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高中必修三数学总结·【最全】!


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数学

高一数学必修三
找了好多资料,都不是很全啊,没办法了,自己把所有的资料整理了一下,很好 用的~传上来给大家分享啦!包括知识点讲解、重点分析、典型例题、算法分析、随机 抽样、例题强化训练、带经典讲解。全网最全~

第一节

算法与程序框图

一. 教学内容: 算法、程序框图、基本算法语句 二. 知识目标: 1. 通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如,二元一次方程组求解等问题) ,体会算法的思想, 了解算法的含义; 2. 通过模仿、操作、探索,经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程 中(如,三元一次方程组求解等问题) ,理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环。 3. 经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程,理解几种基本算法语句——输入语句、输 出语句、赋值语句、条件语句、循环语句,进一步体会算法的基本思想; 4. 通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。 三. 命题走向: 算法是高中数学课程中的新内容,本章的重点是算法的概念和算法的三种逻辑结构。 预测高考对本章的考查是:以选择题或填空题的形式出现,分值在 5 分左右,考查的热点是算 法的概念、识别程序和编写程序。 四. 基本知识要点: 1. 算法的概念 (1)算法的定义:广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤,那么我们可以说洗衣机的使用 说明书是操作洗衣机的算法,菜谱是做菜的算法等等。 在数学中,现代意义的算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序和步骤,这些程序或 步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成。 (2)算法的特征: ①确定性:算法的每一步都应当做到准确无误、 “不重不漏” 。 “不重”是指不是可有可无的、甚 至无用的步骤, “不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务。 ②逻辑性:算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣。分工明确, “前一步” 是“后一步”的前提, “后一步”是“前一步”的继续。 ③有穷性:算法要有明确的开始和结束,当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果, 也就是说必须在有限步内完成任务,不能无限制的持续进行。 (3)算法的描述:自然语言、程序框图、程序语言。 2. 程序框图 (1) 程序框图的概念: 程序框图又称流程图, 是一种用规定的图形、 指向线及文字说明来准确、

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直观地表示算法的图形; (2)构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 起止框 功能 表示一个算法的起始和结束,是任何算法 程序框图不可缺少的。 表示一个算法输入和输出的信息,可用在 算法中任何需要输入、输出的位置。 赋值、 计算。 算法中处理数据需要的算式、 公式等,它们分别写在不同的用以处理数 据的处理框内。 判断某一条件是否成立,成立时在出口处 标明“是”或“Y” ;不成立时在出口处标 明“否”或“N” 。 算法进行的前进方向以及先后顺序

输入、输出框

处理框

判断框

流程线

循环框

用来表达算法中的重复操作以及运算

连结点

连接另一页或另一部分的框图

注释框

帮助编者或阅读者理解框图

(3)程序框图的构成 一个程序框图包括以下几部分: 实现不同算法功能的相对应的程序框; 带箭头的流程线; 程序框内必要的说明文字。

流程图——为了使算法的结构更加清晰,可借助图来帮助描述算法。描述算法的图称为算法流程 图或算法框图,简称流程图或框图。 一般地,我们把“开始”、“结束”框(起止框)画成圆角矩形:

把“输入”、“输出”框画成平行四边形:

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把“计算”框(数据处理框)画成矩形:

把“判断”框画成菱形:

顺序结构——按照步骤依次执行的一个算法称为具有“顺序结构”的算法,或者称为算法的顺序 结构。顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的。 它是由若干个依次执行的步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。

A

输入 n

B

flag=1

示意图

顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来,按顺序执行算法步 骤。如在示意图中,A 框和 B 框是依次执行的,只有在执行完 A 框指定的操作后,才能接着执行 B 框所指定的操作。 选择结构——在执行下一个步骤之前需要先进行判断,判断的结果决定后面的步骤,这样的结构 称为选择结构。

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条件结构 如下面图示中虚线框内是一个条件结构,此结构中含有一个判断框,算法执行到此判断给定的 条件 P 是否成立,选择不同的执行框(A 框、B 框) 。无论 P 条件是否成立,只能执行 A 框或 B 框 之一,不可能既执行 A 框又执行 B 框,也不可能 A 框、B 框都不执行。A 框或 B 框中可以有一个是 空的,即不执行任何操作。 见示意图:

Y A

p

N B

变量——在研究问题的过程中,可以取不同数值的量称为变量。 赋值——将某一数值赋给变量的过程称为赋值。在计算机程序设计中,赋值是通过赋值语句实现 的,所赋的值可以是数字,也可以是字符串或表达式。不同的程序设计语言中,赋值语句的写法是 不一样的,如将数值 1 赋给变量 x,在 VB 中是用“x=1”实现的,而在 C 语言中是用“int x=1”实 现的。再如, “x=x+1”这个赋值语句执行后,会将此前计算的 x 的值再加 1 后的和赋给 x(即使得 x 的值增加了 1) 。 循环结构——在一个算法中,有时有一些步骤需要重复执行,我们把这样的算法结构称为循环 结构。重复执行的处理步骤称为循环体。循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构。 ①当型循环结构,如左下图所示,它的功能是当给定的条件 P 成立时,执行 A 框,A 框执行完 毕后,返回来再判断条件 P 是否成立,如果仍然成立,返回来再执行 A 框,如此反复执行 A 框,直 到某一次返回来判断条件 P 不成立时为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构。继续执行下面的框 图。 ②直到型循环结构,如右下图所示,它的功能是先执行重复执行的 A 框,然后判断给定的条件 P 是否成立,如果 P 仍然不成立,则返回来继续执行 A 框,再判断条件 P 是否成立。依次重复操作, 直到某一次给定的判断条件 P 成立时为止,此时不再返回来执行 A 框,离开循环结构。继续执行下 面的框图。 见示意图

A P
成立 不成立 成立

A P
不成立

当型循环结构

直到型循环结构

1. 输入语句 输入语句的格式:INPUT “提示内容” ;变量

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例如:INPUT“x=” ;x 功能:实现算法的输入变量信息(数值或字符)的功能。 要求: (1)输入语句:要求输入的值是具体的常量; (2)提示内容:提示用户输入的是什么信息,必须加双引号,提示内容 “原原本本”的在计 算机屏幕上显示,提示内容与变量之间要用分号隔开; (3)一个输入语句可以给多个变量赋值,中间用“, ”分隔;输入语句还可以是“ ‘提示内容 1’ ; 变量 1, ‘提示内容 2’ ;变量 2, ‘提示内容 3’ ;变量 3,??”的形式。例如:INPUT“a=,b=, c=, ” ;a,b,c。 2. 输出语句 输出语句的一般格式:PRINT“提示内容” ;表达式 例如:PRINT“S=” ;S 功能:实现算法输出信息(表达式) 要求: (1)表达式是指算法和程序要求输出的信息; (2)提示内容提示用户要输出的是什么信息,提示内容必须加双引号,提示内容要用分号和表 达式分开。 (3)如同输入语句一样,输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能,不同的表达式之间可 用“, ”分隔;输出语句还可以是“ ‘提示内容 1’ ;表达式 1, ‘提示内容 2’ ;表达式 2, ‘提示内容 3’ ;表达式 3,??”的形式;例如:PRINT “a,b,c:” ;a,b,c。 3. 赋值语句 赋值语句的一般格式:变量=表达式 赋值语句中的“=”称作赋值号 作用:赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量; 要求: (1)赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达式,右边表达式可以是一个常量、变量或含变 量的运算式。如:2=x 是错误的; (2)赋值号的左右两边不能对换。赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变 量。如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的,如 x=5 是对的,5=x 是错的,A+B=C 是错的, C=A+B 是对的。 (3)不能利用赋值语句进行代数式的演算。 (如化简、因式分解、解方程等) ,如

y ? x 2 ? 1 ? ( x ? 1)(x ? 1)
这是实现不了的。在赋值号右边表达式中每一个变量的值必须事先赋给确定的值。在一个赋值 语句中只能给一个变量赋值。不能出现两个或以上的“=” 。但对于同一个变量可以多次赋值。 4. 条件语句 (1)“IF—THEN—ELSE”语句 格式: IF 条件 THEN 语句 1 ELSE 语句 2 END IF 说明:在“IF—THEN—ELSE”语句中, “条件”表示判断的条件, “语句 1”表示满足条件时 执行的操作内容; “语句 2”表示不满足条件时执行的操作内容;END IF 表示条件语句的结束。计

