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冲刺60天2012年高考文科数学解题策略 全真模拟试题(一)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第⒂题为选考题,其他题为必考题. 考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1 .答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号, 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2 .选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号,非选择题答案使 用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚. 3 .请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4 .保持卷面清洁,不折叠,不破损. 5 .做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 参考公式: 锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.
3 1

球的表面积、体积公式: S ? 4? R 2 、 V ? ? R3 ,其中 R 为球的半径.
3

4

样本数据 x1 , x2 ,? xn 的标准差

s?

1 [( x ? x ) 2 ? ( x ? x ) 2 ? 2 n 1

? ( xn ? x) ] ,其中 x 为样本平均数.
2

?? 用最小二乘法求线性回归方程系数公式: b

i ?1

? xi yi ? nx ? y
i ?1

n

? xi ? nx

n

2

2

? ? y ? bx . ,a

第I卷
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的 1.1.已知集合 A ? ?0,, 1 2? ,集合 B ? ?x x ? 2? ,则 A A. ?2? B. ?0,, 1 2?
B?

2.已知 i 为虚数单位,则 A. ?i

?2 ? i 的值等于 ( 1 ? 2i
C. ?1
x y

C. ?x x ? 2? )

D. ?

B. 1 ? 2i

D. i

2.定义 A ? B ? {z | z ? xy ? , x ? A, y ? B} .设集合 A ? {0, 2} , B ? {1, 2} 3.如果奇函数 f(x) 是[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 f(x)在区间[-7,-3]上是( ) A.增函数且最小值为-5 B.减函数且最小值是-5 C.增函数且最大值为-5 D.减函数且最大值是-5 4.如果实数 x,y 满足等式(x-2)2+y2=3,那么 A.

y 的最大值是( x



3 3 C. D. 3 3 2 5.阅读图 1 的程序框图. 若输入 n ? 5 , 则输出 k 的值为.
1 2
B. A. 2 B. 3 图1

C. 4

D. 5

6.函数 y ? tan( x ? ) 的部分图象如图所示,则 (OA ? OB) ? AB =( ) 4 2 A.6 B.4 C. ?4 D. ?6
y

?

?

7.在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上,两校各派 3 名代 表,校际间轮流发言,对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉,对中国 人民抗日斗争中的英勇事迹进行赞颂,那么不同的发言顺序共有( ) A.72 种 B.36 种 C.144 种 D.108 种 8.已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 (4a ? 3,3 ? 2a2 ) , 且 y ? f (2 x ? 3) 为偶函数,则实数 a 的值为( )

1
O

B A
x

第 6 题图 A.3 或-1 B.-3 或 1 C.1 D.-1

9.农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。06 年某地区农民人均收入为 3150 元(其中工资源共 享性收入为 1800 元,其它收入为 1350 元) ,预计该地区自 07 年起的 5 年内,农民的工资源共享性收入 将以每年的年增长率增长,其它性收入每年增加 160 元。根据以上数据,2011 年该地区人均收入介于 ( ) A.4200 元-4400 元 B.4400 元-4460 元 C.4460 元-4800 元 D.4800 元-5000 元 5 5 x2 10.已知两点 M(1, ) ,N(-4,- ) ,给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0 ②x2+y2=3 ③ ? y 2 =1 4 4 2 ④
x2 ? y 2 =1. 2

在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是( B.②④ C.①②③ D.②③④



A.①③

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 5 小题,其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前 一题得分.每小题 5 分,满分 20 分. 1 11.若关于 x 的方程 x-x + k=0 在 x∈(0,1)没有实数根,则 k 的取值范围为 12、从分别标有数字 1,2,3,4 的 4 个大小、形状完全相同的球中,有 放回地随机抽取 2 个球,则抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的概率等 于 . 13.如图是一建筑物的三视图(单位:米) ,现需将其外壁用油漆刷一遍, 若每平方米用漆 ? 千克,则共需油漆的总量为 千克 14.给出下列四个结论: ①“若 am ? bm , 则 a ? b ”的逆命题为真;
2 2

.

②若 f ( x0 ) 为 f ( x ) 的极值,则 f ?( x0 ) ? 0 ; ③函数 f ( x) ? x ? sin x (x ? R )有 3 个零点;

( x? ) ④ 对 于 任 意 实 数 x , 有 f ( ? x) ? ? f ( x) , g ?
15.(不等式选讲选做题)不等式 | x ? 3x ? 4 |? x ? 1 的解集是
2

g ( x x)>0 , 且
.

时, f ?( x) ? 0, g ?( x) ? 0, 则 x<0 时 f ?( x) ? g ?( x). 其中正确结论的序号是

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? cos

3x x 3x x cos ? sin sin ? 2 sin x cos x , 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; ( Ⅱ) 当 x ? ?

?? ? , ? ,求函数 f ( x) 的零点. ?2 ? ?

