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双曲线及其标准方程(第1课时)(定义)


y

M
M

F1

o

F2

x

F1

F2

1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数

(大于|F1F2|)

的点的轨迹.
Y

M ? x, y ?

F1 ? ?c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

2. 引入问题: 平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?

定义:
注意

平面内与两个定点F1,F2的距离的差
M

等于常数2a的点的轨迹叫做双曲线.



MF1 ? MF2 ? 2a
F
1

o

F

思考定义的完整性??? (差的绝对值)MF1 ? MF2 ? 2a ? a ? 0 ?
MF1 ? MF2 时,表示双曲线的右支
MF1 ? MF2 时,表示双曲线的左支

2

常数0<2a<|F1F2|,为什么?!

(1)常数0<2a< F1F2 ? 表示 以点F1 , F2为焦点的 双曲线。

(2)常数2a ? F1 F2 ? 表示 以焦点F1 , F2为端点的
两条互相反向的射线。

(3)常数2a> F1 F2 ? 表示 轨迹不存在。

? 4 ? 常数2a ? 0 ? 表示 线段F1F2的垂直平分线。

平面内与两个定点F1,F2的距离的差 的绝对值
等于常数2a (小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.

① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距. 显然0<2a<2c 例题辨析:

?1? 若双曲线中a ? 5, 且双曲线上一点P到右焦点的 距离是5,则P到左焦点的距离是15

? 2 ? 方程

? x ? 5? ? y ?
2 2

x ? 5? ? y 2 ?
2

?6

表示的曲线是什么?去掉绝对值符号呢?

双曲线标准方程的推导
5

一、建立坐标系;设动点为 P(x,y)
P(x,y)

注:设两焦点之间的距离为 2c(c>0), 即焦点F 1(c,0),F 2(-c,0)
-5

F1(-c,0)

F2(c,0)

5

二、根据双曲线的定义找出P点 满足的几何条件。
-5

| PF1 | ? | PF2 | ? 2a ? 0 ? a ? c ?

三、将几何条件化为代数条件:
根据两点的间的距离公式得:

( x ?c) ? y
2

2

?

( x ?c) ? y
2

2

? 2a

四、化简整理:
(c ? a ) x ? a
2 2 2 2

y
2
2

2

? a (c ? a )
2 2 2

两边同时除以

a (c ? a ) ,得
2 2

x y - 2 ?1 2 2 a c -a

2



c ?a ?b
2 2

2


2 2

x a
是怎样?

2 2

y ? b

?1

c ? a ?b
2 2

2

思考:如果双曲线的焦点在y轴上,焦点的方程

y a

2

2

?

x b

2

2

?1

c ? a ?b
2 2

2

定义 焦点位置

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|) 焦点在X轴上
y
M
M F2

焦点在Y轴上
y

图象
F1 o F2

x
F1

x

方程
焦点
a.b.c 的关系

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)
2 2

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2

2

2

c ? a ?b

问题:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?
例1:写出以下双曲线的焦点坐标

x y 2 2 1. ? ? 1 2. 16 x ? 9 y ? 144 16 9
看 x , y 前的系数,哪一个为正, 则在哪一个轴上 椭圆以大小论长短,双曲线以正负定实虚
2 2

2

2

课堂练习:

x y 例2:方程 ? ? 1表示焦点在x轴 m ? 2 1? m 的双曲线, 求m的范围。

2

2

变式: 上述方程表示双曲线时,求m的范围。

定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|) 焦点在X轴上
y
M
M F2

焦点在Y轴上
y

图象
F1 o F2

x
F1

x

方程
焦点
a.b.c 的关系

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)
2 2

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2

2

2

c ? a ?b

椭 定义 方程

圆 y2
b2

双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
2 x2 - y = 1 2 2 a b

|MF1|+|MF2|=2a

x2
a2

+

=1

y2 x2 =1 2 + 2 a b
椭圆以大小论长短

y2 a2

x2 = 1 2 b
F(±c,0) F(0,±c)

双曲线以正负定实虚

焦点

F(±c,0) F(0,±c)

a.b.c的 关系

a>b>0,a2=b2+c2

a>0,b>0,但a不一定 大于b,c2=a2+b2

作业布置
一、书面作业:课本P61,A组第2题
要求:书写具体解题过程

二、课后练习: 《风向标》P40-42 三、课后探究:课本P54 例2


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