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2012-2013学年度第二学期高二理科第一次月考

2012-2013 学年度第二学期高二数学理科第一次月考

一、选择题:本大题共 8 小题, 每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
学校---------------------------- 班别-------------------------------姓名----------------------------座号---------------------------------

1.复数 z ? ?2 ? i ,则复数 z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限
?
3 ,





C.第三象限

D.第四象限 )

2.函数 y ? sin x 的图象上一点 ( A. 1
2

B.

3 2

3 ) 处的切线的斜率为( 2 2 C. D.1 2

3.由直线 x ? 1, x ? 2 ,曲线 y ? x2 及 x 轴所围图形的面积为 A.3 B.7
4





C. 7

3

D.

1 3

4.物体运动方程为 S ? 1 t 4 ? 3 ,则 t ? 2 时瞬时速度为( A. 2 B. 4 C. 6 C. y ? 2sin 2 x

) D. 8 D. y ? 2 cos x

5.函数 y ? sin 2 x 的导数是 ( ) A. y ? 2sin x B. y ? sin 2 x

6.函数 y ? 3x ? x 3 的单调递增区间是 ( ) A. (?1,1) B. (??, ?1) C. (0, ??)
1 1 2 3 1 n

D. (1, ??)
3 2 5 2

7. 已知 f (n) ? 1 ? ? ? ??? ? ( n ? N ? ) , 经计算: f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? ,
f (16) ? 3, f (32) ?
7 ,推测当 n ? 2 时,有( ) 2 n?2 n ?1 n A.f (2n ) ? B.f (2n?1 ) ? C.f (2n ? 2 ) ? 2 2 2

D.f (22 n ?1 ) ?

n?2 2

8.已知函数 f ( x) 的导数为 f ' ( x) ? 4x3 ? 4x ,且图象过点 (0, ?3) ,当函数 f ( x) 取得极大值 ?3 时, x 的值应为 ( ) A.0 B.1 C. ?1 D. 2

1

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,请将正确答 案填空在答卷上). 9 . ?0 ( x2 ? 2 x ? 4)dx ?
3

.

10 若复数 (m2 ? 3m ? 4) ? (m2 ? 5m ? 6)i 是虚数,则实数 m 满足 11.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1:2,则它们的面积 比为 1: 类似地, 4, 在空间内, 若两个正四面体的棱长的比为 1: 2,则它们的体积比为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12.函数 f(x)=x+2cosx 在区间 ?0, 2? ? 上最大值为___________. 13.已知复数 z 与 ( z ? 2)2 ? 8i 均是纯虚数,则 z ? .

14.垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 且与曲线 y = x3 + 3x2 - 1 相切的直线方程的 一般形式为_________________________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ?
? sin 2 x ,求 f ' ( ) . 3 1 ? cos x

16. (本小题满分 12分) 已知曲线 y = x3 + x-2 在点 P0 处的切线 l1 平 行直线 4x-y-1=0, 且点 P0 在第三象限, ⑴求 P0 的坐标; ⑵若直线
l ? l1 , 且 l 也过切点 P0 ,求直线 l 的方程.

2

17.(本小题满分 14 分) 求证:1

2

1? 3

?

22 n2 n(n ? 1) ?? ? ? ,n? N* . 3?5 (2n ? 1)(2n ? 1) 2(2n ? 1)

18. (本小题满分 14 分)已知函数 f ?x? ? ax2 ? 2 ln?2 ? x?( a ? R ) ,设曲 线 y ? f ?x ?在点 (1, f (1)) 处的切线为 l ,若 l 与圆 C: x 2 ? y 2 ? 相切,求 a
1 4

的值.

3

19.本小题满分 14 分)已知复数
z1 ? m ? (4 ? m2 )i(m ? R), z2 ? 2cos? ? (? ? 3sin ? )i
(? ,? ? R) ,并且 z1 ? z2 ,求 ? 的取值范围.

20. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x 3 ? 6x ? 5, x ? R . (1)求 f (x) 的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围. (3)已知当 x ? (1,??)时, f ( x) ? k ( x ? 1) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

4

2012-2013 学年度第二学期高二数学理科第一次月考参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题目 答案 1 B 2 A 3 C 4 D 5 B 6 C 7 D 8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,请将正确答案填写在横线上) 11.1︰8 12.12 13. 2? ? 2 14. ? 2i 15. 3x ? y ? 2 ? 0

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.解:f ( x) ?

1 ? cos 2 x ? 1 ? cos x ………………………………………………3 分 1 ? cos x

? f ' ( x) ? (1 ? cos x)' ? sin x ……………………………………………………………6 分
?x ?

?
3

,

? f ' ( x) ? sin

?
3

?