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算机在执行“IF—THEN—ELSE”语句时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果符合条件,则执行 THEN 后面的“语句 1” ;若不符合条件,则执行 ELSE 后面的“语句 2” 。 (2) “IF—THEN”语句 格式: IF 条件 THEN 语句 END IF 说明: “条件”表示判断的条件; “语句”表示满足条件时执行的操作内容,条件不满足时,直 接结束判断过程;END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行“IF—THEN”语句时,首先对 IF 后的条件进行判断, 如果符合条件就执行 THEN 后边的语句, 若不符合条件则直接结束该条件语句, 转而执行其它后面的语句。 5. 循环语句 (1)当型循环语句 当型(WHILE 型)语句的一般格式为: WHILE 条件 循环体 END 说明: 计算机执行此程序时, 遇到 WHILE 语句, 先判断条件是否成立, 如果成立, 则执行 WHILE 和 END 之间的循环体,然后返回到 WHILE 语句再判断上述条件是否成立,如果成立,再执行循环 体,这个过程反复执行,直到一次返回到 WHILE 语句判断上述条件不成立为止,这时不再执行循 环体,而是跳到 END 语句后,执行 END 后面的语句。因此当型循环又称“前测试型”循环,也就 是我们经常讲的“先测试后执行” 、 “先判断后循环” 。 (2)直到型循环语句(A 版) 直到型(UNTIL 型)语句的一般格式为: DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 说明: 计算机执行 UNTIL 语句时, 先执行 DO 和 LOOP UNTIL 之间的循环体, 然后判断 “LOOP UNTIL”后面的条件是否成立,如果条件成立,返回 DO 语句处重新执行循环体。这个过程反复执 行,直到一次判断 “LOOP UNTIL”后面的条件不成立为止,这时不再返回执行循环体,而是跳 出循环体执行“LOOP UNTIL 条件”下面的语句。 因此直到型循环又称“后测试型”循环,也就是我们经常讲的“先执行后测试” 、 “先循环后判 断” 。 (3)FOR 循环(B 版)

【典型例题】
例 1. 下列说法正确的是( ) A. 算法就是某个问题的解题过程; B. 算法执行后可以产生不同的结果; C. 解决某一个具体问题算法不同结果不同; D. 算法执行步骤的次数不可以为很大,否则无法实施。 解:答案为选项 B;选项 B,例如:判断一个整数是否为偶数,结果为“是偶数”和“不是偶 数”两种;选项 A ,算法不能等同于解法;选项 C,解决某一个具体问题算法不同结果应该相同, 否则算法构造得有问题;选项 D,算法可以为很多次,但不可以无限次。

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点评:算法一般是机械的,有时需要进行大量的重复计算。只要按部就班去做,总能算出结果。 通常把算法过程称为“数学机械化” 。数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成;实际上处 理任何问题都需要算法。如:中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则;而国际象棋有 国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则;再比如申请出国有一系列的先后手续,购买物品也有相 关的手续??。 例 2. 下列语句中是算法的个数为( ) ①从济南到巴黎:先从济南坐火车到北京,再坐飞机到巴黎; ②统筹法中“烧水泡茶”的故事; ③测量某棵树的高度,判断其是否是大树; ④已知三角形的一部分边长和角,借助正余弦定理求得剩余的边角,再利用三角形的面积公式 求出该三角形的面积。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解:正确选项为 C,③中我们对“树的大小”没有明确的标准,无法完成任务,不是有效的算 法构造。①中,勾画了从济南到巴黎的行程安排,完成了任务;②中,节约时间,烧水泡茶完成了 任务;④中,纯数学问题,借助正、余弦定理解三角形,进而求出三角形的面积。 点评:算法过程要做到能一步一步的执行,每一步执行的操作,必须确切,不能含混不清,且 在有限步后必须得到问题的结果。 例 3. 一个人带着三只狼和三只羚羊过河,只有一条船,同船可容纳一个人和两只动物,没有人在 的时候,如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊。该人如何将动物转移过河?请设计算法? 解:任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量,还应考虑到两岸的动物都得保证 狼的数量要少于羚羊的数量,故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼,这样才能使得两岸的 羚羊数量占到优势,具体算法如下: 算法步骤: 第一步:人带两只狼过河,并自己返回; 第二步:人带一只狼过河,自己返回; 第三步:人带两只羚羊过河,并带两只狼返回; 第四步:人带一只羊过河,自己返回; 第五步:人带两只狼过河。 点评:算法是解决某一类问题的精确描述,有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的。 这就要求我们在写算法时应精练、简练、清晰地表达,要善于分析任何可能出现的情况,体现思维 的严密性和完整性。本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决,在现实生活中,很 多较复杂的问题经常遇到这样的问题,设计算法的时候,如果能够合适地利用某些步骤的重复,不 但可以使得问题变得简单,而且可以提高工作效率。 例 4. 这是中国古代的一个著名算法案例:一群小兔一群鸡,两群合到一群里,要数腿 48,要数 脑袋 17,多少小兔多少鸡? 解:求解鸡兔的问题简单直观,却包含着深刻的算法思想。应用解二元一次方程组的方法来求 解鸡兔同笼问题。 第一步:设有小鸡 x 只,小兔 y 只,则有 ?

? x ? y ? 17(1) ?2 x ? 4 y ? 48(2)

第二步:将方程组中的第一个方程两边乘-2 加到第二个方程中去,得到

? x ? y ? 17 ,得到 y=7; ? ?(4 ? 2) y ? 48 ? 17 ? 2
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第三步:将 y=7 代入(1)得 x=10。 点评:解决这些问题的基本思想并不复杂,很清晰,但叙述起来很繁琐,有的步骤非常多,有 的计算量很大,有时候完全依靠人力完成这些工作很困难。但是这些恰恰是计算机的长处,它能不 厌其烦的、枯燥的、重复的、繁琐的工作。但算法也有优劣,我们要追求高效。 例 5. 写出通过尺轨作图确定线段 AB 一个 5 等分点的算法。 解:我们借助于平行线定理,把位置的比例关系变成已知的比例关系,只要按照规则一步一步 去做就能完成任务。 算法分析: 第一步:从已知线段的左端点 A 出发,任意作一条与 AB 不平行的射线 AP; 第二步:在射线上任取一个不同于端点 A 的点 C,得到线段 AC; 第三步:在射线上延 AC 的方向截取线段 CE=AC; 第四步:在射线上延 AC 的方向截取线段 EF=AC; 第五步:在射线上延 AC 的方向截取线段 FG=AC; 第六步:在射线上延 AC 的方向截取线段 GD=AC,那么线段 AD=5AB; 第七步:连接 DB; 第八步:过 C 作 BD 的平行线,交线段 AB 于 M,这样点 M 就是线段 AB 的一个 5 等分点。 程序框图:
开始

从 A 点出发作一条与 AB 不平行射线 AC

在射线上任取一个不同于端点 A 的点 C,取 AC 为单位线段, 再在 AC 上顺次取点 E、F、G、D,满足 CE=EF=FG=GD=AC

连结 BD

过点 C 作 BD 的平行线交 AB 于点 M,点 M 即为 5 等分点

结束

点评:这个算法步骤具有一般性,对于任意自然数 n,都可以按照这个算法的思想,设计出确 定线段的 n 等分点的步骤,解决问题。 例 6. 有关专家建议,在未来几年内,中国的通货膨胀率保持在 3%左右,这将对我国经济的稳定 有利无害。所谓通货膨胀率为 3%,指的是每年消费品的价格增长率为 3%。在这种情况下,某种品 牌的钢琴 2004 年的价格是 10 000 元,请用流程图描述这种钢琴今后四年的价格变化情况,并输出 四年后的价格。 解:用 P 表示钢琴的价格,不难看出如下算法步骤: 2005 年 P=10000×(1+3%)=10300; 2006 年 P=10300×(1+3%)=10609; 2007 年 P=10609×(1+3%)=10927.27; 2008 年 P=10927.27×(1+3%)=11255.09; 因此,价格的变化情况表为:

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年份 钢琴的价格 程序框图为:

