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天津市第一中学2014-2015学年高一上学期数学必修1导学资料 2.1 指数和指数函数

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第一学期 第四周

[课程内容] ?
2.1 指数和指数函数
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

1、准备知识要点:正整数指数幂的运算法则 2、本阶段知识要点:理解分数指数幂的概念和分数指数的运算性质. 掌握指数函数的定义、值域和图象,以及它们的相关的性质.

在数学里我们把相同因式的连乘积称为幂,即乘方的运算.当然,这是建立在算术的运 算之中即次数为正整数. 在这个基础上我们在初中阶段把以上的知识进一步扩展到整数指数幂的概念,即正整 数指数幂、零整数和负整数指数幂的意义,以及有关整数指数幂的相关的运算性质. 2.1.1 指数与指数幂的运算就是在以上的基础上,介绍了根式、分数指数幂的概念即有 理指数的概念及如何利用分数指数的运算性质进行相关的指数运算. 随着历史的发展十七世纪到十八世纪逐步地完成了指数概念的扩充,即指数概念扩充 到任意实数指数.因此也就有对指数函数的研究的必要的准备. 2.1.2 指数函数及其性质这一节中,介绍了指数函数的概念、图象和性质. 1.整数指数幂 ①概念 an=a·a……a,其中 n∈N* n个a a0 = 1(a≠0)

a?n =

1 (a ≠ 0, n ∈ N *) an

注:后二个性质指出了零不能做零次幂和负整数指数幂的底数. ②运算性质 am·an = am+n(m、n∈Z),即同底的幂相乘底数不变指数相加. am÷an = am-n(m、n∈Z),即同底的幂相除底数不变指数相减. (am)n = amn(m、n∈Z),即幂的乘方,底数不变指数相乘. (a·b)n = an·bn(m、n∈Z),即乘积的幂等于幂的乘积,这个结论对于商的情况也是成立 的,即有:

a an ( ) n = (a ? b ?1 ) n = a n ? b ? n = n b b
2.方根 ①定义:一般地,如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且 n∈N*),那么这个数就叫做 a 的 n 次方根.就是说,如果 xn=a,那么 x 就叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1 且 n∈N*. 从定义中不难发现方根是通过乘方的形式来定义的,因此可以理解为乘方与方根它们 之间的运算是互为逆运算.

②性质 1o 在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数. 2o 在实数范围内,正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的实数,负数的偶次方 根没有意义. 3o 零的任何次方根都是零. 3.根式

(1) 定义 : 一般地, 我们称式子n a叫做根式.这里的n叫做根指数, a叫做被开方数. (2) 性质 : 1o ( n a ) n = a (n ∈ N *) 2 o 当n为奇数时 (n a n ) = a ?a (a ≥ 0) 当n为偶数时 ( n a n ) =| a |= ? ?? a(a < 0)
4.分数指数幂 ①分数指数幂的意义
m

1o 正数的正分数指数幂的意义 : a n = n a m (a > 0, m, n ∈ N * 且n > 1) m 1 ?n o 2 正数的负分数指数幂的意义 : a = m (a > 0, m, n ∈ N * 且n > 1)
an
3o 0 的正分数指数幂等于零,0 的负分数指数幂没有意义. 注: 1o 引入了分数指数幂后不能与正整数次幂表示相同因式的乘积同样的去理解.它是一种 新的概念. 2o 指数运算的范围由整数指数扩充到有理指数.这是和我们对实数的认识的过程是一样 的,是逐步地扩大同时也在增添新的内容. 3o 要注意在不同范围内的幂的底数的取值范围,如指数 n=0 时底数 a≠0,n 为负整 数指数时,底数 a≠0,当 n 为分数指数时,底数 a>0. ②有理指数幂的运算性质 在这一部分,虽然运算性质的表达式是一样的.但是,它们的运算条件发生了变化.请同样 特别注意. 1o ar·as=ar+s(a>0, r、s∈Q) 2o (ar)s = ars(a>0, r、s∈Q) 3o ar÷as=ar-s(a>0, r、s∈Q) 4o (ab)r = ar·br(a>0,b>0, r∈Q) 注:

