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2014年高考理科数学真题解析分类汇编:C单元 三角函数(纯word可编辑)

数 C 单元 三角函数 学 C1 角的概念及任意角的三角函数 6. 、[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 如图 11,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的 动点,角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将 点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π ]上的图像大致为( ) 图 11 A B C 6.C D 1 [解析] 根据三角函数的定义,点 M(cos x,0),△OPM 的面积为 |sin xcos x|,在 2 1 直角三角形 OPM 中, 根据等积关系得点 M 到直线 OP 的距离, 即 f(x)=|sin xcos x|= |sin 2x|, 2 π 且当 x= 时上述关系也成立, 故函数 f(x)的图像为选项 C 中的图像. 2 C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1 16. 、 、[2014· 福建卷] 已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- . 2 π 2 (1)若 0<α< ,且 sin α = ,求 f(α)的值; 2 2 (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. π 2 2 16.解:方法一:(1)因为 0<α< ,sin α = ,所以 cos α = . 2 2 2 所以 f(α)= 1 = . 2 2 ? 2 2? 1 × - 2 ?2+2? 2 (2)因为 f(x)=sin xcos x+cos2x- 1+cos 2x 1 1 = sin 2x+ - 2 2 2 1 1 = sin 2x+ cos 2x 2 2 = π 2 ? sin 2x+ ?, 2 4? ? 1 2 2π 所以 T= =π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 1 方法二:f(x)=sin xcos x+cos2x- 2 1+cos 2x 1 1 = sin 2x+ - 2 2 2 1 1 = sin 2x+ cos 2x 2 2 = π 2 ? sin 2x+ ?. 2 4? ? π π 2 (1)因为 0<α< ,sin α = ,所以 α= , 2 2 4 从而 f(α)= π 2 ? 2 3π 1 sin 2α + ?= sin = . 2 2 4 2 4 ? ? 2π (2)T= =π . 2 π π π 3π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z,得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 2 4 2 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? π π 17. , , [2014· 重庆卷] 已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ )?ω >0,- ≤φ < ?的图像关于直 2 2? ? π 线 x= 对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π . 3 (1)求 ω 和 φ 的值; α 2π 3π 3 π (2)若 f? ?= ? <α < ?,求 cos?α + ?的值. 3 ? 2 ? ?2? 4 ?6 ? 17.解:(1)因为 f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π ,所以 ?(x)的最小正周期 T= 2π π ,从而 ω= =2. T π 又因为 f(x)的图像关于直线 x= 对称, 3 π π 所以 2× +φ=kπ + ,k=0,± 1,± 2,…. 3 2 π π 因为- ≤φ < , 2 2 π 所以 φ=- . 6 α? α π 3 (2)由(1)得 ?? ?2?= 3sin(2× 2 - 6 )= 4 , π 1 所以 sin?α - ?= . 6? 4 ? π 2π π π 由 <α< 得 0<α- < , 6 3 6 2 1?2 π π 15 所以 cos?α- ?= 1-sin2?α - ?= 1-? ?4? = 4 . 6? 6? ? ? 3π 因此 cos?α + ? 2 ? ? =sin α π π =sin?(α- )+ ? 6 6? ? π π π π =sin?α - ?cos +cos?α - ?sin 6 6 6 ? ? ? ? 6 1 3 15 1 = × + × 4 2 4 2 3+ 15 = . 8 C3 三角函数的图象与性质 π π 9.[2014· 辽宁卷] 将函数 y=3sin?2x+ ?的图像向右平移 个单位长度,所得图像对 2 3? ? 应的函数( ) π 7π A.在区间? , ?上单调递减 ?12 12 ? π 7π B.在区间? , ?上单调递增 ?12 12 ? π π C.在区间?- , ?上单调递减 ? 6 3? π π D.在区间?- , ?上单调递增 ? 6 3? π π 9. B [解析] 由题可知, 将函数 y=3sin?2x+ ?的图像向右平移 个单位长度得到函数 2 3? ? 2 ? π π π 7π 2 y=3sin? 令- +2kπ ≤2x- π ≤ +2kπ , k∈Z, 即 +kπ ≤x≤ + ?2x-3π ?的图像, 2 3 2 12 12 2 ? k π , k∈Z 时 , 函 数 单 调 递 增 , 即 函 数 y = 3sin ? ?2x-3π ? 的 单 调 递 增 区 间 为 ?π +kπ ,7π +kπ ?,k∈Z,可知当 k=0 时,函数在区间?π ,7π ?上单调递增. 12 ?12 ? ?12 12 ? 3.[2014· 全国卷] 设 a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 3.C [解析] 因为 b=cos 55°=sin 35°>sin 33°,所以 b

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