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2.1.1数列的概念与简单的表示方法


教学目标:
1.了解数列的概念和简单的表示方法 2.了解数列的几种分类 3.了解数列是一种特殊的函数,体会数 列与函数的关系 4.能写出简单数列的通项公式

传说古希腊毕达哥拉斯学派数 学家研究的问题:
1. 三角形数

1, 3,
2. 正方形数

6,

10,· · ·

1, 4,

9,

16,· · ·

8

7

6

5

陛下,赏小 人一些麦粒 请在第一个格 请在第三个格 请在第四个格 子放 1 颗麦粒 子放 4 颗麦粒 就可以。 请在第二个格 子放 8 颗麦粒 依次类推 ……
子放2颗麦粒

4

8 7 6 5 4 64个格子 你想得到 3 什么样的 2 赏赐? 1 3 2 1

OK

?
64个格子

8

7

6

5

4

3

2

1

8 7 6 5 4 3 2 1

你认为国王 有能力满足 上述要求吗

每个格子里的麦粒数都是 前一个格子里麦粒数的 2倍且共有64 格子

2 1

0

2 2 18446744073709551615

2

1

2

3

63 ?? 2 ?

?上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一
2 3 63 列数:1 , 2, 2 , 2 , ??2 三角形数:1,3,6,10,· · · 正方形数:1,4,9,16,· · · ?1,2,3,4……的倒数排列成的一列数: 1 1 1 1, , , , ?? 2 3 4 ?高一435 班考试的名次由小到大排成的一列数:

请观察

?-1的1次幂,2次幂,3次幂,……排列成一列数: ?无穷多个1排列成的一列数:

1, 2, 3, 4, ??,51

?1 , 1 , ?1 , 1??

1 , 1 , 1 , 1 , ??

1,3,6,10,· · ·
2 3

1,4,9,16,· · ·
63

1 , 2, 2 , 2 , ??2
1 1 1 1, , , , ?? 2 3 4

1

2 3 4 5

1 , 2, 3, 4, ??51

?1 , 1 , ?1 , 1?? 1 , 1 , 1 , 1 , ?? 共同特点:

数列定义

1.定义:按一定顺序排列着的一列数称为 (数列具有有序性)

定义剖析

集合讲究:无序性、互异性、确定性, 数列讲究:有序性、可重复性、确定性.

数列定义
2.数列中的每一个数叫 2 3 63 做这个数列的项。 1 , 2 , 2, 2, ??2 1 各项依次叫做这个数列的 有穷数列 递增数列 1 1 1 第1项(首项),第2项,· · · · · · ,1 , ,, , ?? 2 2 3 4 第n项, · · · · · · 无穷数列 递减数列 3.数列的分类 3 1 , 2 , 3 , 4 , ?? 51 (1)按项数分: 有穷数列 递增数列 项数有限的数列叫有穷数列1 , 1 , 1 , 1 , ?? 4 项数无限的数列叫无穷数列 无穷数列 常数列 (2)按项之间的大小关系: ? 1 , 1 , ?1 , 1?? 5 无穷数列 摆动数列 递增数列, 递减数列, 摆动数列, 常数列。

观 察 第1项第2 第3项 ? 第n项 这 a1 项 a2 a3 ? an 些 1 2 ? n ?1 , , , 1 2 2 2 , , ? , 263 数 列 1 1 1 中 ? , , ? , , , 1 2 3 项 n 与 序 1 , 2 , 3 , ? , n , ? , 51 号 的 n ? ? , , , , 1 1 1 (1 ) , 关 系 ? ? 1 , , ?
1 1 1 ,
, ,

每个序号也都对应着一个数(项)

1

2

3

4

5

通试 项一 公试 式看 ?你 能 不 能 得 出 它 们 的

例1.写出下面数列的一个通项公式,使它的 前4项分别是下列各数:

1 1 1 (1) 1, ? , , ? ; 2 3 4 (2) 2, 0, 2, 0 .

( ?1) (1)a ? n (2)a ? 1 ? (?1)
n ?1 n

n ?1

n

练习
根据下面数列的前几项的值,写出数列的一 个通项公式:
(1) 3, 5, 7, 9, 11, ??; 2 4 6 8 10 (2) , , , , , ??; 3 15 35 63 99 (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1, ??; 2 1 2 1 (4)1, , , , , ??; 2 2 4 4 1 1 1 1 1 (5) ? , ,? , ,? ??. 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2 ? 4 2 ? 5

例2.写出数列

2 3 4 5 1, , , , ,? 4 7 10 13
的一个通项公式,并判断它的增减性.

n a ? ( 3 n ? 1) ?1
n

例3. 根据下面数列{an}的通项公式,写出 前五项:

n (1) an ? ; n ?1

(2) an ? (?1) ? n.
n

观察下面数列的各项之间有什么关系?

1,1,2,3,5,8,13,21,…
分析:这是意大利人斐波那契首先得出的 数列称为斐波那契数列。此数列从第三项起, 每一项是它前面两项的和。

1 例4.已知a1 ? 1, an ? 1 ? (n ? 2), 写出这个数列 an?1 的前5项.
解:∵a1=1
1 1 ? a2 ? 1 ? ? 1? ? 2 a1 1 1 1 3 a3 ? 1 ? ? 1? ? a2 2 2
1 2 5 a4 ? 1 ? ? 1 ? ? a3 3 3 1 3 8 a5 ? 1 ? ? 1 ? ? a4 5 5

例( 5. 1)已知数列?an ? 满足a1 ? 1, an ? an -1 +1(n ? 2), 写出这个数列的通项公式。 an n (2)已知数列?an ? 满足a1 ? 1, ? (n ? 2), an ?1 n ? 1 写出这个数列的通项公式。

练习
1. 写出下列数列{an}的前5项 (1)a1=5,an=an-1+3 (n≥2); (2)a1=2,an=2an-1 (n≥2);
(1)5,8,11,14,17 思考:你能否利用上面两题的条件求出数列 {an}的 (2)2,4,8,16,32 通项公式?

分析 (1)后一项比前一项多3 (2)后一项是前一项的2倍
9n ( n ? 1) ? a ? ( n ? N ) ,试问数列中有没有最大项 2.已知 n n 10
如果有,求出这个最大项,如果没有,说明理由。

练习

练习

小结
1.数列的有关概念; 2.数列的通项公式; 3.数列的递推公式;


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