2004 10000

2005 10300

2006 10609

2007 10927.27

2008 11255.09

开始

P=10000

P=10000×1.03=10300

P=10300×1.03=10609

P=10609×1.03=10927.27

P=10927.27×1.03=11255.09

输出 P

结束

点评:顺序结构必须严格按照传统的解决数学问题的解题思路,将问题解决掉。最后将解题步 骤 “细化”就可以。 “细化”指的是写出算法步骤、画出程序框图。

例 7. 设计算法判断一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 是否有实数根,并画出相应的程序框图。
2

解:算法步骤如下: 第一步:输入一元二次方程的系数:a,b,c; 第二步:计算△ ? b ? 4ac 的值;
2

第三步:判断△≥0 是否成立。若△≥0 成立,输出“方程有实根” ;否则输出“方程无实根” 。 结束算法。 相应的程序框图如下:

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点评:根据一元二次方程的意义,需要计算判别式△ ? b ? 4ac 的值。再分成两种情况处理:
2

(1)当△≥0 时,一元二次方程有实数根; (2)当△<0 时,一元二次方程无实数根。该问题实际 上是一个分类讨论问题,根据一元二次方程系数的不同情况,最后结果就不同。因而当给出一个一 元二次方程时,必须先确定判别式的值,然后再用判别式的值的取值情况确定方程是否有解。该例 仅用顺序结构是办不到的,要对判别式的值进行判断,需要用到条件结构。 例 8.(1)设计算法,求 ax ? b ? 0 的解,并画出流程图。 解:对于方程 ax ? b ? 0 来讲,应该分情况讨论方程的解。 我们要对一次项系数 a 和常数项 b 的取值情况进行分类,分类如下: ①当 a≠0 时,方程有唯一的实数解是 ?

b ;②当 a=0,b=0 时,全体实数都是方程的解; a

③当 a=0,b≠0 时,方程无解。 联想数学中的分类讨论的处理方式。可得如下算法步骤: 第一步:判断 a 是否不为零。若成立,输出结果“解为

?

b ” ; a

第二步:判断 a=0,b=0 是否同时成立。若成立,输出结 果“解集为 R” ; 第三步:判断 a=0,b≠0 是否同时成立。若成立,输出结 果“方程无解” ,结束。 程序框图: (2)设计算法,找出输入的三个不相等实数 a、b、c 中 的最大值,并画出流程图。 解析:算法步骤: 第一步:输入 a,b,c 的值; 第二步:判断 a>b 是否成立,若成立,则执行第三步;否则执行第四步; 第三步:判断 a>c 是否成立,若成立,则输出 a,并结束;否则输出 c,并结束; 第四步:判断 b>c 是否成立,若成立,则输出 b,并结束;否则输出 c,并结束。 程序框图:
开始

输入 a,b,c

a > b? Y a > c? Y 输出 a

N

b >c? Y

N

N

输出 c

输出 b

输出 c

结束

点评:条件结构嵌套与条件结构叠加的区别是:

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(1)条件结构叠加,程序执行时需依次对“条件 1” 、 “条件 2” 、 “条件 3”??都进行判断, 只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作。 (2)条件结构的嵌套中, “条件 2”是“条件 1”的一个分支, “条件 3”是“条件 2”的一个分 支,??依此类推,这些条件中很多在算法执行过程中根据所处的分支位置不同可能不被执行。 (3)条件结构嵌套所涉及的“条件 2” 、 “条件 3”??是在前面的所有条件依次一个一个的满 足“分支条件成立”的情况下才能执行的此操作,是多个条件同时成立的叠加和复合。

例 9. 设计一个算法,求 1 ? 2 ? 4 ? ..........? 2 的值,并画出程序框图。
49

解:算法步骤: 第一步:sum=0; 第二步:i=0; 第三步:sum=sum+2i; 第四步:i=i+1; 第五步:判断 i 是否大于 49,若成立,则输出 sum,结束;否则返回第三步重新执行。 程序框图:
开始

sum=0,i=0

sum=sum+2i

i=i+1

N
i>49? Y 输出 sum

结 束

点评:1. 如果算法问题里涉及的运算进行了许多次重复的操作,且先后参与运算的数之间有相 同的规律,就可引入变量循环参与运算(我们称之为循环变量) ,应用于循环结构。在循环结构中, 要注意根据条件设计合理的计数变量、累加和累乘变量及其个数等,特别要求条件的表述要恰当、 精确。 2. 累加变量的初始值一般取成 0,而累乘变量的初始值一般取成 1。 例 10. 相传古代的印度国王要奖赏国际象棋的发明者,问他需要什么。发明者说:陛下,在国际 象棋的第一个格子里面放 1 粒麦子,在第二个格子里面放 2 粒麦子,第三个格子放 4 粒麦子,以后 每个格子中的麦粒数都是它前一个格子中麦粒数的二倍,依此类推(国际象棋棋盘共有 64 个格子) 。 请将这些麦子赏给我,我将感激不尽。国王想这还不容易,就让人扛了一袋小麦,但不到一会儿就 没了,最后一算结果,全印度一年生产的粮食也不够。国王很奇怪,小小的“棋盘” ,不足 100 个格

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子,如此计算怎么能放这么多麦子?试用程序框图表示一下算法过程。

解:将实际问题转化为数学模型,该问题就是来求 1 ? 2 ? 4 ? .......? 2 的和
63

开始

sum=0,i=0

sum=sum+2i

i=i+1

N
i≥64? Y 输出 sum

结 束

点评:对于开放探究问题,我们可以建立数学模型(上面的题目要与等比数列的定义、性质和 公式联系起来)和过程模型来分析好算法,通过设计算法以及语言的描述选择一些成熟的办法进行 处理。像上面应用到了等比数列的通项公式和前 n 项和公式。

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第二节 算法案例
例题 1.1. 下列关于算法的说法中,正确的是( ). A. 算法就是某个问题的解题过程 B. 算法执行后可以不产生确定的结果 C. 解决某类问题的算法不是惟一的 D. 算法可以无限地操作下去不停止 例题 1.2. 下列各式中的 S 值不可以用算法求解的是 ( ) .A. S=1+2+3+4 B. S=12+22+32+??+1002 D. S=1+2+3+?? 例题 1.3. 下列判断正确的是( ). A. “5+6=11”是一个算法 B. “3 是 15 与 21 的公约数”是一个算法 C. 判断 15 是否为素数的一个程序或步骤是一个算法 D. 用二分法求方程 x2-2=0 的近似根是一个算法 例题 1.4. 下列说法正确的是( ). ①求解集一类的问题的算法是唯一的 ②算法必须在有限步骤后停止 ③算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊 ④算法执行后一定产生确定的结果 A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①④ 例题 1.5. 下列所给问题中,可以设计一个算法的是 ①二分法求方程 x-2sinx=0 的一个近似解;②解一个二元一次方程组; ③求半径为 3 的圆的面积; ④判断函数 y=x2 的单调性。 例题 1.6 下列说法正确的是 ①一个程序的算法步骤是可逆的 ②一个算法可以无休止地运算下去 ③完成一件事情的算法有且只有一种 ④设计算法要本着简单方便的原则 答案: C,D,C,C,①②③,④ 二、描述算法的方式 自然语言 流程图 程序设计语言(伪代码) 自然语言 例题 2.1 写出求 2× 4× 6× 8× 10 的一个算法. 例题 2.2 写出一个能找出 a,b,c 三个数中最小值的算法. 2.1. 解: 第一步:计算 2× 4,得到 8; 第二步:将第一步的运算结果 8 与 6 相乘,得到 48; 第三步:将第二步的运算结果 48 与 8 相乘,得到 384;
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1 1 C. S=1+ 2 +??+ 10000

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第四步:将第三步的运算结果 384 与 10 相乘,得到 3840. 2.2. 解: 第一步:假设 a 是最小值,用 min 表示; 第二步:如果 b<min,那么 b 是最小值 min; 第三步:如果 c<min,那么 c 是最小值 min; 第四步:min 就是 a,b,c 中的最小值. 例题 2.3. 写出在下面的数字序列中,搜索数 18 的一个算法: 2,5,7,8,15,32,18,12,8,52. 例题 2.4 写出解方程组 的一个算法. 2.3. 解: 算法设计如下: 第一步:输入实数 a; 第二步:如果 a=18,那么 a 就是所要搜索的数,否则,重复第一步; 第三步:输出 a=18. 2.4. 解: 写出解方程组 的一个算法. 13. 解:利用代入消元法,可得以下算法: 第一步:由② 得 y=7x-18; 第二步:将第一步的结果代入① ,得 3x-2(7x-18)=-2;

