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河南省许昌市五校高二数学上学期第三次联考试题新人教A版

许昌市五校 2013-2014 学年联考高二第三次考试 理科数学试卷
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题) 、第Ⅱ卷(非选择题)和答题卷三部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2.答卷前考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号和座号用黑色水笔分别填在答题卷密封线内。 3.第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案务必答在答题卷中,否则不得分;答题卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔答在上 面每题对应的答题区域内,在试题卷上作答无效 。 ......... 4.考试结束后,只把答题卷交回(试题卷自己保留好,以备评讲 ) 。 ............. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分) 1.设集合 A ? {x || x |? 2}, B ? {x | x ? 6 x ? 5 ? 0} ,则 A ? B ? (
2

)

A. ?1, 2?

B. ?1, 2?

C. ?? 2, 5?

D. ?? 2, 5? )

2.在△ ABC 中,已知 a ? 4, b ? 6 , B ? 60 ,则 sin A 的值为(

A.

6 2

B.

3 2
1 3

C.

6 3

D.

3 3
( ) D. (3, ?6,1)

3.已知向量 a ? ( ?1, 2, ) ,下列向量中与 a 平行的向量是 A. ( ?1, 2, ? )

1 3

B. (5, ?10, ? )

5 3

C. ( ?5,10, ? )

5 3

4.抛物线 y = A. x ? ?

1 2 x 的准线方程为( m
B. y ? ?

) C. y ? ?

1 4m

1 4m

m 4

D. x ? ? (

m 4
)

5.已知 a ? (1 ? t ,1 ? t , t ), b ? (2, t , t ) ,则 | a ? b | 的最小值是

A.

5 5

B.

55 5

C.

3 5 5

D.

11 5

6. 已知 x, y 为正实数, 且 x, a1 , a2 , y 成等差数列, x, b1 , b2 , y 成等比数列, 则 ( ) A. R B.

(a1 ? a2 ) 2 的取值范围是 b1b2

(0, 4]

C. (??, 0] ? [4, ? ?)

D. [4, ? ?)

4 x2 y 2 ? ? 1 ”是“双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ”的( 3 9 16 A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. “双曲线的方程为

)

x y 8 . 已 知 点 P ( x, y ) 在 直 线 x ? 2 y ? 3 上 移 动 , 当 2 ? 4 取 得 最 小 值 时 , 过 点 P ( x, y ) 引 圆

1 1 1 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 的切线,则此切线长为( 2 4 2
A.

)

6 2

B.

3 2

C.

1 2

D.

3 2

9.已知双曲线的方程为

x2 y 2 5 c (c ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 2 3 a b
)

为双曲线的半焦距长) ,则双曲线的离心率为( A.

5 2

B.

3 2

C.

3 5 2

D.

2 3

10. ?ABC 中, a , b, c 分别是角 A, B, C 的对边,向量 p ? (1,? 3), q ? (cosB, sin B)

?

?

? ? p // q 且 b cos C ? c cos B ? 2a sin A, 则?C =(
A. 30? B. 60?

) C. 120?
?

D. 150?

11. 在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面ABC , ?BAC ? 90 , D, E , F 分别是棱 AB, BC, CP 的中点,

AB ? AC ? 1, PA ? 2 ,则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为(
A.

)

1 5

B.

2 5

C.

5 5

D.

2 5 5

12. 已知椭圆 C1 :

y2 x2 y 2 2 x ? ? 1 有公共的焦点 , C 2 的一条渐近线与以 C ? ? 1( a > b > 0) 与双曲线 2 4 a 2 b2
)

C1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则(
2 A. a ?

13 2

2 B. a ? 13

C. b2 ?

1 2

2 D. b ? 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.方程 x 2 ? 6 x ? 4 ? 0 的两根的等比中项是 .

?x ? y ? 2 ? 0 ? 14.已知实数 x,y 满足条件 ?0 ? x ? 3 ,则目标函数 z=2x-y 的最大值是 ?y ? 0 ?