1o 对a > 0的规定是基于下面的要求. 当指数扩大到有理数范围时, 不是对任何 的a当r为有理数时, a 均有意义, 如(?4) . 为了使对于任何的r , a r 均有意义, 我们只有
r

1 2

规定a > 0.
2o 如果将指数的范围继续扩大到实数时特别是指数为无理数时,上面的运算仍然还是 成立的.但是,对于解释无理数指数这个概念需要涉及高中数学知识以外的内容.因此,中学 是无法讲授这个内容我们只需知道以下两点即可:若 a>0,x 是一个无理数,则 ax 表示一 个确定的实数,而 ax 的运算法则仍然遵循有理指数的运算.所以,讲到这一节,我们不难发 现若对底数 a 进行约定.一般地,若 a>0,则 ax 中 x 为正整数、零、负整数、有理数、无 理数,实数时它们的运算的法则是相同的.这样做既扩展了人们的认识,同时又达到了运算 规律的统一.因此,对于下面要介绍的指数函数中的底数 a>0 的条件也就不奇怪了. 5.指数函数 ①定义:一般地,函数 y=ax(其中 a>0 且 a≠1)叫做指数函数. ②函数的图象和性质 a>1 0<a<1

图象





图象都在 x 轴上方,(a>1 时,向左无限接近于 x 轴,当 0<a<1 时,向右无限接近于 x 轴),图象都过(0,1)点. y 轴右侧图象在 y=1 上方 图象特征 y 轴左侧图象在 y=1 下方 从左到右,图象逐步上升 y 轴右侧图象在 y=1 下方 y 轴左侧图象在 y=1 上方 从左到右,图象逐步下降

在 y 轴左边,底数大的函数图象总在底数小的下方,在 y 轴右 边,底数大的函数图象总在底数小的上方. 定义域为 x∈R 值域为 y∈(0,+∞) 当 x=0 时,y=1 即都过点(0,1) 函数性质 在 R 上是增函数 当 x<0 时 0<ax<1 当 x>0 时 ax>1 在 R 上是减函数 当 x<0 时 ax>1 当 x>0 时 0<ax<1

当 a1<a2 且 x<0 时,a1x>a2x,当 a1<a2 且 x>0 时,a1x>a2x

例 1.计算以下各题:

1. (?0.027)

?

2 3 ? 2 3 2 3×( ? ) 3

3 =( [ ? 0.3) ]

= [?0.3]
7

= (?0.3) ? 2 =

1 100 = 0.09 9

2. ? 2 ?2 × 4 2 ÷ 8 4 × 1616 = ?2 ?2 × (2 2 ) 2 ÷ (23 ) 4 × (2 4 ) 16 = ?2
3 7 ? 2+3? + 4 4 3 1 7

3

1

= ?2 2 = ?4

3. 7 ? 2 2 2 × 2 × 4 2 = ?2
7 7 1 1 1+ + 2 4 7

× 2×4 2

= ? 24 × 2 × 4 2
1 1 1

= ?2 4 × 2 2 × 2 4 = ?2 4 = ?2
4 ? 1 1 1 + + 2 4

4

4. a 3 b 2 ÷ ( 3 a 2 a ? 3 b ) =a
41 ? ? 3 4 ? 1

b
1

2?

1 4

2

1

1

÷ (a 3 ? a 6 ? b 3 )
5 1

= a 3 b 2 ÷ (a 6 ? b 3 ) = a 6b6
3

?

7

1

5. 4 4 + 2
3 2

?