38 第三步:解第二步得到的方程,得 x= 11 ; 68 第四步:将第三步的结果代入第一步,得 y= 11 ; 38 68 第五步:x= 11 ,y= 11 就是方程组的解.
流程图

顺序结构(直线)

选择结构(条件)

循环结构

顺序结构:顺序结构是最简单、最常用的算法结构,语句与语句之间,框与框之间按从上到下的顺 序进行。 选择结构:是先根据条件作出判断,再决定执行哪一种操作的算法结构,它必须包含判断框。当条 件 P 成立(或称为真)时执行 A,否则执行 B,不可能两者同时执行,但 A 或 B 两个框中可以有一
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个是空的,即不执行任何操作。 循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况, 这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,它可以细分为两类:直到型循环结构、当型循环 结构. 算法, 要明确问题, 选用算法。 确定初值、 循环情况、 条件、 表达式、 程序的结构、 流向。 例题 3.1. 以下流程图解决的是什么数学问题?写出其算法步骤。

3.1 解: 所给流程图描述了求三个数 x,y,z 的最大数的算法。 其算法如下:

S 1 :输入 x,y,z; S 2 :如果 x ? y ,则令 max ? x ,否则令 max ? y, S3 :如果 max ? z ,则输出 max ,否则令 max ? z ,输出 max,计算终止。
说明:能结合简单的流程图,恰当的写出其所描述的算法,识别其运用的基本结构是解题的关 键。 例题 3.2. 已知函数 f(x)=∣ x-3∣ ,如下图的程序框图表示的是给定 x 值,求其相应的函数值的算法. 则空白处应填写( ).

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A. x>3

B. x>0

C. x<3

D. x<0

例题 3.3.到某银行办理异地汇款时,该银行要收取一定的手续费, 汇额不超过 100 元时,收取 1 元手续费; 超过 100 元但不超过 5000 元时,按汇款额的 1%收取手续费; 超过 5000 元时,一律收取 50 元手续费。 用 x 表示汇款金额,y 表示应收取的手续费(x,y 的单位均为元) 。 (1)写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)画出描述汇款金额为 x 元时,银行收取手续费为 y 元的算 法的程序框图,要求输入 x 的值,输出 y 的值; 3.3 解: ?1 (0 ? x ? 100), ? (1) y ? ?0.01x (100 ? x ? 5000), ?50 ( x ? 5000). ? (2)程序框图如下图所示: 例题 3.4. 下列是为计算 2 2 ? 4 2 ? 6 2 ? ? ? 100 2 而绘制的算法流程图, 根 据流程图回答: (1)其中正确的流程图有哪几个?错误的流程图有哪几个?错误的要指出错在哪里。 (2)错误的流程图中,按该流程图所蕴含的算法,能执行到底吗?若能执行到底,最后输出的 结果是什么? 计算 2 2 ? 4 2 ? 6 2 ? ? ? 100 2 ①图 l 有三处错误。

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第一处错误:第二个图框中 i ? 4 2 ,应该是 i ? 4 ,因为本流程图中的计数变量是 i,不是 i 2 。在

2 2 ,4 2 , ?,100 2 中,指数都是 2,而底数 2,4,6,8,?,100 是变化的,但前后两项的底数相差 2,
因此计数变量是顺加 2。 第二处错误:第三个图框中的内容错误,累加的是 i 2 而不是 i ,故应改为 p ? p ? i 2 。 第三处错误:第四个图框中的内容,其中的指令 i ? i ? 1 ,应改为 i ? i ? 2 ,原因是底数前后两 项相差 2 图 1 虽然能进行到底,但执行的结果不是所期望的结果。按照这个流程图最终输出的结果是

p ? 2 2 ? 4 2 ? (4 2 ? 1) ? (4 2 ? 2) ? (4 2 ? 84) 。
②图 2 所示的流程图中共有四处错误。 第一处错误:流程线没有箭头显示程序的执行顺序。 第二处错误:第三个图框中的内容 p=p+i 错,应改为 p=p+i2。 . 第三处错误:判断框的流程线上没有标明“是”或“否” ,应在向下的流程线上注明“是” ,在 向右的流程线上标注“否” 。 第四处错误:在第三个图框和判断过程中漏掉了循环体中起主要作用的框图,内容即为 i=i+2, 使程序无法退出循环,应在第三个图框和判断框之间添加图框 i ? i ? 2 。 图 2 流程图无法进行到底。 ③图 3 所示的流程图中有一处错误,即判断框中的内容错误,应将框内的内容“ i ? 100 ”改为 “ i ? 100 ” ;或改为“ i ? 100 ”且判断框下面的流程线上标注的“是”和“否”互换。

图 3 虽然能使程序进行到底,但最终输出的结果不是预期的结果而是 2 2 ? 4 2 ? 6 2 ? ? ? 982 , 少了 100 2 。

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实战: 4.1 计算自然数 l+2+3+?+99+100 的和。 强化训练 【例题 1】 阅读下面的流程图,若输入的 a, b, c 分别是 21、32、75,则输出的 a, b, c 分别是( ) A. 75、21、32 B. 21、32、75 C. 32、21、75 D. 75、32、21

【例题 2】给出以下一个算法的程序框图(如图所示) ,该程序框图的功能是( A. 求出 a, b, c 三数中的最大数 C. 将 a, b, c 按从小到大排列 B. 求出 a, b, c 三数中的最小数 D. 将 a, b, c 按从大到小排列



【例题 3】下面的程序框图(如图所示)能判断任意输入的数 x 的奇偶性,其中判断框内的条件 是( ) A. m ? 0 B. x ? 0 C. x ? 1 D. m ? 1

【例题 4】下面是一个算法的流程图,回答下面的问题:

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当输入的值为 3 时,输出的结果为 。 【例题 5】已知函数 f ( x) ?| x ? 3 | ,以下程序框图表示的是给定 x 值,求其相应函数值的算法,请 将该程度框图补充完整. 其中①处应填 ,②处应填 .

【例题 6】以下给出的是计算

1 1 1 1 ? ? ??? 的值的一个程序框图(如图所示) ,其中判断框 2 4 6 20
D. i ? 20 .

内应填入的条件是( ) A. i ? 10 B. i ? 10 C. i ? 20 【例题 7】下边流程图给出的程序执行后输出的结果是

【例题 8】如图,该程序运行后输出的结果为 . 【例题 9 】若框图所给程序运行的结果为 S=90 ,那么判断框中应填入的关于 k 的判断条件 是 .

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【例题 10】程序框图如下: 如果上述程序运行的结果为 S=132,那么判断框中应填入 【例题 11】一个算法的程序框图如右图所示,若该程序输出的结果为 件是 .



4 ,则判断框中应填入的条 5

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必修三
第三节

第二章统计
随机抽样

教学目标: 1.能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题; 2.结合具体的实际问题情景,理解随机抽样的必要性和重要性; 3.在参与解决随机抽样的过程中,学会用简单的随机抽样的的方法从总体中抽取样本; 4.通过实例的分析,了解分层抽样和系统抽样的方法。能通过实验、查阅资料、设计调查 问卷等方法收集数据。

(一) 、基本知识点理解:
1.个体 总体 样本 抽样 2.三种抽样方法: 2.1.简单随机抽样:设一个总体的个数为 N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次 抽取时各个个体被抽到的机会是相等的,就称这样的抽样为简单随机抽样。 常用方法:抽签法和随机数表法。 抽签法:制签(编号) 抽签 成样 随机数表法:编号 定位 数数 成样 2.2 系统抽样:当总体中个数较多的时候,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先指定的规 则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,就称这样的抽样为系统抽样(也称作是机械抽 样) 。 方法: 编号 分段(整数,分整数)定间距 定起始号(随机抽样 ) 成样 2.3 分层抽样:当已知总体有差异显著的几部分组成时,常将总体分成几个部分,然后按照各个部 分所占的比例进行抽样,这样的抽样叫作分层抽样,其中所分 成的各个部分叫作层。 方法:计算比列 按比例抽样(随机抽样、系统抽样) 3.常用的抽样方法及它们之间的联系和区别;

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(二) 、实战演练: 一、选择题: 1. 为了了解全校 240 名学生的身高情况,从中抽取 40 名学生进行测量,下列说法正确的是( ) A. 总体是 240 B、个体是每一个学生 C、样本是 40 名学生 D、样本容量是 40 2. 为了测量一批所加工零件的长度,抽测了其中 200 个零件的长度,在这个问题中,200 个零件 的长度是( ) A、总体 B、个体 C、总体的一个样本 D、样本容量 3. 对于简单随机抽样,个体被抽到的机会 A. 相等 B. 不相等 C. 不确定 D. 与抽样次数有关 4. 如果采用分层抽样,从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本,那么每个个体被抽到的可 能性为 ( )
1 A. N

B.

