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广东省海珠区2013届高三上学期综合测试(二)数学文试题 word版


海珠区 2012 学年高三综合测试(二) 数学(文科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位 号填写在答题卡上。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷 上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂 改液。不按以上要求作答的答案无效。 4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡一并交回。 参考公式:锥体体积公式 如果事件 A、B 互斥,那么 线性回归方程 其中 中系数计算公式 ,其中 s 为锥体的底面积,h 为锥体的高. .

表示样本平均值.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只 有一项是符合题目要求的 1. i 是虚数单位,复数 对应的点位于

A 第一象限 B 第二象限 c.第二象限 D.第四象限 2. 若集合 集合 5 = {6,9},则“ a = 3,,是“ ”的

A.充分不必要条件 C.充分必要条件
3. 已知函数 A. a < b < c

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
,若 ,则 C. b < c < a D. a < c <b

B. c < a <b

4. 已知实数x,y 满足不约束条 件 A. 7 B. 4 5. 在 A. C. 3 D. 5 中,若 B. D. ,则.

,则目标函数Z=x-y 的最大值 等于

的形状是

为钝角的二角 形

为直角的直角 二角形 为直角的直角 二角形 的一部分图象 如图1

C.锐角二角形 6. 已知函数 所示,则 A. C. D. B.

7. 已知正二棱柱 棱与底面 (侧 垂直, 底面是 正二角形 的高与 ) 底面边长均为1, 观图 和正 其直 (主)视图如 图2,则它的左(侧)视图的面积 是 A. C. B. 1 D. 的一个焦点与抛 物线 ,则该双曲线的标准方 程为 C. 满足: D. ,数列 .是各项均为 正值 的等比数列, 的焦点

8. 已知双曲线 S 合,且双 曲线的离心率等于 A. B.

9. 已知各项不为O 的等差数列 且 A. ,则 B. 等于 C.

D.

10. 给出下列四个命题: ①命题 ②当 x>l 时,有 ,则 ;

③函数. ④设有五个函数 函数的有 2 个. 其中真命题的个数是 A l个

的零点个数有 3 个; ,其中既是偶函数又在 上是增

B.2 个

C. 3 个

Z). 4 个

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11. 公路部门对通过某路段的 300 辆汽车的车速进 行检测,将所得 数据按[40,50), [50,60),[60,70), [70,80]分组,绘制成如图 3 所示 的频率分布直 方图.图示中 a 的值等于_______;这 300 辆汽车中车速低 于的汽车有_______辆. 12. 某程序框图如图 4 所示,该程序运行后输出 M, N 的值依次为 _______.

7

13. 对大于或等于2 的自然 数m 的n 次幂有如下分解方式:

根据上述分解规律, 则 为_______.

的分解中最小的数为 73, 则 m 的值

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题

14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 J 的坐标为 为 ,则 04 (O 为极点)所在直线被曲线 C 所截弦的长度为______.

,曲线 c 的方程

15. (几何证明选讲选做题)如图 5 所示,过圆 c 外一点 P 做一条 直线与圆 C 交于 A,B 两点,AB - 2AP ,PT 与圆 C 相切于 T 点.已知圆 c 的半径为 2, ,则 PT=_____. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12 分) 已知函数 (1)求f(X)的最小正周期; (2)求函数f(X)在区间 上的最大 值和最小值,并求此时X 的值.

17. (本小题满分12 分) 一个车间为了规定工 时定额,需 要确定加工零件所花 费的时间,为此进行了 5 次试验,收 集数据 如下:

(1) 在5 次试验中任取2 次,记加工 时间分别为a,b 求事件a,b 均小于80 分钟”的概 率; (2) 请根据第二次,第二 次,第四次 试验的数据,求 出y 关于X 的线性回归方程 (3) 根据(2)得到的线性回归方 测加工70 个零件所需要的 程预 时间.

18. (本小题满分14 分) 如图6,在四棱锥P-ABCD 中,PA 丄平面ABCD,底面ABCD 是菱形,点O 是对角线AC 与BD 的交点,M 是

PD 的中点,AB= 2,



(1) 求证:OM//平面 PAB; (2) 平面 PBD 丄平面 PAC; (3) 当四棱锥P-ABCD 的体积等于. 时,求PB 的长.