1 2

?(

1 2

) 0 ÷ 2 ? 2 × (?2 2 ) ? (1 ? 2 ) ?1

1 ? 1 ÷ × (?4) + (1 + 2 ) 4 2 =2 2+ ? 4 × (?4) + 1 + 2 2 7 2 = + 17 2 =2 +2

1 ? 2

6. 3 =3

2 ? 6 ?6 8+ 4 3 + 2 ? 6 ?3

3 1+ 3 2 3(1 ? 3 2 + 3 4 ) 1+ 2

2+ 6+

= 3 2 ? 6 +1? 3 2 + 3 4 =1? 3 2
7. 化简 ( x ? y ) ÷ ( x ? y
1 ?1 1 2 ? 1` 2

)
1

= (x 2 + y
1

?

1` 2 1`

1

)( x 2 ? y

?

1` 2

) ÷ (x 2 ? y

?

1` 2

)

= (x 2 + y 2 ) a 2 + a ?2 ? 2 8. 化简 a 2 ? a ?2 (a ? a ?1 ) 2 a ? a ?1 a 2 ? 1 原式 = = = (a + a ?1 )(a ? a ?1 ) a + a ?1 a 2 + 1 a ?b a+b ? 1 9. 化简 1 1 1 a3 ? b3 a3 + b3
原式 = (a + a b + b ) ? (a ? a b + b ) = 2a b
3
1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 1 3 1 3 2 3

?

3

3

3

10. 化简

(a 4 ? b 4 )(a 4 + b 4 ) (a ? b )
1 2 1 2

原式 =

a ?b a ?b
1 2 1 2

3 2

3 2 1 2 1 2

=

(a ? b )(a + a b + b) a ?b
1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

= a+a b +b
通过以上的练习我们可以看出利用分数指数幂进行根式运算,其方法是先把根式化为 分数指数幂,再根据幂的运算性质进行运算,对于计算结果,不强求统一用什么来表示, 如果没有特殊要求就可以用分数指数幂的形式表示,如果有特别要求,就应根据要求给出 结果.一般情况下结果不能同时含有根号和分数指数. 例 2.比较以下的大小: (1)2.33.5 和 2.34.1 (2)0.4-0.2 和 0.4-0.7

2 3 (3) ( ) ?π 和( ) 3.1 3 2
(4)0.50.7 和 0.3-1.5 解: (1)2.3>1 3.5<4.1 ∴2.33.5<2.34.1

(2)0.4<1 -0.2>-0.7 ∴0.4-0.2 <0.4-0.7 以上的运算均使用了函数单调性的性质应用.

3 2 2 2 3 (3) ( ) 3.1 = ( ) ?3.1 ∴ ( ) ?π > ( ) ?3.1 = ( ) 3.1 这个运算使用了化同底的思路. 2 2 3 3 3
(4)∵0.50.7<0.5-1.5<0.3-1.5 又∵0.50.7<1 而 0.5-1.5>1 ∴0.50.7<0.3-1.5 在这个运算中引用中间变量 1. 以上的例题说明在比较两个幂的大小,可以按下面的原则来进行. (1)若是两个幂同底,则可以利用指数函数的单调性来比较大小. (2)若两个幂是不同的底且指数也不相同,则可以寻找一个中间量来达到这两个幂的过渡.
1 3
?

如3 > 1 > 3.1 即利用a > 1, x > 0则a x > a 0 = 1.而a > 1, x < 0, 则有0 < a x < 1
也可以利用同底式不同指数;或同指数而不同底来比较大小,即采用一个新的中间量来达到比 较大小.

1 3

1 1 1 1 1 如( ) 3 < ( ) 3 < ( ) 3 , 从而( ) 3 < ( ) 3 ? 5 2 5 2 2

2

2

1

2

1

a ?2 ? b ?2 的结果是( ) 1. 化简 2 a ? b2 1 A. ? 1 B. ? 2 2 C. a ?1 + b ?1 ab
2.下列各式成立的是( )
2 1

D.

1 ab

2 2

A. 3 m 2 + n 2 = (m + n) 3
1

b B. ( ) 5 = a 5 b 5 a
1

C. 6 (?2) 2 = (?2) 3
m n

D.