1 n

n C. N

D.

N n

5. 某工厂生产产品,用传送带将产品送到下一道工序,质检人员每隔十分钟在传送带的某一位置 取出一件检验,则这种抽样方法是( ) A. 简单的随机抽样 B. 系统抽样 C. 分层抽样 D. 以上答案均不对 6. 下列抽样实验中,用抽签法方便的是( ) A. 从某厂生产的 3000 件产品中抽取 600 件进行质量检验 B. 从某厂生产的两箱(每箱 15 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 C. 从某厂生产的 3000 件产品中抽取 10 件进行质量检验 D. 从甲乙两厂生产的两箱(每箱 15 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 7. 从学号为 1~50 的高一某班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数学测试,采用系统抽样的方 法,则所选 5 名学生的学号可能是 ( ) A. 1,2,3,4,5 B、10,20,30,40,50 C. 2, 4, 6, 8, 10 D、4,11,21,31,41 8、某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点.公司为了调 查产品销售的情况,需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本,记这项调查为①;在丙地 区中有 20 个特大型销售点,要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务情况,记这项调查为②.则 完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( ) A. 分层抽样法,系统抽样法 B. 分层抽样法,简单随机抽样法 C. 系统抽样法,分层抽样法 D. 简单随机抽样法,分层抽样法 *9、某初级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现要利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和 分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2,?,270;使用系统抽样时,将学生 统一随机编号为 1,2,?,270,并将整个编号依次分为 10 段.如果抽得的号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270; 关于上述样本的下列结论中,正确的是 ( ) A. ②、③都不能为系统抽样 B. ②、④都不能为分层抽样 C. ①、④都可能为系统抽样 D. ①、③都可能为分层抽样
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10. 用随机数表法从 100 名学生 (男生 25 人) 中抽 20 人进行某项活动, 某男生被抽到的几率是( ) A.

1 100

B.

1 25

C.

1 5

D.

1 4

11. 对总数为 N 的一批零件抽取一个容量为 30 的样本, 若每个零件被抽取的可能性为 25%, 则N 为 A. 150 B. 200 C. 100 D. 120

二、填空题 12.一个单位共有职工 200 人,其中不超过 45 岁的有 120 人,超过 45 岁的有 80 人.为了调查职工 的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本,应抽取超过 45 岁的职工 人 13. 某社区有 500 个家庭,其中高收入家庭 125 户,中等收入家庭 280 户,低收入家庭 95 户。为了 调查社会购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为 100 户的样本,把这种抽样记为 A;某中学高 中一年级有 12 名女排运动员,要从中选取 3 人调查学习负担的情况,把这种抽样记为 B,那么完成 上述两项调查应分别采用的抽样方法:A 为 ,B 为 。 三、解答题: *14、下列抽取样本的方式是简单随机抽样吗?为什么? (1)在机器传送带上每隔 10 件抽取一件产品作为样本; (2)在无限多个个体中抽取 50 个个体作为样本; (3)箱子里共有 100 个零件,今从中选取 10 个零件进行检验,在抽样操作时,从中任意地拿 出一个零件进行质量检验后再把它放回箱子里; (4)从 50 个个体里一次性抽取 5 个个体作为样本。 15. 从含有 50 个个体的总体中抽取 5 个个体,请用抽签抽样法写出抽样过程 16. 要从某汽车厂生产的 100 辆汽车中随机抽取 10 辆进行测试, 请用系统抽样方法, 写出抽样过 程。 17. 一个地区共有 5 个乡镇,人口 3 万人,其中人口比例为 3:2:5:2:3,从 3 万人中抽取一个 300 人的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问:应采取 什么样的方法?并写出具体过程。 18 从个体总数 N=500 的总体中,抽取一个容量为 n=20 的样本,使用随机数表法进行抽选,要取 三位数,写出你抽取的样本,并写出抽取过程. (起点在第几行,第几列,具体方法)

四、自我小结:

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第四节

用样本估计总体

教学目标: 1. 通过实例体会分布的意义和作用,在表示样本数据的过程中,学会列熟虑分布表、画熟虑分布直 方图、频率折线图、茎叶图,体会它们各自的特点;能根据实际问题的需要合理的选取样本,从 样本数据中提取基本的数字特征,并作出合理的解释。 2. 在解决统计问题中,进一步体会用样本估计总体的思想,会用样本的频率分布估计总体分布,会 用样本的特征符号估计总体的基本数字特征,初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。 3. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图认识变量的相关关系; 4. 用不同的估算方法描述两个线性相关的过程。知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方 程系数公式建立线性回归方程。

(一) 、基本知识点理解:
1.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数 在一组数据中出现最多的数据叫作众数;将数据从大到小或从小到大的顺序排列,处在中间位置上 的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数; (2)平均数、方差、标准差

x?

?

1 n ? xi n i ?1

S2 ?

? 1 n ( x ? x ? i )2 n i ?1

S?

? 1 n ( x ? x ? i ) n i ?1

2.频率分布表、频率分布直方图、折线图与茎叶图 样本中所有数据(或数据组)的频数和样本容量的比,就是该数据的频率。所有数据(或数据组) 的频率的分布变化规律叫作频率分布,可以用频率分布表、频率分布直方图、折线图、茎叶图来表 示。 频率分布直方图: 具体做法:1.求极差;2.决定组距与组数;3.数据分组;4.列频率分布表;5.画图。 注: 面积 ? 组距 ?

频率 ? 频率 组距

折线图:连接频率分布直方图中小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图。 总体密度曲线:当样本容量足够大的时候,分组越多,折线越接近一条光滑的曲线,此光滑曲线为 总体密度曲线。 3.线性回归 回归分析:对于两个变量,当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间 的关系叫作相关关系或回归关系。 回归直线方程:设 x 与 y 是具有相关关系的两个变量,且相应于 n 个观测值的 n 个点大致分布在某 一条直线的附近,就可以认为 y 对 x 的回归函数的类型为直线型:

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y ? bx ? a 其中 b ?
^

? ( xi ? x)( y i ? y)
i ?1

n

?

?

? (x
i ?1

n

i

? x) 2

?

?

? xi y i ? n x y
i ?1

n

? ?

?x
i ?1

n

2 i

?nx

?2

a ? y? b x

?

?