3 ……………………………………………………8 分 2

16.(12’)解:⑴由 y=x3+x-2,得 y′=3x2+1, …………………………………………………2’ 由已知得 3x2+1=4,解之得 x=±1……………………………………………………4’ 当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4.又∵点 P0 在第三象限,∴切点 P0 的坐标为 (-1,-4).6’ ⑵∵直线 l ? l1 , l1 的斜率为 4,∴直线 l 的斜率为 ?

1 ……………………………9’ 4
1 ( x ? 1) 即 4

∵l 过 切 点 P0, 点 P0 的 坐 标 为 ( - 1, - 4)∴ 直 线 l 的 方 程 为 y ? 4 ? ?

x ? 4 y ? 17 ? 0
17.证明: (1)当 n ? 1 时,左边 ?

1 1 1? 2 1 ? ,右边 ? ? ,? 左边 ? 右边. 1? 3 3 2?3 3

? 当 n ? 1 时,等式成立. ………………………………………………………………2 分
(2)假设当 n ? k 时,等式成立,即

12 22 k2 k (k ? 1) ? ??? ? 成立 ………………………………………4 分 1? 3 3 ? 5 (2k ? 1)(2k ? 1) 2(2k ? 1)
当 n ? k ? 1 时,

12 22 k2 (k ? 1) 2 ? ??? ? 1? 3 3 ? 5 (2k ? 1)(2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 3)

?

k (k ? 1) (k ? 1)2 k (2k ? 3) ? 2(k ? 1) ? ? (k ? 1) ? 2(2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 3) 2(2k ? 1)(2k ? 3)

……………………6 分

?

(k ? 1)(k ? 2)(2k ? 1) (k ? 1)(k ? 2) ? 2(2k ? 1)(2k ? 3) 2(2k ? 3)

……………………………………………8 分

5

? 当 n ? k ? 1 时,等式也成立. …………………………………………………………9 分
由(1) (2)可知,等式对任意 n ? N 成立.……………………………………………10 分
*

18. 解:? f ( x) ? 2ax ?
'

2 2? x

? f ' (1) ? 2a ? 2 ………………………………3 分

又 f (1) ? a ? 2ln1 ? a ? 切线 l 的方程为 y ? a ? 2(a ? 1)( x ? 1) 即 2(a ? 1) x ? y ? a ? 2 ? 0 ………………………………………………………………5 分 依题设,有

1 ? . …………………………………………………………8 分 4( a ? 1) ? 1 2
2

2?a

解得 a ?

11 11 . ? a 的值为 . ……………………………………………………………10 分 8 8
?

19.解:由 z1 = z2 得 ? ?

m?2cos?

? 4?m2 ?? ?3sin? ?

…………………………………………………3 分

消去 m 得: ? ? 4 sin2 ? ? 3sin? ? 4(sin? ? ) 2 ?

3 8

9 ,…………………………………7 分 16

? ? 1 ? sin ? ? 1 ,

??

9 ? ? ?7. 16

……………………………………………10 分

20. 解:(1) f ?( x) ? 3( x 2 ? 2),令f ?( x) ? 0, 得x1 ? ? 2 , x2 ?

2 …………………1 分

∴当 x ? ? 2或x ? 2时,f ?( x) ? 0;当? 2 ? x ? 2时, f ?( x) ? 0 ,…………………2 分 ∴ f (x) 的单调递增区间是 (??, ? 2)和( 2, ??) ,单调递减区间是 (? 2 , 2 ) ……3 分 当 x ? ? 2, f ( x)有极大值 ? 4 2 ;当 x ? 5

2, f ( x)有极小值 ? 4 2 .…………4 分 5

(2)由(1)可知 y ? f (x) 图象的大致形状及走向(图略) ∴当 5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2时, 直线y ? a与y ? f ( x) 的图象有 3 个不同交点,……6 分 即当 5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2 时方程 f (x) ? ? 有三解. …………………………………7 分 (3) f ( x) ? k ( x ? 1)即( x ? 1)(x ? x ? 5) ? k ( x ? 1)
2

∵ x ? 1,? k ? x ? x ? 5在(1,??) 上恒成立. …………………………………………9 分
2

令 g ( x) ? x ? x ? 5 ,由二次函数的性质, g ( x)在(1,??) 上是增函数,
2

∴ g ( x) ? g (1) ? ?3, ∴所求 k 的取值范围是 k ? ?3 ……………………………………12 分

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6

2012-2013 学年度第二学期高二数学理科第一次月考答题卡 学校 姓名 班别 座号

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题目 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,请将正确答 案填写在横线上) 9 12. . 10 13. . 11 14

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分)

7

16.(本小题满分 12 分)

17.(本小题满分 14 分)

8

18. (本小题满分 14 分)

19.本小题满分 14 分)

9

20. (本小题满分 14 分)

10


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