3

4 = 23
)

3.下列各式中不成立的是(其中 a>0) (

A. n a m = a

B. a
1 n n

m ? n

=

1 a
m n ( m 2 ) n

C. a = ( a ) = (a ) = a D. (a
n n n n

m ? n 2

) =a

4.下面四个运算,其中正确的个数是( A.1 个 B. 2 个 C. 3 个

)

D. 4 个

b a (1)( ) ? n = ( ) n a b ?1 ?1 a +b ab(a ?1 + b ?1 ) b + a (2) ?1 = = (a ≠ b)(ab ≠ 0) a ? b ?1 ab(a ?1 ? b ?1 ) b ? a (3)若a ≠ b, 则 ( a + b) n ( a ? b ) n = 1恒成立 (a 2 ? b 2 ) n
1 1 1 1 ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? 16 8 4 ? ?1 + 2 ? ? 1 + 2 ? ? 1 + 2 ? ?1 + 2 2 ? ,结果是( ?? ? ?? ?? ??
?1 1 ? ? ? 32 B、 ? 1 ? 2 ? ? ?
4

(4)若a ? b = 1, 则a 2000 ? b 2001 = b
5.化简 ? 1 + 2

?

?

1 32

?



1 ? ? 1? 32 A、 ? 1 ? 2 ? 2? ?
4

?1

C、 1 ? 2

?

1 32

1 ? ? 1? 32 D、 ? 1 ? 2 ? 2? ?

6. ?

? 3 6 a 9 ? ? 6 3 a 9 ? 等于( ? ? ? ? ? ? ? 16 8 B、 a A、 a
7.若 a > 1, b < 0 ,且 a + a
b ?b

) C、 a C、 ?2
4

D、 a D、2

2

= 2 2 ,则 a b ? a ? b 的值等于(

) )

A、 6

B、 ±2

8.函数 f ( x) = a ? 1 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是(
2

(

)

x

A、 a > 1

B、 a < 2

C、 a <

2

D、 1 < a < )

2

9.下列函数式中,满足 f ( x + 1) =

1 f ( x) 的是( 2

1 1 x B、 x + C、 2 ( x + 1) 2 4 x 2 ?x 10.下列 f ( x) = (1 + a ) ? a 是( )
A、 A、奇函数 B、偶函数
2 2

D、 2

?x

C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数
a b

1 1 1 1 3 11.已知 a > b, ab ≠ 0 ,下列不等式(1) a > b ;(2) 2 > 2 ;(3) < ;(4) a > b 3 ; a b

(5) ? ? < ? ? 中恒成立的有( A、1 个 12.函数 y = A、奇函数 13.函数 y =
x
x

?1? ?3?

a

?1? ?3?

b

) D、4 个

B、2 个

C、3 个 )

2 ?1 是( 2x + 1

B、偶函数

C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数

1 的值域是( ) 2 ?1 A、 ( ?∞,1) B、 ( ?∞, 0 ) U ( 0, +∞ ) C、 ( ?1, +∞ )
x

D、 ( ?∞, ?1) U ( 0, +∞ ) )

14.已知 0 < a < 1, b < ?1 ,则函数 y = a + b 的图像必定不经过( A、第一象限 15. F ( x) = ?1 + A、是奇函数 C、是偶函数 的价值为( ) B、 a (1 ? nb%) C、 a[1 ? (b%) ]
n

B、第二象限
x

C、第三象限

D、第四象限 )

? ?

2 ? ? ? f ( x)( x ≠ 0) 是偶函数,且 f ( x) 不恒等于零,则 f ( x) ( 2 ?1 ?
B、可能是奇函数,也可能是偶函数 D、不是奇函数,也不是偶函数

16.一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b% ,则 n 年后这批设备 A、 na (1 ? b%) D、 a (1 ? b%)
n

17..若 102x=25,10-x=__________

18. 若a < 0, 则 | a | + a 2 + 19. 计算 : ( 8 )
?