(二) 、例题精讲:
1.为了了解参加运动会的 2000 名运动员的年龄情况,从中抽取 100 名运动员;就这个问题,下列说 法中正确的有 ① 2000 名运动员是总体;②每个运动员是个体;③所抽取的 100 名运动员是一个样本;④样本 容量为 100 ;⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样;⑥每个运动员被抽到的概率相等. 2..为了检查一批手榴弹的杀伤半径,抽取了其中 20 颗做试验,得到这 20 颗手榴弹的杀伤半径,并 列表如下: 杀伤半径(米) 手榴弹数()颗
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7 1

8 5

9 4

10 6

11 3

12 1

在这个问题中,总体、个体、样本和样本容量个是什么? 3. 下列说法错误的是 ( ) A、在统计里,把所需考察对象的全体叫作总体 B、一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 C、平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D、一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大 4. 某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时,错将其中一个数据 105 输入为 15 ,那么由此求出的 平均数与实际平均数的差是( ) A、 3.5 B、 ? 3 C、 3 D、 ? 0.5 5. 要了解全市高一学生身高在某一范围的学生所占比例的大小,需知道相应样本的() A、平均数 B、方差 C、众数 D、频率分布
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6.. 频数分布直方图中长方形的高是该组数据的 A. 频率 B. 个数 C. 所占总体的百分比 D. 与该组数据无关 7 容量为 100 的样本数据,按从小到大的顺序分为 8 组,如下表:
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组号 频数

1 10

2 13

3 x

4 14

5 15

6 13

7 12

8 9

第三组的频数和频率分别是 ( ) A、 14 和 0.14 B、 0.14 和 14 C、

1 和 0.14 14

D、

1 1 和 3 14

8. 在如图所示的茎叶图中,众数是( ) A. 1 B. 6 C. 26 D. 2

9. 如图是根据《山东统计年鉴 2007》中的资料作成的 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人 口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字,
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右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字,从图中可以得到 1997 年至 2006 年我省城镇 居民百户家庭人口数的平均数为( ) A. 304.6 C. 302.6 B. 303.6 D. 301.6

10. 某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间,将测试结果按如下方式 分成六组:第一组,成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒;第二组,成 频率/ 组距 绩大于等于 14 秒且小于 15 秒; ……第六组,成绩大于等于 18 秒 且小于等于 19 秒. 右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. 设 0.36 成绩小于 17 秒的学生人数占全班总人数的百分比为 x ,成绩大于等 0.34 于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为 y ,则从频率分布直方图中可分 析出 x 和 y 分别为( )
0.18

A. 0.9,35 C. 0.1,35

B. 0.9,45 D. 0.1,45

0.06 0.04 0.02 0 13 14 15 16 17 18 19 秒

11、为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁-18 岁男生的体重(kg) ,得到频率分布直方图如下:

根据上图可得这 100 名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是(

)人

A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 12、在抽查某产品尺寸的过程中,将其尺寸分成若干组, ?a, b ? 是其中一组,抽查出的个体在该组的 频率为 m ,该组上的直方图的高为 h ,则 a ? b ? ( ) A. hm B.

h m

C.

m h

D. 与 m、h 无关

13、某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了 50 名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所 用时间的数据,结果用下面的条形图表示.根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读 时间为( )

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A. 0.6 h B. 0.9 h C. 1.0 h D. 1.5 h 14. 从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,则这 100 人成绩的标准差为( 分数 人数 A. 5 20 4 10 D. 3 30 2 30 1 10



3

B.

2 10 5

C. 3

8 5

15. 已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中位 数为 10.5.若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别是 . 16、数据 a1 , a2 , a3 ,..., an 的方差为 ? ,平均数为 ? ,则
2

(1)数据 ka1 ? b, ka2 ? b, ka3 ? b,..., kan ? b,(kb ? 0) 的标准差为

,平均数为



(2)数据 k (a1 ? b), k (a2 ? b), k (a3 ? b),..., k (an ? b),(kb ? 0) 的标准差 ,平均数为 . 17. 为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性, 甲、 乙两位同学各自独立作了 10 次和 15 次试验, 并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为 l 1 、 l 2 ,已知两人所得的试验数据中,变量 x 和 y 的 数据的平均值都相等,且分别都是 s、t 。那么下列说法正确的是( ) A. 直线 l 1 和 l 2 一定有公共点( s, t ) B. 直线 l 1 和 l 2 相交,但交点不一定是 (s, t ) C. 必有 l1 // l 2 D. l1与l 2 必定重合
? ? ?

18. 由一组样本数据 (x 1 , y1 ), (x 2 , y 2 ), ?, (x n , y n ) 得到的回归直线方程为 y ? b x ? a ,那么下面说法 不正确的是( ) A. 直线 y ? b x ? a 一定过点 ( x , y ) B. 直线 y ? b x ? a 至少经过点 ( x 1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) ?, ( x n , y n ) 中的一点 C.
? ? ? ? ? ?

?x y 直线 y ? b x ? a 的斜率为
? ? ?
i i ?1 n

n

i

? nx y ? nx
? 2

?

?x
i ?1

2 i

D. 直线 y ? b x ? a 和各点 ( x 1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ), ?( x n , y n ) 的偏差 面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线。 19. 观察两个相关变量的如下数据: ?3 ?5 x ?1 ?2 ?4

?

?

?

?[ y
i ?1

n

i

? (bx i ? a )] 2 是该坐标平

5 5

4 4.1

3 2.9

2 2.1

1 0.9

y

? 0 .9

?2

? 3 .1

? 3 .9

? 5 .1

则两个变量间的回归直线方程为( )

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? ? ?

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?

A. y ? 0.5x ? 1

B. y ? x

C. y ? 2x ? 0.3

D. y ? x ? 1

**20、为估计一次性木质筷子的用量,1999 年从某县共 600 家高、中、低档饭店抽取 10 家作样本, 这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为: 0.6 3.7 2.2 1.5 2.8 1.7 1.2 2.1 3.2 1.0 (1)通过对样本的计算,估计该县 1999 年消耗了多少盒一次性筷子(每年按 350 个营业日计算) ; (2)2001 年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查,调查的结果是 10 个样本 饭店,每个饭店平均每天使用一次性筷子 2.42 盒. 求该县 2000 年、2001 年这两年一次性木质筷子 用量平均每年增长的百分率(2001 年该县饭店数、全年营业天数均与 1999 年相同) ; 3 (3)在(2)的条件下,若生产一套学生桌椅需木材 0.07m ,求该县 2001 年使用一次性筷子的木材 可以生产多少套学生桌椅。计算中需用的有关数据为:每盒筷子 100 双,每双筷子的质量为 5g,所 用木材的密度为 0.5×103kg/m3; (4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量,如何利用统计知识去做,简要地 用文字表述出来。 20、解析: (1) x ?

1 (0.6 ? 3.7 ? 2.2 ? 1.5 ? 2.8 ? 1.7 ? 1.2 ? 2.1 ? 3.2 ? 1.0) ? 2.0 10

所以,该县 1999 年消耗一次性筷子为 2×600×350=420000(盒) 。 2 (2)设平均每年增长的百分率为 x,则 2(1+x) =2.42, 解得 x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去) 。 所以,平均每年增长的百分率为 10%; (3)可以生产学生桌椅套数为

0.005 ? 2.42 ? 100 ? 600 ? 350 。 ? 7260 (套) 0.5 ? 10 3 ? 0.07

(4)先抽取若干个县(或市、州)作样本,再分别从这些县(或市、州)中抽取若干家饭店作 样本,统计一次性筷子的用量. 21. 在生产过程中,测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有 100 个数据,将数据分 组如右表: (Ⅰ)在答题卡上完成频率分布表,并在给定的坐标系中画出频率分布直方图; 1.50) 中的频率及纤度小于 1.40 的频率是多少? (Ⅱ)估计纤度落在 [1.38, 分组 频数

[1.30, 1.34) [1.34, 1.38) [1.38, 1.42) [1.42, 1.46) [1.46, 1.50) [1.50, 1.54)
合计 21.解(Ⅰ ) 分组 频数 4 25 30 29 频率 0.04 0.25 0.30 0.29
- 28 -

4
25 30 29 10

2
100
频率/组距

, ? ?1.301.34 1.38? ?1.34, , ? ?1.381.42 1.46? ?1.42,

1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54

样本数据

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1.50? ?1.46, 1.54? ?1.50,
合计

10 2 100

0.10 0.02 1.00

(Ⅱ)纤度落在 ?1.381.50 , ? 中的频率约为 0.30 ? 0.29 ? 0.10 ? 0.69 ,纤度小于 1.40 的频率约为

1 0.04 ? 0.25 ? ? 0.30 ? 0.44 . 2
22. 下面是两个变量的一组数据: 1 4 9 16 25 36 则 x 与 y 两个变量之间的回归直线方程为____________。 22. 解析:根据表中的数据,可以计算出有关数据,列成下表: 2 xi yi xi 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 4 9 16 25 36 49 64 1 4 9 16 25 36 49 64 204

x y

1

2

3

4

5

6

7 49

8 64

x i yi
1 8 27 64 125 216 343 512 1296

36 204 ? 1 1 ?有x ? ? 36 ? 4.5, y ? ? 204 ? 25.5 , 8 8

?x
i ?1 ?

