⅰ)展开式第 3 项为 T3 = Cn 18.解:
2

( )
x

6

? 2 ? ?? 2 ? , ?x ?
第5 页

2

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数学(理)

n 倒数第 3 项是 Tn ? 2+1 = Cn ? 2

( )
x

2

? 2 ? ?? 2 ? ?x ?

n?2

………………………(写出两个通项得 3 分)

所以有:

C 2 22 1 = n ?n n ? 2 ,解得 n = 8 ;………………………………4 分 16 Cn 2 2
8

(Ⅱ)当 n = 8 时, ? x +

8? r 8? r ? 2 ? ?2r 2 ? ? r 展开式的通项为 Tr +1 = C8 x ? ? 2 ? = C8r 2r x 2 2 ? x ? ?x ? ? 8?r 要为有理项则 ? 2r 为整数,此时 r 可以取到 0,2,4,6,8,……………………7 分 2

( )

r

所以有理项分别是第 1 项,第 3 项,第 5 项,第 7 项,第 9 项;………………8 分 1 ?2 ?C8r ? 2r ≥ C8r ?1 ? 2r ?1 ? ?r ≥ 9?r ? (Ⅲ)设第 r + 1 项系数的最大,则 ? r r , ∴ , r +1 r +1 ? ?C8 ? 2 ≥ C8 ? 2 1 2 ? ? ≥ ?8 ? r r +1 ? 解得: 5 ≤ r ≤ 6 ,……………………………………………………………10 分 故系数的最大的项是第 6 项和第 7 项,分别为 1792x
? 17 2

, 1792x

?11

……… 12 分

1 19. 解: (Ⅰ)在 X = 1 时,表示第一次取到的 1 号球, P ( X = 1) = ;………………1 分 3 在 X = 3 时,表示第一次取到 2 号球,第二次取到 1 号球,或第一次取到 3 号球, 1 1 1 4 P ( X = 3) = ? + = ;………………………………………………………4 分 3 3 3 9 在 X = 5 时,表示第一次取到 2 号球,第二次取到 3 号球, 1 2 2 P ( X = 5) = ? = .……………………………………………………………6 分 3 3 9 X 的概率分布为…………………………………………………………………………………7 分 X P
1 3 5

1 4 2 3 9 9 1 4 2 25 (Ⅱ) E ( X ) = 1 ? + 3 ? + 5 ? = , ………………………………………………10 分 3 9 9 9 25 1 25 4 25 2 176 D ( X ) = (1 ? )2 + (3 ? ) 2 + (5 ? ) 2 = .………………………13 分 9 3 9 9 9 9 81
20.解: (Ⅰ) 如果随机抽查这个班的一名学生,抽到积极参加班级工作的学生的概率是 以积极参加班级工作的学生有

12 ,所 25

12 × 50 = 24 人, 以此可以算出学习积极性一般且积极参加班级工作 25

的人数为 6, 不太主动参加班级工作的人数为 26, 学习积极性高但不太主动参加班级工作得人数为 7,学习积极性高的人数为 25,学习积极性一般的人数为 25,得到表格如下: 积极参加班 级工作 学习积极性高 学习积极性一般 合计
高二(上)期末考试

不太主动参 加班级工作

合计

18 7 25 6 19 25 24 26 50 ………………………………………………6 分
数学(理) 第6 页

50×(18×19-6×7)2 150 (Ⅱ) k = = ≈11.5, 25×25×24×26 13 ∵ k >10.828,∴有 99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系.………12 分 21.解: (1)依题意,得 P0 = 1,P = 1

3 , .………………………………………2 分 4

1 3 3 13 + × = ……………………………………………………4 分 4 4 4 16 (Ⅱ)设棋子跳到第 n 站(2≤n≤99)有两种可能:第一种,棋子先到第 n ? 2 站,又掷出后得到 A 1 面,其概率为 Pn ? 2 ;第二种,棋子先到第 n ? 1 站,又掷出后得到 B, C , D 中的一面,其概率为 4 3 3 1 Pn ?1 ,由于以上两种可能是互斥的,所以 Pn = Pn ?1 + Pn ? 2 , 4 4 4 1 即有 Pn ? Pn ?1 = ? ( Pn ?1 ? Pn ? 2 ) .………………………………………………………………9 分 4 1 1 (Ⅲ)由(Ⅱ)知数列 {Pn ? Pn ?1} 是首项为 P ? P0 = ? ,公比为 ? 的等比数列. 1 4 4 P2 =
于是有 P ? P0 = ? ,P2 ? P = ? ? 1 1

1 4

? 1? ? 1? ? 1? L ? ,P3 ? P2 = ? ? ? , ,P99 ? P98 = ? ? ? . ? 4? ? 4? ? 4?

2

3

99

把以上各式相加,得

2 99 100 4? ? 1? ? ? 1? ? 1? ? 1? P99 = ? ? ? + ? ? ? + L + ? ? ? + P0 = ?1 ? ? ? ? ? . 5 ? ? 4? ? ? 4? ? 4? ? 4? ? ?

因此,获胜的概率为

4? ? 1? ?1 ? ? ? ? 5? ? 4? ?

100

? ? .………………………………………………14 分 ? ?

高二(上)期末考试

数学(理)

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