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空间点线面位置关系(一)


2.1 空间点、线、平面之间的位置关系

1.平面的基本知识

(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是 最基本的概念,即为不加定义的原始概念. (2)平面的基本特征是无限延展性.
平面是理想的,绝对的平(平面是处处平直的面); 平面没有大小、没有厚薄和宽窄,是不可度量的.

光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象,数学中 的平面概念是现实平面加以抽象的结果. 思考:能不能说一个平面长4米,宽2米?为什么? 不能.

1.平面的基本知识
(3)平面的画法及表示 画法 ——立体几何中通常用平行四边形来表示平面,
有时也用圆或三角形等图形来表示平面.
?

?
水平放置

画平面水平放置时, 常把平行四边形的 锐角通常画成45°, 且横边长等于邻边 长的2倍.

垂直放置

为了增强立体感,如果一个平面被另一个平面遮挡住,常把它遮 挡的部分用虚线画出来.

练习
画出两个竖直放置的相交平面.

1.平面的基本知识
D

(3)平面的画法及表示
C

A

?

?
B

表示方法:
①把希腊字母 ? , ? , ? 等写在代表平面的平行四边形的一个角上, 如平面 ? ,平面 ? . ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示, 如平面ABCD. ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表 示,如平面AC或者平面BD.

2.点、直线、平面的位置关系
(1)点、线、面的表示
点(元素):大写字母A、B、C、D…… 直线(点的集合):小写英文字母 a, b 或者两个大写英文字母 , c? ,? ? 平面(点的集合):用希腊字母表示 ? , ? ; 用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示.

(2)点、线、面之间的位置关系的表示 用集合中的关系符号 元素与集合关系: 集合与集合关系: ?, ?; ?

?, ?

2.点、直线、平面的位置关系
(1)点与直线的位置关系: 点A在直线a上,记作 A ? a 点B不在直线a上,记作 B ? a (2)点与平面的位置关系: 点A在平面α上,记作 A ? ? 点B不在平面α上,记作 B ? ?
α
A A a

B

B

2.点、直线、平面的位置关系
(3)直线与平面的位置关系:按公共点个数分三类
①直线a与平面α有无数个公共点,称直线a在平面α内, 或称平面α通过直线a.记为: a ? ?
公理1

②直线a与平面α有且只有一个公共点,称直线a与平面α相交. 记为: a ? ? ? A ③直线a与平面α没有公共点,称直线a与平面α平行. 记为: a // ? 或 a ? ? ? ? 注1:情况②和③统称为直线a在平面α外,记作
a a
α α

a ??
a

A

α

2.点、直线、平面的位置关系
(4)平面与平面的位置关系:按有否公共点分两类
①当两个不同平面α与平面β有公共点时,它们的公共点组成 直线a,称平面α与平面β相交.记作: ? ?? ? a
②当平面α与平面β没有公共点时,称平面α与平面β平行. 记作:? // ? 或 ? ? ? ? ? 注2:当平面α上的所有点都在平面β上时,称平面α与平面β重合. (当两个平面有不共线的三个公共点,则两个平面重合)
公理2
公理3

β
a
α α β

β
α

小结:用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系:
B a B α

b a
α A

a

A

A

α

A? a B?a
β
a
α

A?? B??
α β

a ?? b ?? ? A

a ?? ? ? 或a // ?
β

α

? ?? ? a

? // ? 或 ? ? ? ? ?

平面α与平面β重合
练习

3.平面的基本性质
观察下列问题,你能得到什么结论?
B

桌面α
A

直尺落在桌面上(直线AB在平面α内)

3.平面的基本性质
(1)公理1:若一条直线上的两点在一个平面内, 则这条直线在此平面内. ①图形语言:

?

A

l

B

②符号语言: A ? l , B ? l且A ?? , B ?? ? l ? ?

③该公理反映了直线与平面的位置关系: 可用于判定直线是否在平面内,点是否在平面内,又 可用直线检验平面.

3.平面的基本性质
观察下列问题,你能得到什么结论?

C
A

B

自行车需要一个支脚架就可以保持平衡.

3.平面的基本性质
(3)公理2: 经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. ①图形语言: B ?A C ②符号语言:
A, B, C不共线 ? 有且只有一个平面?,使得A ?? , B ?? , C ??

③定义的说明:
过不在一条直线上的四点,不一定有平面.故要充分重视“不在 一条直线上的三点”这一条件;
“有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面,不能用“只 有一个”替代; 确定一个平面的“确定”是“有且只有”的同义词.

3.平面的基本性质
公理2: 经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.

?A
推论2 推论3 a

B C

A

B

a

C

经过两条相交直线,有且只有一个平面. 经过两条平行直线,有且只有一个平面. a b

α

b

α

注3: 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据, 是证明点、线共面的依据,也是作截面、辅助平面的依据.
练习

3.平面的基本性质
思考:两个平面会不会只有一个公共点呢?
不会!因为平面是无限延展的. 因此,两个平面有一个公共点,必然有无数个公共点, 并且这些公共点在一条直线上.

3.平面的基本性质
(2)公理3:若两个不重合的平面有一个公共点, 则它们有且只有一条过该点的公共直线. ①图形语言:
?
P

?

l

②符号语言:P ?? ? ? ? ? ? ? ? l且P ? l ③该公理反映了平面与平面的位置关系:
i)该公理是用以判定两个平面相交的依据:只要两个平面有一个 公共点,就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线. (找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可) ii)该公理可用以判定点在直线上:点是某两平面的公共点,线 是这两个平面的公共交线,则该点在交线上.

4.点线共面问题
例1 已知A, B, C ? l ,D ? l , 求证:直线AD,BD,CD共面.

D
证明 : ? D ? l . ? l与D确定平面? .

l ?A B C

又 ? A, B, C ? l , l ? ? ? A, B, C ? ? .
又? D ? ? ? BD, CD, AD ? ? ,即AD, BD, CD共面.

5.证明三点共线、三线共点的问题
B
要证明各点共线,只 要证明他们是两个相 交平面的公共点.

例2 已知三角形ABC的三条边AB、BC、AC与平面α分别交于P、 Q、R.求证:P、Q、R共线. A

C

P

R

Q

证明:? P ? AB ? 平面ABC ? P ? 平面ABC.

又? P ?? ? P ?? ? 平面ABC.
同理Q、R也为公共点, 所以P、Q、R共线.

5.证明三点共线、三线共点的问题
例3 空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H
分别是CD和AD上的点,且EH与FG相交于K. 求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.
分析: 已知EH∩FG=K,要证EH,BD,FG共点. 即要证明B,D,K三点共线. 而BD是面ABD和面CBD的交线. 所以往证K∈面ABD∩面CBD.
B F C G A E H D K

而显然,由EH∈面ABD,K∈EH,可得K∈面ABD. 同理,由FG∈面CBD,K∈FG,可得K∈面CBD.

练习 正方体ABCD ? A1B1C1D1中, (1)M 是该正方体下底面的中心,过C1 , B, D作一截面, 求证:此截面与对角线A1C的交点P一定在C1M 上. (2)若E , F 分别是AB, A1 A的中点,求证: i ) E , F , D1 , C四点共面; ii ) CE , D1F , DA三线共点.
A1 D A M B D1 B1 C C1

6.知识小结 1)公理1,2,3及其用途 2)点线共面问题 3)多点共线问题 4)多线共点问题


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