8

2 i

? 204,
8

?x y
i i ?1

8

i

? 1296

?b ?

?x y
i i ?1 8

i

? 8x y ? ? 8x 2

?x
i ?1 ?

2 i

1296 ? 8 ? 4.5 ? 25.5 ? 9, 204 ? 8 ? 4.5 2

a ? y ? b x ? 25.5 ? 9 ? 4.5 ? ?15

?

于是回归直线方程为 y ? ?15 ? 9 x 。答案: y ? ?15 ? 9 x 23、一个工厂在某年里每月产品的总成本 y(万元)与该月产量 x(万件)之间有如下一组数据: x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 3.03 1.80 3.14 1.87 3.26 1.98 3.36 2.07 3.50 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 (1)画出散点图。 (2)求月总成本与月产量之间的回归直线方程。 23、解: (1)画出散点图如图所示:

?

?

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(2)列出下表,并用科学计算器进行有关计算 i xi yi xiyi 1 1.08 2.25 2.43 2 1.12 2.37 2.654 3 1.19 2.40 2.856 4 1.28 2.55 3.264 5 1.36 2.64 3.590
12

6 1.48 2.75 4.07

7 1.59 2.92 4.643
12

8 1.68 3.03 5.090

9 1.80 3.14 5.652

10 1.87 3.26 6.096
12

11 1.98 3.36 6653

12 2.07 3.50 7.245

x?

18 .5 34.17 ? 2.8475 ,? xi2 ? 29.808,? yi2 ? 99.2.081,? xi yi ? 54.243 ,y ? 12 12 i ?1 i ?1 i ?1

于是由公式可得: b ? 1.215 , a ? 0.974 间的关系有如下数据:

? ? 1.215x ? 0.974 因此所求的回归直线方程是 y

24. 每立方米混凝土的水泥用量 x(单位:kg)与 28 天后混凝土的抗压强度(单位: kg / cm 3 )之

56.9 58.3 61.6 64.6 68.1 71.3 74.1 77.4 80.2 82.6 (1)画出散点图; (2)如果 y 与 x 之间具有线性相关关系,求回归直线方程; (3)如果两种用量下的抗压强度相差 12.5,则水泥用量相差多少? 24. 解析: (1)散点如图所示: 则b?
?

x y

150

160

170

180

190

200

210

220

230

240

250 86.4

260 89.7

?x y
i i ?1 12

12

i

? nx y ? ? nx 2

?x
i ?1

2 i
?

182943 ? 12 ? 205 ? 72.6 ? 0.304 , 5186000 ? 12 ? 205 2

a ? y ? b x ? 72.6 ? 0.304 ? 205 ? 10.28 。
所以所求的线性回归方程为 y ? 0.304x ? 10.28 。 (3)设两种水泥用量为 x 1 , x 2 ,则对应抗压强度为
?

?

y1 ? 0.304x 1 ? 10.28, y 2 ? 0.304x 2 ? 10.28 由题意 y1 ? y 2 ? 0.304(x 1 ? x 2 ) ? 12.5 , 所以 x 1 ? x 2 ? 41.12 。
即当两种水泥用量下的抗压强度相差 12.5 时,水泥用量相差 41.12kg。

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必修三第三章概率
第五、六节随机事件的概率

教学目标: 1. 了解随机事件发生的概率; 2. 了解等可能事件的概率的意义; 3. 掌握等可能事件概率的求法.

一、教学重点、难点
1.重点: (1) 随机、必然、不可能、等可能,基本事件的概念 (2) 了解概率的意义以及频率与概率的区别 (3) 简单概率的实际应用 2.难点:互斥事件、对立事件概率的计算.

二、基本知识:
1.随机事件的概念 事件:在一定的条件下所出现的某种确定的结果叫做事件。 事件共分三种: 必然事件:在一定的条件下必然要发生的事件,记作 U. 不可能事件:在一定的条件下不可能发生的事件,记作 V . 随机事件:在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件,记作 A、B 等. 2.基本事件空间 (1) 在试验中不能再分的最简单的随机事件, 其他事件可以用它们描绘, 这样的事件称为基本事件。 (2)所有的基本事件构成的集合称为基本事件空间。 3.随机事件的概率 随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定,但是在大量重复试验的情况下,它的发生具有 一定的规律性,或称随机事件频率的稳定性,即概率的统计定义: 在 n 次重复进行同一试验时,事件 A 发生的次数为 m 次,此时事件 A 发生的频率 m/n 总接近于某 个常数,并在它附近摆动,这时把这个常数叫作事件 A 的概率,记作 P(A). 4.事件间的关系 (1)互斥事件:不能同时发生的两个事件。 (2)对立事件:不能同时发生,但必须有一个发生的两个事件。记 A 的对立事件为 A 。 5.等可能事件 (1)等可能事件的意义:对于有些随机试验来说,每次试验只可能出现有限个不同的试验结果,而 出现所有这些不同结果的可能性是相等的(或叫机会均等原理) 。 (2)等可能性事件概率的计算方法(概率的古典定义) :如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结 果,其中事件 A 包含的结果有 m 种,那么事件 A 的概率 P(A)是 m/n(m≤n) 。
_

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一种概率古典定义的叙述方法:若事件 A1,A2,A3,?,An 发生的机会是相同的,则称它们为等可 能性事件,其中 Ai(i=1,2,?,n)称为基本事件(n 为基本事件总数) ,如果事件 A 中包含的结 果有其中的 m 种,那么事件 A 的概率 P(A)=m/n,即

6.事件间的关系 (1)并事件(和事件) 一般地,由事件 A 和 B 至少有一个事件发生所构成的事件 C,称为事件 A 和 B 的并。 注:A 与 B 互斥时事件 A+B 的概率满足公式:P(A+B)= P(A)+ P(B) 对立事件的概率公式满足:P(A+ A )= P(A)+ P( A ) (2)交事件(积事件) 若某事件的发生是事件 A 和事件 B 同时发生,则此事件称为事件 A 与事件 B 的交事件。
_ _

三、常见题型
3.1 概念题型 1.判别下列事件的种类: 如果 a,b 都是实数,那么 a·b=b·a. 八月的北京气温在摄氏零下 40℃. 校对印刷厂送来的清样,每一万字中有错、漏字 10 个. 抛一石块,石头下落. 在标准大气压下且温度低于 0 摄氏度,冰融化. 某人设计,中靶. 掷一枚硬币,出现正面. 导体通电后,发热. 从标有 1、2、3、4、5 的标签中,任意取出一张,得到 4 号签. 某电话机在一分钟内收到 2 次呼叫.
1 1000 2.如果某种彩票中奖的概率为 ,那么买 1000 张彩票一定能中奖吗?请用概率的意义解释.

3.在一场乒乓球比赛前,裁判员利用抽签器来决定由谁发球,去请用概率的知识解释其公平性. 4.已知某种彩票的中奖率为 60%,下列说法正确的是 A、购买 10 张彩票,必有 6 张中奖;B、10 人去买彩票,必有 6 人中奖; C、购买 10 次彩票,必有 6 次中奖;D、买得越多,中奖的概率越接近 60% 5.如果采取抽签的方式决定两位选手的胜负。那么下列说法正确的是 A、先抽签者有优势;B、后抽签者有优势;C、先后一样公平;D、以上说法均不对 6.掷一枚骰子,下列说法正确的是 A、1 点或 6 点朝上的概率最小,3 点或 4 点朝上的概率最大; B、2 点或 5 点朝上的概率小于 3 点或 4 点朝上的概率; C、各点朝上的概率都相同; D、各点朝上的概率因人而异,无法确定. 7.抛掷 10 枚硬币,下列说法正确的是 A、5 枚正面朝上、5 枚反面朝上的概率最大; B、全为正面朝上的概率最小;

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C、一定会出现 5 枚正面朝上、5 枚反面朝上; D、若有 n 枚正面朝上,10-n 枚反面朝上,则 n 无论取什么值(0≤n≤10) ,其概率都是一样的。 8.把一个均匀的硬币抛掷 n 次作为一随机试验,则该试验的等可能结果(基本事件)有( ) A. 2 个 B. n 个 C. 2n 个 ) C. 0 ? P( A) ? 1 D. P( A) ? 0 或 P( A) ? 1 D. 2 个
n

