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河南省许昌市三校高二数学下学期第二次联考试题 理

噼噼啪啪 噼噼啪 啪

许昌市三校联考高二下学期第二次考试

数学(理)试卷

(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)

第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是 符合题目要求的.)

1.若命题 p:x=2 且 y=3,则?p 为( )

A. x≠2 或 y≠3

B. x≠2 且 y≠3

C. x=2 或 y≠3

D. x≠2 或 y=3

2.若 a>b> 0,则下列不等式中总成立的是( )

A. a+1a>b+1b

B. a+1b>b+1a

b b+1 C. a>a+1

2a-b a D. a+2b>b

3.等比数列{an}的公比为 q,则“a1>0 且 q>1”是“对任意的 n∈N*,都有 an+1>an”的( )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分又不必要条件

4.函数 f(x)=12x2-ln x 的单调递减区间为(

)

A. (-1,1]

B. [1,+∞)

C. (0,1]

D. (0,+∞)

5.已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解集是???-12,-13???,则不等式 x2-bx-a<0 的解集是
()

A. ???13,12???
C. (2,3)

B. ???-∞,13???∪???12,+∞???
D. (-∞,2)∪(3,+∞)

6.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点,则 sin〈C→M,D→1N〉

的值为( )

A.

1 9

B. 23C.29 5

D.

4 9

5

x2 y2 7.过椭圆 6 + 5 =1

内的一点

P(2,-1)的弦,若恰好被

P

点平分,则这条弦所在的直线

方程是( )

A. 5x+3y+13=0

B. 5x+3y-13=0

C. 5x-3y+13=0

D. 5x-3y-13=0

8.定义:若椭圆的方程为xa22+yb22=1(a>b>0),则其特征折线为|xa|+|by|=1(a>b>0).设

椭圆的两个焦点为 F1、F2,长轴长为 10,点 P 在椭圆的特征折线上,则下列式子正确 的是( )

A. |PF1|+|PF2|>10 C. |PF1|+|PF2|≥10 9.现有下列命题: ①? x∈R,不等式 x2+2x>4x-3 均成立;

B. |PF1|+|PF2|<10 D. |PF1|+|PF2|≤10

房东是个大帅哥

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②若 log2x+log22≥2,则 x>1; ③“若 a>b>0 且 c<0,则ca>cb”的逆否命题是真命题;

④若命题 p:? x∈R,x2+1≥1,命题 q:? x0∈R,x02-x0-1≤0,则命题 p∧ ? q 是

真命题.则其中真命题为( )

A. ①②③

B. ①②④

C. ①③④

D. ②③④

10.记数列{2n}的前 n 项和为 an,数列???a1n???的前 n 项和为 Sn,数列{bn}的通项公式为

bn=n-8,则 bnSn 的最小值为( )

A. -3

B. -4

C. 3

D. 4

11.椭圆 C:xa22+yb22=1(a>b>0)的左焦点为 F,若 F 关于直线 3x+y=0 的对称点 A 是椭圆

C 上的点,则椭圆 C 的离心率为( )

A.

1 2

B.

3-1 2

C.

3 2

D. 3-1

12.函数 f(x)的定义域是 R,f(0)=2,对任意的 x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式

ex·f(x)>ex+1 的解集是( )

A. {x|x>0}

B. {x|x<0}

C. {x|x<-1 或 x>1}

D. {x|x<-1 或 0<x<1}

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.设 P 为曲线 C:y=x2-x+1 上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是[-1,3],
则点 P 纵坐标的取值范围是__________.

?? x≥0, 14.已知点 P(x,y)满足条件?y≤x,
??2x+y+k≤0

(k 为常数),若 z=x+3y 的最大值为 8,

则 k=______. 15.在△ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为 S,若 S+a2=(b+c)2,
则 cos A 等于_________.

16.设 F1、F2 为曲线 C1:x62+y22=1 的焦点,P 是曲线 C2:x32-y2=1 与 C1 的一个交点,

则△PF1F2 的面积为________. 三、解答题(第 17~2l 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22~23 题为选考题,

考生根据要求作答,本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)
在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,面积为 S,已知 acos2C2+ccos2A2=32b.

(Ⅰ)求证:a、b、c 成等差数列;

(Ⅱ)若 B=π3 ,S=4 3,求 b.