.

x2 y2 ? ? 1 的左焦点, 定点A(1, 4), P 是双曲线右支上的动点, PF ? PA 的最小 15.已知 F 是双曲线 4 12
值为 . 16.在下列命题中 (1) x ? 3 且 y ? 6 是 x ? y ? 9 的充要条件; (2)命题“若 x ? A

B ,则 x ? A ”的逆命题与逆否命题;

(3)命题“若 x ? ?3 ,则 x ? 1 ? 3 ”的否命题与逆否命题;

(4) ?x ? R, ?y ? R ,使 x ? y ? 0 。 是真命题的序号为: . 三、解答题(本大题共 6 大题,共计 70 分,应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17(本题满分 10 分)对任意实数 x , | x ? 1| ? | x ? 2 |? a 恒成立,求 a 的取值范围。 18(本题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,已知 (Ⅰ)求

c sin A ? 3a cos C

.

C



(Ⅱ)若 c ?

7 且 ?A ?

?
2

,且 sin C ? sin(B ? A) ? 3 sin(2 A) ,求

?ABC

的面积.

19(本题满分 12 分)已知抛物线 C : x 2 ? 2 py( p ? 0) 上一点 A( m,4) 到其焦点 F 的距离为 (1)求 P 与 m 的值; (2)若直线 l 过焦点 F 交抛物线于 P, Q 两点,且 | PQ |? 5 ,求直线 l 的方程。

17 。 4

20 ( 本 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 直 三 棱 柱 ( 侧 棱 垂 直 于 底 面 的 棱 柱 ) ABC ? A1 B1C1 , 底 面 ?ABC 中 C1 . CA ? CB ? 1, ?BCA ? 900 ,棱 AA1 ? 2 , M、N 分别为 A1 B1、A1 A 的中点 (1)求

cos ? BA 1 , CB1 >的值;

A1 M N C

B1

(2)求证: BN ? 平面C1 MN (3)求 点B 1到平面C 1MN 的距离 .

A

B

21(本题满分 12 分)设递增等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 3 , S3 ? 13,数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , 点 P(bn , bn?1 ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上, n ? N . (Ⅰ)求数列{ an },{ bn }的通项公式; (Ⅱ)设 c n =
?

bn ? ,数列{ c n }的前 n 项和 Tn ,若 Tn ? 2a ? 1 恒成立( n ? N ) ,求实数 a 的取值范围. an

22(本题满分12分)已知椭圆C1 : A、B两点.

x2 y2 + =1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于 a 2 b2

( 1)若椭圆的半焦距c= 3,直线x= ? a与y= ? b围成的矩形ABCD的面积 为8,求椭圆的方程;

1 1 (2)若OA ? OB =0(O为坐标原点),求证: 2 + 2 =2; a b 3 2 (3)在(2)的条件下,若椭圆的离心率e满足 ?e? ,求椭圆长轴长的 3 2 取值范围.

许昌市五校联考高二第三次考试 理科数学参考答案 一、选择题 ADBC 二、填空题 13、 ?2 三、解答题 14.6 15、9 16、 (4) CDBA BACC

17 . 可 由 绝 对 值 的 几 何 意 义 或 y ?| x ? 1| ? | x ? 2 | 的 图 象 或 者 绝 对 值 不 等 式 的 性 质

| x ? 1| ? | x ? 2 |?| x ? 1| ? | 2 ? x |?| x ? 1 ? 2 ? x |? 3
得 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 3 ,………… 5 分

∴ a ? 3 ;…………10 分 (若最终答案为 a ? 3 ,则扣 2 分) 18、 (Ⅰ)由正弦定理,得 sin C sin A ? 3sin A cos C , 因为 sin A ? 0 ,解得 tan C ? 3 , C ?

?
3



……………… 5 分

(Ⅱ)由 sin C ? sin( B ? A) ? 3sin 2 A ,得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 3sin 2 A , 整理,得 sin B cos A ? 3sin A cos A . ? cos A ? 0 ,则 sin B ? 3sin A , b ? 3a .

……………… 8 分

由余弦定理,得 c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ,解得 a ? 1, b ? 3 .

?ABC 的面积 S ?

