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2015-2016学年高中数学 1.4柱坐标与球坐标系简介课件 新人教A版选修4-4_图文

1.4 柱坐标系与球坐标系简介

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1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的 位置的方法. 2.了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公 式,体会它们的区别.

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题型一

柱坐标、球坐标的确定

例1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,如右 图所示,建立空间直角坐标系Axyz,以Ax为极轴.

(1)求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标.
(2)求点C的和点D的直角坐标、柱坐标以及球坐 标.

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分析:利用点的直角坐标、柱坐标以及球坐标的转化公式,结合 图形运用方程求解. 解析:(1)点 C1 的直角坐标为(1,1,1),设点 C1 的柱坐标为(ρ,

θ,z),球坐标为(r,φ,θ),其中 ρ≥0,r≥0,0≤φ≤π,0≤θ
<2π, x=ρcos θ, ?x=rsinφcosθ, ? ? ? 由公式?y=ρsin θ, 及?y=rsinφsin θ,得 ? ? ?z=z ?z=rcos φ
2 2 2 2 2 ρ = x + y , r = x + y + z , ? ? ? ? 及? ? y z tan θ = ( x ≠ 0 ) cos φ = . ? ? x r ? ?

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? ? ?ρ= 2, ? ∴? 及? ? ?tan θ=1 ?cos ?

r= 3, 3 φ= . 3

π 3 结合图得 θ= ,由 cos φ= 得 tanφ= 2. 4 3
? π ? ∴点 C1 的直角坐标为(1,1,1)柱坐标为? 2, ,1?,球坐标为 4 ? ? ? π? ? 3,φ, ?,其中 tan 4? ?
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φ= 2,0≤φ≤π.

(2) 同 理 可 求 得 点 C 的 直 角 坐 标 为 (1 , 1 , 0) , 柱 坐 标 为
? ? π ? π π? ? 2, ,0?,球坐标为? 2, , ?,点 D 的直角坐标为(0,1,0), 4 ? 2 4? ? ? ? π ? ? π π? 柱坐标为?1, ,0?,球坐标为?1, , ?. 2 ? 2 2? ? ?

点评:将点 M 的直角坐标(x,y,z)化为柱坐标(ρ ,θ ,z)或球 x=ρcos θ , ?x=rsin φ cos θ , ? ? ? 坐标(r,φ ,θ ),需要对公式?y=ρsin θ , 及?y=rsin φ sin θ , ? ? ?z=z ?z=rcos φ ρ = x +y , ? r= x + y + z , ? ? ? y 进行逆向变换,得到?tan θ = (x≠0),及? 在 z x cos φ = . ? r ? ? ?z=z
2 2 2 2 2

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用三角函数值求角时,要结合图形确定角的取值范围再求值,若不是 特殊角,可以设定角,然后明确其余弦值或正切值,并标注角的取值 范围即可.

?变式训练 1.如图所示,已知长方体ABCDA1B1C1D1的边长AB =6,AD=6,AA1=12,以这个长方体的顶点A为坐标 原点,以射线AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴的正 半轴,建立空间直角坐标系,求长方体顶点C1的空间 直角坐标、柱坐标、球坐标. 栏
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分析:本题考查空间直角坐标、柱坐标、球坐标的概念,我们要 能借此区分三个坐标,找出它们的相同和不同来. 解析:如题图所示,点 C1 的(x,y,z)分别对应着 CD、BC、CC1,点 C1 的(ρ,θ,z)分别对应着 CA、∠BAC、CC1,点 C1 的(r,φ,θ) 分别对应着 AC1、 ∠A1AC1、 ∠BAC.所以点 C1 的空间直角坐标为(6 3,
? ? π π 6,12),点 C1 的柱坐标为?12, ,12?,点 C1 的球坐标为(12 2, , 4 6 ? ?
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π ). 6

题型二

柱、球坐标与直角坐标的互化

例 2 根据下列点的柱坐标分别求其直角坐标.
? 5π ? (1)?2, ,3?; 6 ? ? ? 5π ? (2)?6, ,-2? 3 ? ?
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x=ρcos θ, ? ? 分析:根据公式?y=ρsin θ 计算即可. ? ?z=z 解析:设点的直角坐标为(x,y,z).
? 5π ? (1)∵(ρ,θ,z)=?2, ,3?, 6 ? ?

? x=- 3, ? ? ? 5π 即?y=1, ∴? y=ρsin θ=2sin , 6 ? ?z=3. ? ?z=3,
5π x=ρcos θ=2cos , 6
? 5π ? ∴点?2, ,3?的直角坐标为(- 3,1,3). 6 ? ? ? ? 5π (2)∵(ρ,θ,z)=?6, ,-2?, 3 ? ?
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? ? 5π ∴? y=ρsin θ=6sin =-3 3 ? ?z=-2.
5π x=ρcos θ=6cos =3, 3

3,

? ? 5π ∴点?6, ,-2?的直角坐标为(3,-3 3,-2). 3 ? ?

点评:根据柱坐标系与点的柱坐标意义,(ρ,θ ,z)这一直角坐 标系中的点的坐标,在平面 Oxy 内实际为极坐标系,且 ρ≥0.0≤θ< 2π ,在竖直方向上,z 为任意实数,把点的柱坐标(ρ,θ ,z)化为直 栏 x=ρcos θ , ? ? 角坐标(x,y,z),需要运用公式?y=ρsin θ , 转化为三角函数的求 ? ? z =z 值与运算即可.
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?变式训练
? π ? 2.已知点 M 的柱坐标为? 2, ,3?,点 N 的球坐 4 ? ? ? π π? 标为? 2, , ?,求 MN 的中点的直角坐标及 MN 的长度. 4 2? ?