a2 = ______________ |a|

2 3

? ( 10 ) ÷ 10 5 = ______________
3 2

9 2

20. 已知 : a > 0且a 2 x = 3求
2

a 3 x + a ?3 x 的值 a x + a ?x
? 3 4

21. 求函数y = (3 ? 2 x ? x ) 的定义域 22.求函数y = 2? | x | x 2 + 6x + 5 + 1 的定义域 |x|

1. 函数y = 2 x

2

?3 x +1

的单调递增区间是(

)

3 A. (?∞,? ] 2

3 B. (?∞, ] 2

3 C. [? ,+∞) 2

3 D.[ ,+∞) 2
)

2.若函数 f(x)=(a2-1)x 在(-∞,+ ∞)上是减函数,则 a 的取值范围是(

A. | a |> 1
2

B. | a |< 2
3

C. 1 <| a |< 2

D. 1 <| a |< 2 )

3. 若(m ? 1) 3 > (m ? 1) 5 , 则m的取值范围是(
A.(- ∞,0)∪(1,+∞) C.(2,+∞) A.(0,1)∪[2,4] B.(- ∞,0) 现的年份应为( ) A. 2011 年 6.在下列各式中: ①0.7620>0.7630 7.给出下列四个结论 (1)函数 y=2|x+1|的单调减区间是(-∞,-1] ②0.84-10>0.84-20 B. 2012 年 D.(- ∞,-2)

B.(- ∞,1)∪(2,+∞) ) D.(- ∞,0]∪[1,2]

4.当函数 y=4x-3·2x+3 的值域是[1,7]时,其定义域应为( C.[2,4]

5.某工厂 2009 年的产值为 1000 万元,若每年递增 10%,要使年产值达到 1464.1 万元则实 C. 2013 年 ③11-4<11-5 D. 2014 年 ④1.010.11<1.010.12

其中大小关系表示正确的是_____________

(2)函数y = ?4 x + 2 x?1的最大值是
2 3

1 8

3 2 (3)( ) 3 与( ) 2 在比较大小时, 可选中间值1, 来联系这两个数. 2 3 1 (4)函数y = ( )|x| 是偶函数且在(?∞,0]上单调递减. 3
其中正确结论的序号是____________ 8.若 10 = 3,10 = 4 ,则 10
x y

x? y

=

。 。 。 。

9.函数 y = ? ? 10.函数 y = 3 11.若 f (5
2 x ?1 2 ?3 x 2

?1? ?3?

?2 x 2 ?8 x +1

(?3 ≤ x ≤ 1) 的值域是
的单调递减区间是
1 x? 2

) = x ? 2 ,则 f (125) =

12. 设0 ≤ x ≤ 2求函数y = 4 14. 已知f ( x) =

? 3 ? 2 x + 5的最大值与最小值.

13.已知 0<a<b<1,试比较 ab 和 ba 的大小.

a x ? a ?x 试将f ( x + y )用f ( x)和f ( y )表示. a x + a ?x 2 2 x 2 ?3 x + 2 15.设 0 < a < 1 ,解关于 x 的不等式 a > a 2 x + 2 x ?3 。 1 1 16.已知 x ∈ [ ?3, 2] ,求 f ( x) = x ? x + 1 的最小值与最大值。 4 2 x a?2 + a ? 2 ( x ∈ R ) ,试确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数。 17.设 a ∈ R , f ( x) = 2x + 1

19.若函数 y=4x-3·2x+3 的值域为 [1, 7 ] ,试确定 x 的取值范围。 20.已知函数 f ( x) =

?1? 18.已知函数 y = ? ? ?3?

x2 + 2 x +5

,求其单调区间及值域。

ax ?1 (a > 1) , ax +1

(1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)证明 f ( x) 是 R 上的增函数。 21、若点(a,9)在函数 y = 3 的图象上,则 tan=
x

aπ 的值为 6
D. 3

A.0 22、函数 f ( x) = A、关于原点对称 C、关于 x 轴对称

B.

3 3

C.1

4x +1 的图象( ) 2x
B、关于直线 y = x 对称 D、关于 y 轴对称

必会基础题答案: 1.B 12. A 2.D 3.D 4.D 15.A 5. A 16.D 6. C 7. C 8. D 9. D 10. B 11. C 13. D 14. A

17.