9.事件 A 的概率 P(A)满足( A. P(A)≈0 B. P(A)=1

3.2 频数、频率与概率 1.有 100 张卡片,分别标有 1、2??100 号,从中任取 1 张,取到的卡号是 7 的倍数的概率是多少? 2. 同时掷两颗骰子,则点数和为 5 的概率为多少? 3. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m,n 作为 P 的坐标,则点 P 落在圆 x2+y2=16 内的概率是 多少? 4.在 100 张卡片中分别写上 1 至 100 这 100 个数字,从中任取一张,则卡片上的数字为 5 的倍数的 概率为( )
A. 1 100 B. 1 10 C. 1 5 D. 2 5

5.一套书共有上、中、下三册,将它们任意列到书架的同一层上,各册自左至右或自右至左恰好列 成上、中、下的顺序的概率是多少? 6..从字母 a,b,c,d 中任意取出两个不同字母的实验中,有哪些基本事件? 7.一次投掷两颗骰子,求出现的点数之和为奇数的概率? 8. 在所有的两位数【10,99】中,任取一个数,则这个数能被 2 或 3 整除的概率是( ) A.5\6 B. 4\5 C. 2\3 D. 1\2 3.3 随机事件间的关系 1.某战士在打靶中,连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是( C) A 至多有一次中靶。 B 两次都在中靶 C 两次都不中靶 D 只有一次中靶 2.把标号为 1.2.3.4 的四个小球随机的分给甲.已.丙.丁.四个人,没人分的一个。事件“甲分的 1 号球” 与事件“已分的 1 号球”是(A) A 互斥事件但非对立事件 B 对立事件 C 相互独立事件 D 以上都不对 3.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是( C) A. 至少有 1 个黑球与都是黑球 B. 至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球 C. 恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球 D. 至少有 1 个黑球与都是红球 4.从甲口袋内摸出 1 个白球的概率是 1\3,从乙口袋内摸出 1 个白球的概率是 1\2,从两个口袋内各 摸出 1 个球,那么 5\6 等于( ) A. 2 个球都是白球的概率 B. 2 个球都不是白球的概率 C. 2 个球不都是白球的概率 D. 2 个球中恰好有 1 个是白球的概率 5. 要向一部分人征求一道数学难题的解答,假定被征解的每一个人都是独立地求解,且解出这道题 的概率都是 0.1,问: (1)其中甲、乙两人都解出这道题的概率是多少? (2)其中甲、乙两人都解不出这道题的概率是多少? (3)其中甲、乙两人恰有一人解出这道题的概率是多少? (4)其中甲、乙两人至少有一人能解出这道题的概率是多少? *6. 甲射击命中目标的概率是 1\2 乙命中目标的概率是 1\3,丙命中目标的概率是 1\4. 现在三人同时
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射击目标,则目标被击中的概率为 7 一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独 立的,并且概率都是 1\3 位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率是________。 *8. 如图,用 A、B、C 三类不同的元件连接成两个系统 N1、N2,当元件 A、B、C 都正常工作时, 系统 N1 正常工作;当元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有一个正常工作时,系统 N2 正常工作. 已 知元件 A、B、C 正常工作的概率依次为 0.80,0.90,0.90,分别求系统 N1,N2 正常工作的概率 P1、 P2.
(N1) (N2) A A B B C C

**9. 某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘 汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 4\5、3\5、2\5、1\5 且各轮问题能 否正确回答互不影响. (Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; (Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率.
答案 3.2 频数、频率与概率 1.解:因为从 1 到 100,共有 14 个 7 的倍数的数
所以,P( A) ? 14 14 7 ? ? 1 C100 100 50

2.解:

? 实 验 的 基 本 事 件 总 数 n ? 6 ? 6 ? 3 6
4 1 ? 36 9

点数和为 5 的基本事件为(1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1)这四种情况

故P( A) ?
3. 解:

? 共 有 6 ? 6 ? 3 6 个 点
8 2 ? 36 9

在圆x 2 ? y 2 ? 16内的是(1,1),(1,2 ),(2 ,1),(2 ,2 ), (2 ,3),(3,2 ),(1,3),(3,1)8个点
4.C
? P ( A) ?

5.解:全部结果有:上中下、上下中、中上下、中下上、下上中、下中上,共有 6 个,故事件“按上中下顺序排列” 的概率为 1\6. 6. 解:基本事件为 A={a,b},B={a,c},C={a,d},D={b,c},E={b,d},F={c,d} 7.解法 1: 设 A 表示 “出现点数之和为奇数” , 用

(i, j) 记 “第一颗骰子出现 i 点, 第二颗骰子出现 j 点” ,i, j ? 1,2,...6 。
,故
P ( A) ? 1 2。

显然共有 36 个基本事件,其中 A 包含的基本事件个数为

解法 2 若把一次试验的所有可能结果取为: (奇,奇) , (奇,偶) , (偶,奇) , (偶,偶) ,则基本事件总数 n=4,A 包 含的基本事件个数 k=2,故
P ( A) ? 1 2。

解法 3:若把一次试验的所有可能结果取为:{点数和为奇数},{点数和为偶数},基本事件总数 n=2,A 包含的基本 事件数为 1,故 8.C - 34 P ( A) ? 1 2。

101 网校暑假高一升高二课程 3.3 随机事件间的关系 1.c 2.a 3.c.4.a 5. 解: (1) P? A ? B? ? P? A?P?B? ? 0.1? 0.1 ? 0.01

数学

?2?P?A ? B? ? P( A) ? P?B? ? 0.9 ? 0.9 ? 0.81

?3?P?A ? B? ? P?A ? B? ? P?A?? P?B? ? P?A? ? P?B? ? 0.9 ? 0.1 ? 0.1? 0.9 ? 0.18

?4 ?1 ? P ?A ? B ? ? 1 ? 0.9 ? 0.9 ? 0.19 或 P ? P?A ? B? ? P?A ? B?? P?B ? A? ? 0.01? 0.18 ? 0.19
6.解析: 设甲命中目标为事件 A, 乙命中目标为事件 B, 丙命中目标为事件 C, 则目标被击中的事件可以表示为 A+B+C, 即击中目标表示事件 A、B、C 中至少有一个发生.
? P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? [1 ? P( A)] ? [1 ? P( B)] ? [1 ? P(C )] 1 1 1 1 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? . 2 3 4 4 故目标被击中的概率为

1-P( A · B · C )=1- 4 4
4

1

?

3

7.解因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯,所以 P=(1-1\3) (1-1\3)×(1\3)= 27 。
4

答案: 27 8. 解:记元件 A、B、C 正常工作的事件分别为 A、B、C, 由已知条件 P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90. 因为事件 A、B、C 是相互独立的, 所以,系统 N1 正常工作的概率 P1=P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=0.648, 故系统 N1 正常工作的概率为 0.648. 系统 N2 正常工作的概率 P2=P(A) · [1-P( B ? C ) ]=P(A) · [1-P( B )P( C ) ]=0.80×[1-(1-0.90) (1-0.90) ]=0.792 故系统 N2 正常工作的概率为 0.792. 9 解: (Ⅰ)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 则
P ( A1 ) ? 4 3 2 1 P ( A2 ) ? P ( A3 ) ? P ( A4 ) ? 5, 5, 5, 5,

Ai (i ? 1 , 2, 3, 4) ,

? 该选手进入第四轮才被淘汰的概率

4 4 33 2 4 96 2? 4 96 P4 ? P( A1 A2 A3 AP P A ( A3 ) P (( P ? ? 44)?? 1 ) P ( A2 ) P 4) ? P( A1( A P( A ? ?? A 2 A3 A4 ) ? P ( A 1 ) P ( A2 )P 3 ) P( P 4) ? 5 5? 55 ? 5 625 4) 5 55 625 .

(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率
? ? ? ? ? ? ? P 3 ? P( A 1?A 1A 2 ?A 1A 2A 3 ) ? P( A 1 ) ? P( A 1 ) P( A 2 ) ? P( A 1 ) P( A 2 ) P( A 3) 5 5 5 5 5 5 125 1 4 2 4 3 3 101

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