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分析:先把点 M,N 的坐标化为直角坐标,按直角坐标求 MN 的长度.
? π ? 解析:∵点 M 的柱坐标为? 2, ,3?,根据柱坐标与直角坐标 4 ? ?

的互化公式,得

? ? ?y= 2sinπ=1, 4 ? ?z=3.

π x= 2· cos =1, 4

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∴点 M 的直角坐标为(1,1,3).

? π π? ∵点 N 的球坐标为? 2, , ?, 4 2? ?

根据球坐标与直角坐标的互化公式,得

? ? ?y= ? ?z=

π π x= 2sin cos =0, 4 2 π π 2sin sin =1, ∴点 N 的直角坐标为(0,1,1). 2 4 π 2cos =1. 4
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?1 ? ∴MN 的中点坐标为?2,1,2?. ? ?

在直角坐标系中,由两点间的距离公式得 MN 的长度为|MN|= (1-0)2+(1-1)2+(3-1)2= 5.

例 3 根据下列点的球坐标分别求其直角坐标.
? 3π 5π ? (1)?2, , ?; 4 4 ? ? ? π 2π ? (2)?6. , ?. 3 ? ? 3
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x=rsinφcos θ, ? ? 分析:根据公式?y=rsin φsin θ,计算即可. ? ?z=rcos φ

解析:设点的直角坐标为(x,y,z).
? 3π 5π? (1)∵(r,φ,θ)=?2, , ?, 4 4 ? ?

? ? 3π 5π ∴?y=rsin φsin θ=2sin sin =-1, 4 4 ? 3π ?z=rcos φ=2cos 4 =- 2.

3π 5π x=rsin φcos θ=2sin cos =-1, 4 4

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? 3π 5π? ∴点?2, , ?的直角坐标为(-1,-1,- 2). 4 4 ? ?

? π 2π? (2)∵(r,φ,θ)=?6, , ?, 3 3 ? ?

? ? π 2π 9 ∴?y=rsin φsin θ=6sin sin = , 3 3 2 ? π ?z=rcos φ=6cos 3 =3.

π 2π 3 3 x=rsin φcos θ=6sin cos =- , 3 3 2
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? 3 3 9 ? ? π 2π? ∴点?6. , ?的直角坐标为?- , ,3?. 3 ? 2 2 ? ? 3 ?

点评:根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系,首先 要明确点的球坐标(r,φ ,θ )中角 φ,θ 的边与坐标轴 Oz,Ox 的关 系,注意各自的限定范围,即 0≤φ≤π ,0≤θ <2π ,化点的球坐 x=rsin φ cos θ , ? ? 标(r, φ, θ )为直角坐标(x, y, z), 需要运用公式?y=rsin φ sin θ , ? ?z=rcos φ 转化为三角函数的求值与运算即可.
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例 4 设点 M 的直角坐标为(1,1,3),求它的柱坐标. 分析:利用空间直角坐标与柱坐标的变换公式. 解析:由变换公式,得

ρ2=x2+y2=12+12=2,ρ= 2,
π y 1 tan θ= = =1,θ= (点 M 在第 1 卦限). x 1 4
? π ? 因此点 M 的柱坐标为? 2, ,3?. 4 ? ?

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点评:要注意点 M 所在的卦限,从而确定 θ 角的范围.

?变式训练 3.设点 M 的直角坐标为(1,1, 2),求它的球坐标. 分析:利用球坐标公式求解. 解析:由坐标变换公式,可得 r= x2+y2+z2= 12+12+( 2)2=2, π 2 2 由 rcos φ=z,得 cos φ= = ,φ= . r 2 4 π y 又 tan θ= =1,θ= (点 M 在第 1 卦限), x 4
? π π? 故点 M 的球坐标为?2, , ?. 4 4? ?
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点评:要注意 φ 角、θ 角的取值范围.

析疑难 提 能 力
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? π ? 例 已知点 M 的柱坐标为? 2, ,1?, 求点 M 关于原点 O 4 ? ?

的对称点的柱坐标. 错解:根据点的位置及对称的定义直接确定柱坐标为
? 5π ? ? 2, ,1?. 4 ? ?
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分析:先求出点的直角坐标,再转化为极坐标.

? 正解一:M? ?

? ? π ? π 2, ,1?的直角坐标为: ? 4 ? y= 2· sin =1, 4 ? ?z=1,

π x= 2· cos =1, 4

∴M 关于原点 O 的对称点的直角坐标为(-1,-1,-1),

? ? y 则?tan θ = =1, x ? ?z=-1,

ρ = x2+y2= 2,

? ? 5π ∴M 关于原点 O 的对称点的柱坐标为? 2, ,-1?. 4 ? ?

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正解二:可根据点的位置及对称的定义直接确定柱坐标为
? ? 5π ? 2, ,-1?. 4 ? ?

易错点:用坐标表示点时,因忽略在哪种坐标系中导致判断错误 【易错点解析】空间直角坐标系中,点 M(x,y,z)关于原点 O 的对称点的坐标为(-x,-y,-z).
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