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高二数学,人教A版,选修4-4 , 三个正数的算术,几何平均不等式, 课件

第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 学 习 目 标 1.了解三个正数的算术—几何平均不等式. 2.会用均值不等式求一些特定函数的最值. 课 前 预 习 1.三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a,b,c∈R+,那么 a3+b3+c3________,当且仅 当________时,等号成立. a+b+c (2)定理 3:如果 a,b,c∈R+,那么 3 ≥________, 当且仅当________时,等号成立.这个不等式可表述为:三个 正数的________不小于它们的________. 2.基本不等式的推广 对于 n 个正数 a1,a2,?,an,它们的算术平均不小于它 a1+a2+?+an n 们的几何平均,即 ________ a1a2?an,当且仅 n 当________时,等号成立. 答 案 1.(1)≥3abc a=b=c 平均 2.≥ 几何平均 a1=a2=?=an (2) abc 3 a=b=c 算术 思考探究 1 1.如果 x>0,如何求 2x+ 2的最小值? x 3 1 1 1 提示 2x+x2=x+x+x2≥3 x· x· x2=3. 当且仅当 x=1 时,取“=”. 1 故 2x+x2的最小值为 3. 2.多次使用均值不等式定理时需注意什么问题? 提示 连续多次使用均值不等式定理时,要注意前后等号 成立的条件是否一致. 名 师 点 拨 1.均值不等式的应用 已知 x,y,z 为正数,(1)如果积 xyz 为定值 p,则由 x+y +z≥3 xyz可知,当 x=y=z 时,和 x+y+z 有最小值 3 p. 3 (2) 如果和 x + y + z 为定值 s ,由 x + y + z≥3 xyz 变形 ?x+y+z? ?3 xyz≤? ? ? 可知,当 3 ? ? 3 3 s3 x=y=z 时,积 xyz 有最大值27. 2.应用均值不等式应注意的条件 用均值不等式求函数的最大(小)值,像用基本不等式求最 值一样,三个必要条件一定要满足,一正(各项的值为正,可在 题设中找到)、二定(各项的和或积为定值,这往往需要变形, 凑出和或积为定值 )、三相等(即取等号的条件,只要验证就行 了).在这三个条件中,定值决定着均值不等式应用的可能性, 它需要一定的灵活性和变形技巧,因此,这是解题成功的关键 也是难点. 4 4 例如: 求函数 y= 2+x(x>0)的最小值时, 可变形为 y= 2+ x x 3 4 xx x x 4 x x 3 + ≥3 2··= 3 ,此时等号成立的条件是 2 = = ,即 x 2 2 x 22 x 2 2 =8,x=2,本解法满足“一正、二定、三相等”这三个条件, 4 1 3 是正确的.如果变形为 y=x2+4x+4x.它虽然满足积为定值这 4 1 个条件,但“三相等”这个条件就无法实现了,这是因为x2=4 3 x= x,x 不存在,所以等号不能成立.由此可见,在变形积为 4 定值时,拆项要拆为相等的项,才能保证等号成立. 典例剖析 【例 1】 已知 a,b,c∈R+,求证: b+c-a c+a-b b+a-c (1) + + ≥3; a b c ? 1 1 1 ? ? ? 9 (2)(a+b+c)?a+b+b+c+c+a?≥ . ? ? 2 【分析】 (1)本题从表面看并不能利用均值不等式,但是 把每一部分分离开之后, 发现有两组可以用均值不等式的式子, 从而可得到证明. (2)把 a+b+c 与 1 1 1 + + 分别变形,应用均值不 a+b b+c c+a 等式后,再相乘可得到证明. 【证明】 (1)∵a,b,c∈R+, b+c-a c+a-b b+a-c ∴ a + b + c b c c a b a = + -1+ + -1+ + -1 a a b b c c ?b c a? ? c b a? =?a+b+ c?+?a+ c+b?-3 ? ? ? ? 3 bca 3 cba ≥3 a· b· c+3 a· c· b-3 =3+3-3=3. 当且仅当 a=b=c 时,等号成立. (2)∵a,b,c∈R+, 1 ∴(a+b)+(b+c)+(c+a)≥3 ?a+b??b+c??c+a?>0, a+b 3 1 1 1 1 1 + + ≥3 · · >0. b+c c+a a+b b+c c+a ? 1 1 1 ? ? ? 9 + + ∴(a+b+c)?a+b b+c c+a?≥2. ? ? 3 当且仅当 a=b=c 时,等号成立. 规律技巧 (1)应用均值不等式这个定理证明不等式时,若 不等式已具备“一正、二定、三相等”,直接证明即可,若不 具备条件,要适当的恒等变形后再应用定理证明. (2)连续多次应用均值不等式定理时,要注意前后等号成立 的条件是否保持一致. 【变式训练 1】 设 a,b,c∈R+,求证: ?1 1 1? (1)(a+b+c)?a+b+c?≥9; ? ? c a b 3 (2) + + ≥ . a+b b+c c+a 2 证明 (1)∵a,b,c∈R+, 3 1 1 1 1 a+b+c≥3 abc,a+b+c≥3 abc, 3 ?1 1 1? ∴(a+b+c)?a+b+c?≥9. ? ? 当且仅当 a=b=c 时,取等号. c a b (2)∵( +1)+( +1)+( +1) a+b b+c c+a ? 1 1 1 ? ? =(a+b+c)?a+b+b+c+c+a? ? ? ? ? 1 1 1 ? 1 ? ? + + = [(a+b)+(b+c)+(c+a)]· ?a+b b+c c+a? 2 ? ? 3 1 3 1 ≥ · 3 ?a+b??b+c??c+a?· 3 2 ?a+b??b+c??c+a? 9 =2, c a b 3 ∴ + + ≥ a+b b+c c+a 2 【例 2】 (1)θ 为锐角,求

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