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18.(本小题满分 12 分) 正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:S2n-(n2+n-1)Sn- (n2+n)=0. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an;

(Ⅱ)令

bn=

(

n

n ?1 ? 2)2 an

2

,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明:对于任意的 n∈N*,都有 Tn<654.

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 为梯形,PD⊥底面 ABCD,AB∥CD,AD⊥CD,
AD=AB=1,BC= 2,CD=2. (Ⅰ)求证:平面 PBD⊥平面 PBC;
(Ⅱ)设 H 为 CD 上一点,满足 CH=2HD,若直线 PC 与平面 PBD 所成的角的正切值为 36, 求二面角 H?PB?C 的余弦值.

20.(本小题满分 12 分 ) 已知抛物线 C:y=2x2,直线 l:y=kx+2 交 C 于 A,B 两点,M 是线段 AB 的中点,过 M
作 x 轴的垂线交 C 于点 N. (Ⅰ)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (Ⅱ) 是否存在实数 k,使以 AB 为直径的圆 M 经过点 N?若存在,求 k 的值;若不存在,
说明理由.

21.(本小题满分 12 分)

已知函数 f(x)= a + lnx. x

(Ⅰ)若函数 f(x)在区间[1,e]上的最小值是 3 ,求 a 的值;

2

(Ⅱ)当

a=1

时,设

F(x)=f(x)+1+

ln x x

,求证:当

x>1

时,

F ( x) 2e x-1



e+1 xex+1



【选做题】

房东是个大帅哥

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请从下面所给的 22,23 两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)【选修 4—4:极坐标与参数方程选讲】
在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知

直线

l:ρ

=-

6

3 cos ?+4 sin ?

,曲线

C:

?x

? ?

y

? 3 ? 5cos? ? 5 ? 5sin?

(? 为参数).

(Ⅰ)将直线 l 化成直角方程,将曲线 C 化成极坐标方程; (Ⅱ)若将直线 l 向上平移 m 个单位后与曲线 C 相切,求 m 的值.

23.(本小题满分 10 分)【选修 4—5:不等式选讲】 已知函数 f(x)=2|x-1|-a,g(x)=-|2x+m|,a,m∈R,若关于 x 的不等
式 g(x)≥-1 的整数解有且仅有一个值为-3. (Ⅰ)求整数 m 的值; (Ⅱ)若函数 y=f(x)的图象恒在函数 y= 1 g(x)的上方,求实数 a 的取值范围. 2

许昌市三校联考高二下学期第二次考试

数学(理)试卷参考答案

一、选择题

ABACCD DDABDA

二、填空题

13.???34,3???
三、解答题

14.-6

15.-1175

16. 2

17.(本小题满分 12 分)

(Ⅰ)证明:由正弦定理得:sin Acos2C2+sin Ccos2A2=32sin B,

∴sin

A+sin 2

Acos

C+sin

C+sin 2

Ccos

A=32sin

B,

∴12sin A+12sin C+12sin(A+C)=32sin B,

∴sin A+sin C=2sin B,∴a+c=2b,∴a、b、c 成等差数列.……………………6 分

(Ⅱ)解:∵S=12acsin B= 43ac=4 3,∴ac=16. 又 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac, 由(Ⅰ)得:a+c=2b,∴b2=4b2-48,∴b2=16,即 b=4.……………………12 分

18.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:由 S2n-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0,得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0.
由于{an}是正项数列,所以 Sn>0,Sn=n2+n.. 于是 a1=S1=2,n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.

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综上,数列{an}的通项 an=2n.……………………6 分

(Ⅱ)证明:由于 an=2n,bn=

n+1 n+

2a2n,则 bn=4n2

n+1 n+

2=116???n12-

1 n+

2???.

Tn=116???1-312+212-412+312-512+…+

1 n-

1 2- n+

2

1

1

+n2- n+

2 ???

=116???1+212-

1 n+

1 2- n+

19.(本小题满分 12 分)

2???<116???1+212???=654..……………………12 分

(Ⅰ)证明:由 AD⊥CD,AB∥CD,AD=AB=1,可得 BD= 2.

又 BC= 2,CD=2,∴BC⊥BD.

