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2014-2-13重点班圆锥曲线,立体几何、三角知识小测题目及答案

2014-2-13 重点班圆锥曲线,立体几何、三角知识小测题目及答案

1 . (山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)定义

a1 a 2 a3 a 4

? a1a4 ? a2 a3 ,若函数

f ( x) ?

sin 2 x 1

cos2x 3

,则将 f ( x) 的图象向右平移

?
3

个单位所得曲线的一条对称轴 ( )

的方程是 A. x ?

?
6

B. x ?

?
4

C. x ?

?
2

D. x ? ?

【答案】A

由定义可知, f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?

?
6

) ,将 f ( x) 的图象向

右 平 移

? ? 5? y ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? ) , 由 3 3 6 6 5? ? 2? k? 2x ? ? ? k? , k ? Z 得 对 称 轴 为 x ? ? , k ? Z , 当 k ? ?1 时 , 对 称 轴 为 6 2 3 2 2? ? ? ( x? ? ? ,选 3 2 6
?
个 单 位 得 到
2



A.
2. (山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)函数 y ? cos ( x ?

?
4

) 的图象沿 x 轴向
( )

右平移 a 个单位 (a ? 0) ,所得图象关于 y 轴对称,则 a 的最小值为 A. ? B.

3? 4

C.

?
2

D.

?
4

1 ? cos(2 x ? ) 2 2 ? 1 ? sin 2 x ? 1 ? 1 sin 2 x ,函数向右平 【答案】 D y ? cos ( x ? ) ? 4 2 2 2 2 1 1 1 1 移 a 个单位得到函数为 y ? ? sin 2( x ? a ) ? ? sin(2 x ? 2a) , 要使函数的图象 2 2 2 2 ? ? k? 关于 y 轴对称,则有 ?2a ? ? k? , k ? Z ,即 a ? ? ? , k ? Z ,所以当 k ? ?1 时, 2 4 2 ? 得 a 的最下值为 ,选 D. 4 3、(成都高新区 2014 届高三 10 月统一检测)设等差数列{an}的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 9 ,

?

?

a6 ? a 4 ? 2 , 则当 S n 取最大值 n 等于
A.4 答案:B B.5 C.6 D.7

4、 (成都石室中学 2014 届高三上学期期中) 已知数列 ? an ? 是等差数列, 且 a1 ? a4 ? a7 ? 2? ,

则 tan(a3 ? a5 ) 的值为(



A. 答案:A

3

B. ? 3

C.

3 3

D. ?

3 3

3 .( 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 3 sin

?x ??
2

cos

?x ??
2

? sin 2 ,1) .

?x ??
2

(? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

) . 其图象的两个相

邻对称中心的距离为

?
2

,且过点 (

?
3

(I) 函数 f ( x) 的达式; (Ⅱ)在△ABC 中.a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 的对边, a ? 5 , S ?ABC ? 2 5 ,角 C 为锐角. 且满 f (

C ? 7 ? ) ? ,求 c 的值. 2 12 6

【答案】解:(Ⅰ) f ( x ) =

3 1 sin( wx + j ) + [1 - cos( wx + j ) ] 2 2

= sin( wx + j -

π 1 )+ 6 2

π Q 两个相邻对称中心的距离为 ,则 T = π , 2

\

2π = π, Q w>0, \ w=2 , |w|
π 3

又 f ( x ) 过点 ( ,1) ,

骣 骣 2π π 1 π 1 \ sin 珑 - +j 鼢 + = 1, 即 sin + j = , 鼢 珑 鼢 珑 桫 桫 3 6 2 2 2
\ cos j = 1 , 2 π π π 1 Q 0 < j < , \ j = , \ f ( x ) = sin(2 x + ) + 2 3 6 2

(Ⅱ) f 珑 珑 珑

骣 C 桫 2

骣 π π π鼢 1 1 7 = sin C- + + = sin C + = , 鼢 鼢 桫 6 6 12 2 2 6

\ sin C =

2 , 3

Q0< C <

π 5 , , \ cos C = 2 3

又a =

5, SD ABC =

1 1 2 ab sin C = 创 5 b ? 2 2 3
2 2

2 5,

\ b = 6,
由余弦定理得 c = a + b - 2ab cos C = 21 ,
2

\ c=

21

2、 (广东省宝安中学等七校 2014 届高三第二次联考) 某班有甲、乙两个学习小组,两组的人数如下: 组别 性别 男 女 甲 乙

3 5

2 2

现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从甲、 乙两组中共抽取 3 名同学进行学 业检测. (Ⅰ)求从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率; (Ⅱ)记 X 为抽取的 3 名同学中男同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 【解析】(Ⅰ)依题意,甲、乙两组的学生人数之比为 所以,从甲组抽取的学生人数为

? 3 ? 5? : ? 2 ? 2 ? ? 2 :1 ,????1 分

2 1 从乙组抽取的学生人数为 ? 3 ? 1 . ???? ?3 ? 2; 3 3

2分 设“从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学”为事件 A ,
1 C1 15 15 3 ? C5 ? 则 P ( A) ? ,故从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率为 .??? 2 C8 28 28

4分 (Ⅱ) X 的所有可能取值为 0,1, 2,3 ,且

???5 分
2 C ? C ? C C5 ? C1 25 2 ? ? , 2 1 2 1 C8 ? C4 C8 ? C4 56 1 3 1 5 1 2

P( X ? 0) ? P( X ? 2) ?