17.(本小题满分 12 分) 甲乙两人连续 6 年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到 甲、乙两图:

甲调查表明:每个鱼池平均产量从第 1 年 1 万只鳗鱼上升到第 6 年 2 万只。 乙调查表明:全县鱼池总个数由第 1 年 30 个减少到第 6 年 10 个。 请你根据提供的信息说明: (Ⅰ)第 2 年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数。 (Ⅱ)到第 6 年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第 1 年扩大了还是缩小了?说明理由。 (Ⅲ)哪一年的规模(即总产量)最大?说明理由。 18.如图(1) ,?ABC 是等腰直角三角形, AC ? BC ? 4 , E 、 F 分别为 AC 、 AB 的中点,将 ?AEF 沿 EF 折起,使 A? 在平面 BCEF 上的射影 O 恰为 EC 的中点,得到图(2) . (Ⅰ)求证: EF ? A?C ; (Ⅱ)求三棱锥 F ? A?BC 的体积.

19.(本题满分 12 分) 公差大于零的等差数列 {an } 的前项和为 Sn ,且满足 a3 ? a4 ? 117, a2 ? a5 ? 22 。 (1)求数列 {an } 的通项公式;

Sn ,且数列 {bn } 是等差数列,求非零常数的值; n?c bn (3)在(2)的条件下,求 f (n) ? (n ? N *) 的最大值。 (n ? 36)bn ?1
(2)若 bn ? 20. (本题满分 13 分) 已知圆 C: x2 ? y 2 ? 4 .

(1)直线 l 过点 P(1,2),且与圆 C 交于 A、B 两点,若 AB ? 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)过圆 C 上一动点 M 作平行于 y 轴的直线 m,设 m 与 x 轴的交点为 N,若向量 OQ ? OM ? ON ,求动点
Q 的轨迹方程.

(3) 若点 R(1,0),在(2)的条件下,求 RQ 的最小值. 21. (本小题满分 14 分, ) 已知 a ? R ,函数 f ( x ) ? x 2 | x ? a | . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求使 f ( x ) ? x 成立的 x 的集合;
2] 上的最小值. (Ⅱ)求函数 y ? f ( x ) 在区间 [1,

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 题号 答案 D

5 B

6 A

7 A

8 D

9 C

10 D

2.D 提示:

?2 ? i ? ?2 ? i ? ? ?1 ? 2i ? = ?i 1 ? 2i ?1 ? 2i ? ? ?1 ? 2i ?

D

C

D

3.C 奇函数 f(x)在区间[-7,-3]也是单调递增, f ( x)max ? f (?3) ? ? f (3) ? ?5 4.D 提示:数形结合法,
y 2 2 视为圆( x -2) +y =3 上点到原点连线的斜率. x

5.B 提示:(1) k ? 0, n ? 16,k= 1 ;(2) k ? 1, n ? 49, k ? 2 ;依次进行便可. 6. A 提示:由 y ? tan( x ? ) ? 1 ,得 B (3,1) ,由 y ? tan( x ? ) ? 0 ,得 A(2,0) ,由向量数量积运算便 4 2 4 2 可得. 7.A 提示: 2 A33 8.D 解析:由题知, 4a ? 3 ? 3 ? 2a 2 ,即 ? 3 ? a ? 1,又 y ? f (2 x ? 3) 为偶函数,则

?

?

?

?

4a ? 3 ? 2 x ? 3 ? 3 ? 2a2,即2a<x<3-a2 .所以 -2a =3-a2 .? a ? ?1或3 ,故选 D.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 把答案填在题中横线上) 11. k<0 12.

5 8

13. 24 π + 39

14. ④

15.

?x| x ? 5或x ? ?1或?1 ? x ? 3 }

14.解析: m2 ? 0 ,可知①错; f ( x) ? x , x0 ? 0 ,则 f ?( x0 ) 不存在,可知②错;由单位圆知 sin x ? x 故只 有一个交点,故③错。由奇函数的增减性一致,偶函数的增减性相反,知 x<0 时 f ?( x) ? 0, g ?( x) ? 0 ,故④正 确。 15.解:原不等式等价于 (Ⅰ) ?
2 2 ? ? ? x ? 3x ? 4 ≥ 0 ? x ? 3x ? 4 ? 0 ? x ≥ 4或x ≤ ?1 ??1 ? x ? 4 或(Ⅱ) ? ?? 或? 2 2 ? ? ? x ? 3x ? 4 ? x ? 1 ??( x ? 3x ? 4) ? x ? 1 ? x ? 5或x ? ?1 ??1 ? x ? 3

? x ? 5或x ? ?1或 ? 1 ? x ? 3

∴原不等式的解集为 ?x | x ? 5或x ? ?1或 ?1 ? x ? 3} .

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤) 16.解: (Ⅰ) f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x = 2 cos( 2 x ? 故T ? ? (Ⅱ)令 f ( x) ? 0 , 2 cos( 又? x ? ?

?
4

) --------4 分

------------------5 分

?
4

? 2 x) =0,

?? ? ,? ?2 ? ?

----------------7 分

?