1 3 3 . ab sin C ? 2 4
2

………………

12 分

19. (12 分)已知抛物线 C:x =2py(p>0)上一点 A(m, 4)到其焦点 F 的距离为 (1)求 p 与 m 的值;

17 。 4

(2)若直线 l 过焦点 F 交抛物线于 P,Q 两点,且|PQ|=5,求直线 l 的方程。

17 p 1 2 2 =4+ ,∴ p ? ,x =y,∴m =4,m=±2 …………5 分 4 2 2 1 1 2 1 2 2 (2)依题可设 PQ 的方程为 l :y=kx+ ,与 x =y 联立,消去 x,得 y -( +k )y+ =0, 4 2 16 1 2 2 2 ∴y1+y2= +k ,而|PQ|= y1+y2+p=1+k ,k =5-1=4,k=±2 …………10 分 2 1 1 ∴直线 l 的方程为 y=2x+ 或 y= -2x+ , …………12 分 4 4
解:(1)依题 20、解:以 C 为原点,CA、CB、CC1 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的坐标系 O - xyz (图略) (1)依题意得 A1 (1,0,2), C (0,0,0), B1 (0,1,2) ,∴ BA ,?1,2),CB1 ? (0,1,2) 1 ? (1 ∴ BA ) ?1 ? 2 ? 2 ? 3 1 ? CB1 ? 1? 0 ? (?1 ∴ cos ? BA 1 , CB1 >=

BA1 ? 6 , CB1 ? 5 ,
………4 分

BA1 ? CB1 BA1 ? CB1

?

30 10

(2) 依题意得 A1 (1,0,2),C1 (0,0,2), B1 (0,1,2), N (1,0,1)

∴ M ( , ,2) ,

1 1 2 2

∴ C 1 M ? ( , ,0) , C1 N ? (1,0,?1) , BN ? (1,?1,1) ∴

1 1 2 2

C1 M ? BN ?

1 1 ? 1 ? ? (?1) ? 1 ? 0 ? 0 2 2

C1 N ? BN ? 1?1 ? 0 ? (?1) ? (?1) ?1 ? 0



C1M ? BN , C1 N ? BN


BN ? C1 M , BN ? C1 N
………8 分



BN ? 平面C1 MN
(Ⅲ)

3 3

………12 分(本题不论什么方法,只要是正确的,都给分)

21.解: (Ⅰ)由 ?

?a2 ? 3, 1 可得 q ? 3或 , 3 ?S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 13,

因为数列 ?an ? 为递增等比数列,所以 q ? 3 , a1 ? 1 . 故 ?an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列. 所以 an ? 3n?1 .…………3 分 由点 P(bn , bn?1 ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上,所以 bn?1 ? bn ? 2 . 则数列 ?bn ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.则 bn ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1 . (Ⅱ)因为 cn ? 则 Tn ? 两式相减得: ………5 分

bn 2n ? 1 1 3 5 ? n ?1 ,所以 Tn ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 3 3 an 3
1 3 5 ? ? ? 31 32 32 ?

?

2n ? 1 . 3n ?1

1 3

2n ? 3 2n ? 1 ? n ,…………7 分 3n ?1 3

2 2 2 2 2n ? 1 Tn ? 1 ? ? 2 ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 1 1 …………8 分 [1 ? ( ) n ?1 ] 2n ? 1 1 n ?1 2n ? 1 3 3 ? 1? 2? ? n ? 2?( ) ? n . 1 3 3 3 1? 3 n ?1 1 2n ? 1 ? 3 ? n ?1 .…………9 分 ? 所以 Tn ? 3 ? n?2 n ?1 3 2?3 2?3 n?2 n ? 1 2n ? 1 ? 0, …………10 分 ? Tn ?1 ? Tn ? 3 ? n ? 3 ? n ?1 ? 3 3 3n

? Tn ? T1 ? 1 . 若 Tn. ? 2a ? 1 恒成立,则

1 ? 2a ? 1 ,? a ? 1 . ……………12 分

?b ? 3 a ?2 22.解:( 1)由已知得: ?a 解得 ? b 4 ab ?8 ?1 ?? 3分
2 2

?

x2 所以椭圆方程为: ? y 2 ? 1?? 4分 4


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