∵PD⊥底面 ABCD,∴PD⊥BC,又 PD∩BD=D,

∴BC⊥平面 PBD,又 BC? 平面 PBC,∴平面 PBD⊥平面 PBC.……………………4 分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知∠BPC 为 PC 与平面 PBD 所成的角, ∴tan∠BPC= 36,∴PB= 3,PD=1. 由 CH=2HD 及 CD=2,可得 CH=43,DH=23. 以点 D 为坐标原点,DA,DC,DP 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间 直角坐标系. 则 B(1,1,0),P(0,0,1),C(0,2,0),H???0,23,0???. 设平面 HPB 的法向量为 n=(x1,y1,z1),

??H→P·n=0, 则???H→B·n=0,

??-23y1+z1=0,

???x1+13y1=0,

取 y1=-3,则 n=(1,-3,-2).

设平面 PBC 的法向量为 m=(x2,y2,z2),

??P→B·m=0, 则???B→C·m=0,

即???x2+y2-z2=0, ??-x2+y2=0,

取 x2=1,则 m=(1,1,2).

又 cos〈m,n〉=|mm·||nn|=- 721.故二面角 H?PB?C 的余弦值为 721..………12 分 20.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证法一:设 A(x1,y1),B(x2,y2),把 y=kx+2 代入 y=2x2 中,得 2x2-kx-2=0, ∴x1+x2=k2.∵xN=xM=x1+2 x2=k4,∴N 点的坐标为???k4,k82???. ∵(2x2)′=4x,∴(2x2)′|x=k4=k,即抛物线在点 N 处的切线的斜率为 k.

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∵直线 l:y=kx+2 的斜率为 k,∴切线平行于 AB. ……………………5 分 证法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),把 y=kx+2 代入 y=2x2 中得 2x2-kx-2=0,∴x1+x2 =k2.∵xN=xM=x1+2 x2=k4,∴N 点的坐标为???k4,k82???. 设抛物线在点 N 处的切线 l1 的方程为 y-k82=m???x-k4???, 将 y=2x2 代入上式得 2x2-mx+m4k-k82=0,
∵直线 l1 与抛物线 C 相切,∴Δ =m2-8???m4k-k82???=m2-2mk+k2=(m-k)2=0, ∴m=k,即 l1∥AB. ……………………5 分 (Ⅱ)解:假设存在实数 k,使以 AB 为直径的圆 M 经过点 N. ∵M 是 AB 的中点,∴|MN|=12|AB|. 由(1)知 yM=12(y1+y2)=12(kx1+2+kx2+2)=12[k(x1+x2)+4]=12???k22+4???=k42+2, ∵MN⊥x 轴,∴|MN|=|yM-yN|=k42+2-k82=k2+8 16.

∵ |AB| = 1+k2 × x1+x2 2-4x1x2 = 1+k2 ×

× k2+16.

k2+16 1 ∴ 8 =4

k2+1×

k2+16,∴k=±2,

???k2???2-





1 2

∴存在实数 k=±2,使以 AB 为直径的圆 M 经过点 N. ……………………12 分

21.(本小题满分 12 分)

解:

(Ⅰ)因



f ?(x) ?

x?a x2

,且 x??1,e?,则

k2+1

①当 a ?1时, f ?(x) ? 0 ,函数 f (x) 单调递增,其最小值为 f (1) ? a ?1,这与函数在?1, e?

上的最小值是 3 相矛盾; 2
②当1 ? a ? e 时,函数 f (x) 在[1, a) 上有 f ?(x) ? 0 ,单调递减,在 (a, e] 上有 f ?(x) ? 0 ,

单调递增,∴函数 f (x) 的最小值为 f (a) ? ln a ?1 ? 3 ,得 a ? e . 2
③当 a ? e 时, f ?(x) ? 0 ,函数 f (x) 在?1, e? 上单调递减,其最小值为 f (e) ? 1? a ? 2 ,
e 与最小值是 3 相矛盾.
2

综上, a 的值为 e .……………………5 分

证明:(Ⅱ)要证

F ( x) 2ex?1

?

e ?1 ,即证 xex ?1

F ( x) e ?1

?

2ex?1 ,……………………6 xex ?1



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当 a ?1时, F(x) ? 1? 1 ? ln x ? ln x ,

x

x

F ?( x)

?

?

1 x2

?

1 x

?