5? ? 9? ? 3? ? ? 2x ? ? ? 2x ? ------------------9 分 4 4 4 4 2 5? 5? 故x? 函数 f ( x) 的零点是 x ? ---------------12 分 8 8

17.解:由题意可知,图甲图象经过(1,1)和(6,2)两点,

从而求得其解析式为 y 甲=0.2x+0.8-------------------2 分 图乙图象经过(1,30)和(6,10)两点, 从而求得其解析式为 y 乙=-4x+34.------------------------- 3 分 (Ⅰ)当 x=2 时,y 甲=0.2×2+0.8 =1.2,y 乙= -4×2+34=26, y 甲· y 乙=1.2×26=31.2. 所以第 2 年鱼池有 26 个,全县出产的鳗鱼总数为 31.2 万只.-----------5 分 (Ⅱ)第 1 年出产鱼 1×30=30(万只), 第 6 年出产鱼 2×10=20(万只),可见,第 6 年这个县的鳗鱼养 殖业规划比第 1 年缩小了--------------------------7 分 (Ⅲ)设当第 m 年时的规模总出产量为 n, 那么 n=y 甲· y 乙=(0.2m+0.8) (-4m+34)= -0. 8m2+3.6m+27.2 =-0.8(m2-4.5m-34)=-0.8(m-2.25)2+31.25------------------10 分 因此, .当 m=2 时,n 最大值=31.2. 即当第 2 年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为 31.2 万只. -----------12 分



A?O 垂直平分 EC ,? A?O ? A?E 2 ? EO2 ? 3

------10 分

? 三棱锥 F ? A?BC 的体积为:
1 1 4 3 -------12 分 VF ? A?BC ? VA?? FBC ? S ?FBC ? A?O ? ? 4 ? 3 ? 3 3 3 19.解: (1)由题知 a3 ? a4 ? a2 ? a5 ? 22 , a3 ? a4 ? 117 ,所以, a3 ? 9, a4 ? 13 或 a3 ? 13, a4 ? 9 ,所以公 差 d ? ?4 ,又因为 d ? 0 ,所以 d ? 4 ,因此 an ? 4n ? 3 ----------4 分
( 2 ) Sn ? 所以 c ?

S n(2n ? 1) n(1 ? 4n ? 3) ,由 {bn } 是等差数列得, 2b2 ? b1 ? b3 , ? n(2n ? 1) ,所以 bn ? n ? n ? c 2( n ? c) 2

1 (其中 c ? 0 舍去)----------8 分 2 2n n 1 1 1 (3)由(2)知 bn ? 2n , f (n) ? ? ? ? ? (n ? 36)(2n ? 2) (n ? 36)(n ? 1) n ? 36 ? 37 12 ? 37 49 n

当且仅当 n ?

36 1 时,即 n ? 6 时取得等号。 f (n) max ? n 49
-----------1 分

20.解: (1)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x ? 1 , l 与圆的两个交点坐标为
(1, 3) 和 (1, ? 3) ,其距离为 2 3 ,满足题意

②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 2 ? 0 ----------2 分 设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 ? 2 4 ? d 2 ,得 d ? 1 ,?1 ?
?k ? 2 k ?1
2

,k ?

3 , 4

故所求直线方程为 3x-4y+5=0 综上所述,所求直线为 3x-4y+5=0 或 x=1 ----------------5 分 (2)设点 M 的坐标为(x0,y0),Q 点坐标为(x,y)则 N 点坐标是(x0, 0)
O Q? O M ?

,∴ O N ( x, y ) ? (2 x0 , y0 )
x2 ? y2 ? 4 4 x2 ? y 2 ? 4 ( x ? 0) 4

x 即 x0 ? , y0 ? y 2



2 2 x0 ? y0 ? 4,?

-------------8 分

由已知,直线 m //y 轴,所以, x ? 0 , ∴ Q 点的轨迹方程是? ----------9 分
2

(3)设 Q 坐标为(x,y), RQ ? ( x ? 1, y) , RQ ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ,-------------10 分 又
x2 ? y2 ? 4 4
2 2

( x ? 0 可得: )

y2 = RQ ? ( x ? 1) ? 4 ? 4

4 44 3( x ? ) 2 ? 3 3 ? 11 -------------12 分 4 3
33 4 时, RQ 取到最小值 -------------13 分 3 3

x ? [?4, 0) ? (0, 4] , ? x ?

21.解: (Ⅰ)由题意, f ( x ) ? x 2 x ? 2 . 当 x ? 2 时, f ( x ) ? x 2 (2 ? x ) ? x ,解得 x ? 0 或 x ? 1 ; 当 x ? 2 时, f ( x ) ? x 2 ( x ? 2) ? x ,解得 x ? 1 ? 2 .
1 1 ? 2 .------------5 分 综上,所求解集为 0,,

?

?

(Ⅱ)设此最小值为 m .
2] 上, f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ①当 a ? 1 时,在区间 [1,

因为

2 2 f ?( x )? 3 x ? 2a ? x 3 x(?x 3

2) , 则 f ( x ) 在 区 间 [1, 2] 上 是 增 函 数 , 所 以 , ? a ) x? 0 (1,

m ? f (1) ? 1 ? a .------------7 分


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