19. (本小题满分14 分) 设椭圆 的左、右顶点 分别为A、B,点P 在椭圆上且异于A、B 两点,O 为坐标原点. ,求椭圆的离心率; , 求直线

(1) 若直线AP 与BP 的斜率之积为

(2)对于由 (1)得到的椭圆C, 过点p 的直线l交X 轴于点-1,0), 轴于点M, 交y 若 l 的斜率.

20. (本小题满分1 4 分) 已知函数丨 (1)若a= 1,求曲线_ 在点 处的切线方程;

(2) 若f(X)在的最小值为 ,求a 的值; (3) 若 在 上恒成立, a 的取值范围 求 .

21. (本小题满分14 分) 已知点」 (1) 若数列 (2) 若数列 的实数t 使 (3) 若数列 是等差数列, 求证数列 的前 《项和 是 恒成立; 为山(2)中 得到的数列, 与 在 的前m 项的和 之间插入 个3, 得一新数列 , 都在函数 是等比数列; , 过点 的直线与两坐标轴所围二 形面积为 , 角 求最小 的图象上.

问是杏存在这样的正 整数w,使 数列

,如果存在,求 m 的值,如果 出 不存在,请说明理由

海珠区 2012 学年高三综合测试(二)

文科数学参考答案与评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几

种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查共10小题,每小题5分,满分50分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 答案 B A C C B D D A A C

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只 能选做一题. 11. 0 . 025 , 180 12. 34, 55 13. 9 ; 14. 2 2 15. 3

(第 11 题第一空 2 分,第二空 3 分) 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查三角两角和的正余弦公式,三角特殊值的运算,函数
f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ??或 f ? x ? ? A cos ?? x ? ? ?? 的周期,最值等知识,考查化归、转化、换元

的数学思想方法,以及运算求解能力) 解: (1) f ? x ? ? co s ? 2 x ?
? ?

? ?

? ? ? ? ? co s ? 2 x ? ? ? 2 sin x co s x 6 ? 6 ? ?
? cos 2 x cos

? cos 2 x cos

?
6

? sin 2 x sin

?
6

?
6

? sin 2 x sin

?
6

? 2 sin x cos x ????2 分

? 2?

3 2

cos 2 x ? sin 2 x

?

3 cos 2 x ? sin 2 x

????3 分 ????4 分

? 3 ? 1 ? 2? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 2 ? 2 ? ?

? ? ? ? ? 2 ? sin cos 2 x ? cos sin 2 x ? 3 3 ? ?

????5 分

? ? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ????6 分 3 ? ?
? f

? x ? 的最小正周期为 T
? ?

?

2? 2

??

????7 分

(2)由(1)知 f ? x ? ? 2 sin ? 2 x ?
?
3
? 当2x ?

? ?

?, 3 ?

由?

? x ?

?
3

,得 ?
?
2

?
3

? 2x ?

?
3

?? ,

????8 分 ????10 分
3 .????12 分

?
3

?

,即 x ?

?
12

时, f ? x ? 取得最大值 2 ; 时, f ? x ? 取得最小值 ?

当2x ?

?
3

? ?

?
3

,即 x ? ?

?
3

17.( 本小题满分 12 分) (本小题主要考查考查互斥事件、古典概型、线性回归,样本估计总体等知识,考查或然与 必然,样本估计总体的统计思想方法,以及数据观察能力、抽象思维能力和应用意识) 解:(1) a , b 构成的基本事件 ? a , b ? 有: ?62 . 67 ?, ?62 , 75 ?, ?62 ,80 ?, ?62 ,89 ?, ?67 , 75 ?, ?67 ,80 ?, ?67 ,89 ? , ? 75 ,80 ?, ?75 ,89 ?, ?80 ,89 ? 共 有 10 个. ????2 分 其中“ a , b 均小于 80 分钟”的有 ?62 . 67 ?, ?62 , 75 ?, ?67 , 75 ? 共 3 个. ????3 分
? 事件 “ a , b 均小于 80 分钟”的概率为

3 10

.