1

? ln x2

x

?

x

? ln x2

x

,…………7



令?(x) ? x ? ln x ,则?(? x)? 1? 1 ? x ?1 , xx

当 x ? 1时,??(x) ? 0 , ?(x) 递增;当 0 ? x ? 1时,??(x) ? 0 , ?(x) 递减,

∴?(x) 在 x ? 1 处取得唯一的极小值,即为最小值,即?(x) ? ?(1) ? 1 ? 0 ,

∴ F?(x) ? 0 ,∴ F(x) 在(0,? ?)上是增函数,

∴当 x ? 1 时, F(x) 为增函数,…………9 分

故 F(x) ? F(1) ? 2 ,故 F (x) ? 2 . e?1 e?1

令 h(x)

?

2e x?1 ,则 h?(x) ? 2 xe x ? 1

e x ?1 ( xe x

?1) ? (xex (xex ?1)2

? 1)?e x ?1

?

2ex?1(1 ? ex ) . (xex ?1)2

…………10 分

∵ x ? 1,∴1? ex ? 0 ,∴ h?(x) ? 0 ,即 h(x) 在(1,? ?)上是减函数,



x

? 1时, h(x)

?

h(1)

?

2 ,所以 e ?1

F ( x) e ?1

?

2 e ?1

?

h(x)

,即

F ( x) e ?1

?

2ex?1 , xex ?1

所以

F ( x) 2ex?1

?

e ?1 xex ?1

.……………………12



【选做题】 22.(本小题满分 10 分)【选修 4—4:极坐标与参数方程选讲】
解:(Ⅰ)直线 l 的参数方程化为 3? cos? ? 4? sin? ? 6=0 ,

则由 ? cos? ? x , ? sin? ? y ,得直线的直角坐标方程为 3x ? 4 y ? 6=0 .………2 分



?x

? ?

y

? 3 ? 5cos?, ? 5 ? 5sin?.

,消去参数 ?

,得 (x

? 3)2

?

(y

? 5)2

?

25



即 x2 ? y2 ? 6x ?10 y ? 9 ? 0 (*),

由 ? 2 ? x2 ? y2 , ? cos? ? x , ? sin? ? y ,

代入(*)可得曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 6? cos? ?10? sin? ? 9 ? 0 .… ……5 分

(Ⅱ)设直线 l? : 3x ? 4 y ? t=0 与曲线 C 相切.

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由(Ⅰ)知曲线 C 的圆心为 (3,5) ,半径为 5,则 | 3? 3 ? 4 ? 5 ? t | =5 , 32 ? 42

解得 t= ? 4 或 t= ? 54 ,…………………………7 分

所以 l? 的方程为 3x ? 4y ? 4=0 或 3x ? 4y ? 54=0 ,即 y ? ? 3 x ?1或 y ? ? 3 x ? 27 .

4

42

又将直线 l 的方程化为 y ? ? 3 x ? 3 , 42

所以 m=1? (? 3) ? 5 或 m= 27 ? (? 3) ? 15 .…………………………10 分

22

22

23.(本小题满分 10 分)【选修 4—5:不等式选讲】
解: (Ⅰ)由 g(x) ? ?1,即 ? 2x ? m ? ?1, 2x ? m ?1,

所以 ?m ?1 ? x ? ?m ?1 .……2 分

2

2

? 不等式的整数解为-3,则 ?m ?1 ? ?3 ? ?m ?1 ,解得 5 ? m ? 7 .

2

2

又不等式仅有一个整数解-3,∴ m ? 6 .……………………4 分

(Ⅱ)因为 y ? f (x) 的图象恒在函数 y ? 1 g(x) 的上方,故 f (x) ? 1 g(x) ? 0 ,

2

2

所以 a ? 2 x ?1 ? x ? 3 对任意 x ?R 恒成立.……………………5 分

??3x ?1

设 h(x)

?

2

x ?1

?

x?3

,则 h(x)

?

? ?5 ?

x

??3x ?1

x ? ?3 ? 3 ? x ? 1 ……………7 分 x ?1

作出 h(x) 图象得出当 x ?1 时, h(x) 取得最小值 4,

故 a ? 4 时,函数 y ? f (x) 的图象恒在函数 y ? 1 g(x) 的上方, 2
即实数 a 的取值范围是 (??, 4) .……………………10 分

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