C ?C 5 ? , C ?C 28
2 5 2 8 1 2 1 4

P( X ? 1) ?

2 1 1 C3 ? C1 C1 9 2 3 ? C5 ? C 2 ? ? , 2 1 2 1 C8 ? C4 C8 ? C 4 28

P ( X ? 3) ?

2 C3 ? C1 3 2 ? .?????9 2 1 C8 ? C 4 56

所以, X 的分布列为:

1 2 25 9 P 56 28 5 25 9 3 5 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .???12 分 28 56 28 56 4

X

0 5 28

3 3 56

??????10 分

4. (山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)如图,已知矩形 ABCD 中,AB=2AD=2,O

为 CD 的中点,沿 AO 将三角形 AOD 折起,使 DB = 3 .

(Ⅰ)求证:平面 AOD⊥ABCO; (Ⅱ)求直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值.
D D O C

O

C

A

B

A 第 20 题图

B

【答案】(Ⅰ)∵在矩形 ABCD 中,AB=2AD=2,O 为 CD 中点,

∴△AOD,△BOC 为等腰直角三角形, ∴∠AOB=90?,即 OB⊥OA. 取 AO 中点 H,连结 DH,BH,则 OH=DH=
2 2 2

2 , 2

在 Rt△BOH 中,BH =BO +OH =

5 , 2

在△BHD 中,DH +BH = (
2 2 2

2

2

2 2 5 ) ? ? 3, 又 DB2=3, 2 2

∴DH +BH =DB ,∴DH⊥BH. 又 DH⊥OA, OA∩BH=H ∴DH⊥面 ABCO, 而 DH∈平面 AOD, ∴平面 AOD⊥平面 ABCO. (Ⅱ)解:分别以直线 OA,OB 为 x 轴和 y 轴,O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标 系,则 B (0, 2, 0) , A( 2, 0, 0) , D (

2 2 2 2 , 0, ) , C (? , , 0) . 2 2 2 2

∴ AB ? (? 2, 2, 0), AD ? ( ?

??? ?

????

? 2 2 ??? 2 2 , 0, ), BC ? ( ? ,? , 0). 2 2 2 2
z D

设平面 ABD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ),

??? ? ?? 2 x ? 2 y ? 0, ? ?n ? AB ? 0, ? 由 ? ???? 得? 2 2 x? z ? 0, ? ?n ? AD ? 0, ?? ? 2 2
即 x ? y, x ? z , 令 x ? 1, 则 y ? z ? 1 ,
x A

O H

C

B

y

取 n ? (1,1,1).

设 ? 为直线 BC 与平面 ABD 所成的角,

??? ? BC ? n 2 6 则 sin ? ? ??? ? ? . ? 3 3 BC ? n

即直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值为

6 . 3

5. (天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷) (本小题满分 13 分)如图 F1、

F2 为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点, D 、 E 是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率 a2 b2

e?

x y 3 3 , S ?DEF2 ? 1 ? .若点 M ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 C 上,则点 N ( 0 , 0 ) 称为点 M 的 a b 2 2

一个“椭点” ,直线 l 与椭圆交于 A、B 两点,A、B 两点的“椭点”分别为 P、Q.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)问是否存在过左焦点 F1 的直线 l,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点?若存在, 求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.
1.解: (1)由题意得 e ?

c 3 3 1 ,故 c ? ? a, b ? a , a 2 2 2

S ?DEF2 ?

1 1 3 a 1 3 2 3 , ? (a ? c) ? b ? (a ? a ) ? ? ? (1 ? )a ? 1 ? 2 2 2 2 4 2 2

故 a 2 ? 4 ,即 a=2,所以 b=1,c= 3 ,故椭圆 C 的标准方程为 (2)①当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? ? 3

x2 ? y2 ? 1. 4

?x ? ? 3 ?x ? ? 3 ?x ? ? 3 1 1 ? 2 ? ? 联立 ? x 解得 ? 1 或? 1 ,不妨令 A(? 3 , ), B(? 3 ,? ) , 2 2 2 ? ? y ?1 ?y ? ?y ? ? 2 2 ? ? ?4

所以对应的“椭点”坐标 P (?

3 1 3 1 1 , ), Q(? ,? ) .而 OP ? OQ ? ? 0 . 2 2 2 2 2

所以此时以 PQ 为直径的圆不过坐标原点. ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3 )

? y ? k ( x ? 3) ? 联立 ? x 2 ,消去 y 得: (4k 2 ? 1) x 2 ? 8 3k 2 x ? 12k 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则这两点的“椭点”坐标分别为 P ( 与系数的关系可得: x1 ? x 2 ?

x1 x , y1 ), Q( 2 , y 2 ) ,由根 2 2

12k 2 ? 4 ? 8 3k 2 , x x ? 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

若使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点,则 OP⊥OQ, 而 OP ? (

x1 x , y1 ), OQ ? ( 2 , y 2 ) ,因此 OP ? OQ ? 0 , 2 2



x1 x 2 xx 2k 2 ? 1 2 ? ? y1 y 2 ? 1 2 ? y1 y 2 ? 0 即 2 =0,解得 k ? ? 2 2 4 2 4k ? 1
2 6 2 6 或y?? x? x? 2 2 2 2

所以直线方程为 y ?


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