1 5

18.1-2a

19.

10 2 7 20. 3 21. {x | ?3 < x < 1}

22. {x | ?1< x < 0或0 < x ≤ 2}

提高拓展题答案:

1. D 对称轴x =

3 3 , 则u = x 2 ? 3 x + 1在[ ,+∞)上是单调递增函数. 2 2 2 2 2. C 0 < a ? 1 < 1∴1 < a < 2 ∴1 <| a |< 2

3. B (m ? 1) > 0 m ≠ 1 当m ∈ (?∞,1)时, (m ? 1) < 0, 而当m ∈ (2,+∞)时, m ? 1 > 1, 此 时y = (m ? 1) x 为增函数.
4.D

2 3

3 5

3 3 y = (2 x ) 2 ? 3 ? 2 x + 3 = t 2 ? 3t + 3其中t = 2 x 且t > 0, 即y = (t ? ) 2 + y ∈ [1,7] 2 4 t = 1' 或t = 2时y = 1 t = 4时y = 7 而0 < t ≤ 1或2 ≤ t ≤ 4时, y ∈ [1,7] ∴ x ∈ (?∞,0] U [1,2]
5.C 1464.1=1000x(1+10%)x,x=4 即 2013 年 6.①,④ 对于①y=0.76x 是减函数而对于 y=1.01x 是增函数∴④也对. 7.①③ 对于①y=2|x+1|当 x∈(-∞,-1]时 u=|x+1|为减函数,而 y=2u 是增函数.对于③

3 3 2 2 ( ) 3 > ( ) 0 = 1, 而( ) 2 < ( ) 0 = 1 2 2 3 3 3 8. 4 ? ? 1 ?9 9 ? 9. ?? ? ,3 ? ? ? ?? 3 ? ? 2 2 解析:令 U = ?2 x ? 8 x + 1 = ?2( x + 2) + 9 ,∵ ?3 ≤ x ≤ 1,∴?9 ≤ U ≤ 9 ,又∵
?1? ?1? y = ? ? 为减函数,∴ ? ? ≤ y ≤ 39 。 ?3? ?3? 10. ( 0, +∞ ) ,
解析:令 y = 3 , U = 2 ? 3 x , ∵ y = 3 为增函数,∴ y = 3
U U

2

3

9

2

U

2 ?3 x 2

的单调递减区间为

( 0, +∞ ) 。
11. 0,解析: f (125) = f (5 ) = f (5
3 2× 2 ?1

) = 2?2 = 0

1 5 1 12. 最小值为 , 最大值为 . y = (2 x ) 2 ? 3 ? 2 x + 5 令2 x = t 则由0 ≤ x ≤ 2, 得1 ≤ t ≤ 4. 2 2 2 1 1 1 1 而y = t 2 ? 3t + 5 = (t ? 3) 2 + . ∴当t = 3即2 x = 3时, y有最小值 2 2 2 2 5 当t = 1即x = 0时, y有最大值 . 2
13.ab<ba ∵0<a<b<1 ∴有 ab<aa<ba

14. f ( x) =

a 2x

a x ? a ?x a 2x ? 1 反解得到 : = a x + a ?x a 2x + 1 1 + f ( x) 1 + f ( y) 同理a 2 y = = 1 ? f ( x) 1 ? f ( y)

∴ f ( x + y) =

a 2( x+ y ) ? 1 a 2 x ? a 2 y ? 1 = a 2( x + y ) + 1 a 2 x ? a 2 y + 1 1 + f ( x) 1 + f ( y ) ?1 ? 1 ? f ( x) 1 ? f ( y ) = 1 + f ( x) 1 + f ( y ) +1 ? 1 ? f ( x) 1 ? f ( y ) f ( x) + f ( y ) = 1 + f ( x) f ( y )
x

15.∵ 0 < a < 1 ,∴ y = a 在 ( ?∞, +∞ ) 上为减函数,∵ a

2 x 2 ?3 x + 2

> a2x
2

2

+ 2 x ?3

,∴

2 x 2 ? 3x + 2 < 2 x 2 + 2 x ? 3 ? x > 1

1 1 1? 3 ? ? x + 1 = 4? x ? 2? x + 1 = 2?2 x ? 2? x + 1 = ? 2? x ? ? + , x 4 2 2? 4 ? 1 ?x ∵ x ∈ [ ?3, 2 ] , ∴ ≤ 2 ≤ 8 . 4 3 1 ?x ?x 则当 2 = ,即 x = 1 时, f ( x) 有最小值 ;当 2 = 8 ,即 x = ?3 时, f ( x) 有最大值 57。 4 2 17.要使 f ( x) 为奇函数,∵ x ∈ R ,∴需 f ( x) + f (? x) = 0 ,
16. f ( x) = ∴ f ( x) = a ?

2 2 2 x +1 2 2 x +1 f ? x = a ? = a ? ,由 a ? + a ? = 0 ,得 , ( ) 2x + 1 2? x + 1 2x + 1 2x + 1 2x + 1 2(2 x + 1) = 0 ,∴ a = 1 。 2a ? x 2 +1
U

?1? 2 18.令 y = ? ? , U = x + 2 x + 5 ,则 y 是关于 U 的减函数,而 U 是 ( ?∞, ?1) 上的减函 3 ? ?
?1? 数, ( ?1, +∞ ) 上的增函数,∴ y = ? ? ?3?
2
x2 + 2 x +5

在 ( ?∞, ?1) 上是增函数,而在 ( ?1, +∞ ) 上是
x2 + 2 x +5

?1? 减函数,又∵ U = x + 2 x + 5 = ( x + 1) + 4 ≥ 4 , ∴ y = ? ? ?3?
2

? ? 1 ?4 ? 的值域为 ? 0, ? ? ? 。 ? ?3? ? ? ?

19. y = 4 ? 3 ? 2 + 3 = 2
x x

2x

? 3 ? 2 x + 3 ,依题意有

x 2 x x ? ?(2 ) ? 3 ? 2 + 3 ≤ 7 ? ??1 ≤ 2 ≤ 4 x x 即? ,∴ 2 ≤ 2 ≤ 4或0 < 2 ≤ 1, ? x 2 x x x ? ?2 ≥ 2或2 ≤ 1 ?(2 ) ? 3 ? 2 + 3 ≥ 1 ? x 由函数 y = 2 的单调性可得 x ∈ ( ?∞, 0] U [1, 2] 。

a? x ?1 1 ? a x 20.(1)∵定义域为 x ∈ R ,且 f ( ? x) = ? x = = ? f ( x),∴ f ( x) 是奇函数; a +1 1+ ax

(2) f ( x) =

( ?1,1) ;

ax +1? 2 2 2 = 1 ? x ,∵a x + 1 > 1,∴ 0 < x < 2, 即 f ( x) 的值域为 x a +1 a +1 a +1

(3)设 x1 , x2 ∈ R ,且 x1 < x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) =
21、答案:D

a x1 ? 1 a x2 ? 1 2a x1 ? 2a x2 ? = < 0 (∵分母大于零,且 a x1 < a x2 ) x1 x2 x1 x2 a + 1 a + 1 (a + 1)(a + 1)

∴ f ( x) 是 R 上的增函数。

解析:由题意有 3a=9,则 a=2,所以 tan 22、答案:D 解析:对于选项 A,点(1,

aπ π = tan = 3 ,故选 D。 6 3

5 5 )在 f(x)的图象上,但点(-1,- )不在 f(x)的图象上; 2 2

对于选项 B,点(0,2)在 f(x)的图象上,但点(2,0)不在 f(x)的图象上; 对于选项 C,函数的图象不能关于 x 轴对称; 4 ?x + 1 1 + 4 x = = f ( x) ,∴函数的图象关于 y 轴对称。 对于选项 D,∵f(-x)= ?x x

2

2

?


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