????4 分 ????5 分 ????6 分

(2) x ?
y ?
?

1 3

? 20

? 30 ? 40 ? ? 30 ,

1 3

? 67 ? 75 ? 80 ? ? 74

b ?

? 20

? 30 ? ? ? 67 ? 74 ? ? ?30 ? 30 ? ? ? 75 ? 74 ? ? ? 40 ? 30 ? ? ?80 ? 74 ?

? 20
.

? 30 ? ? ?30 ? 30 ? ? ? 40 ? 30 ?
2 2

2

?

13 20

????8 分 ????9 分

? y 关于 x 的线性回归方程 y ?

?

13 20

x ? 5 4 .5

????10 分

(3)由(2)知 y 关于 x 的线性回归方程为 y ?

?

13 20

x ? 5 4 .5 ,

当 x ? 70 时, y ?

13 20

? 70 ? 54 . 5 ? 100 .

????11 分 ????12 分

? 预测加工 7 0 个零件需要 1 0 0 分钟的时间.

18.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数 学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解:(1)? 在 ? PBD 中, O 、 M 分别是 BD 、 PD 的中点, ? OM 是 ? PBD 的中位线, ????1 分 ? OM // PB , P OM ? 平面 PBD , PB ? 平面 PBD ,??3 分 ????4 分 ? OM // 平面 PAB . (2) ? 底面 A B C D 是菱形, M ???5 分 ? BD ? AC , ? P A ? 平面 A B C D , BD ? 平面 A B C D ????6 分 ? BD ? PA . D AC ? 平面 PAC , PA ? 平面 PAC , AC ? PA ? A ,
? BD ? 平面 PAC , ? BD ? 平面 PBD ,

????7 分 ????8 分 ????9 分 ????10 分
0

A

O

C

? 平面 PBD ? 平面 PAC .

(3)? 底面 ABCD 是菱形, AB ? 2 , ? BAD ? 60 ,
? 菱形 ABCD

B

的面积为 S 菱形 ABCD ? 2 ?

1 2

? AB ? AD ? sin 60

0

? 2?2?

3 2

? 2 3 ,????11 分

? 四棱锥 P ? ABCD 的高为 PA ,?

1 3

? 2 3 ? PA ?

3 ,得 PA ?

3 2

????12 分

? P A ? 平面 A B C D , AB ? 平面 A B C D ,
? PA ? AB .

????13 分
PA
2

在 Rt ? PAB 中, PB ? 19.(本小题 14 分)

? AB

2

?

5 ?3? 2 ? ? ? 2 ? . 2 ?2?

2

????14 分

(本小题主要考查直线斜率、椭圆的方程、离心率、向量的运算等知识,考查数形结合、 化归与转化、方程的思想方法,考查综合运用能力以及运算求解能力) 解:(1) 由已知 A ? ? a , 0 ?, B ? a , 0 ? ,设 P ? x 0 , y 0 ?? x 0 ? ? a ? . ????1 分

则直线 AP 的斜率 k AP ?

y0 x0 ? a y0

,

直线 BP 的斜率 k AP ?

x0 ? a

.



x0 a

2

2

?

y0 2

2

? 1 ,得 y 0

2

?

2 a

?

2

? x0 a
2

2

?.
2 a

????2 分

?

2

? x0 a
2

2

? ?
? ? 2 a
2

? k AP ? k AP ?

y0 x0 ? a
2

?

y0 x0 ? a

?

y0
2

2

x0 ? a

2

?

? a

?

2

? x0

2

????3 分

??
? e
2

2 a
2

? ?

1

,得 a ? 4 ,
? 1 2

????4 分 ????5 分

?

2 4?2 4

.
2 2

? 椭圆的离心率 e ?

.

????6 分 ????7 分 ????8 分

(2) 由题意知直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的斜率为 k , 直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 1 ? 则有 M ? 0 , k ? , 设 P ? x 0 , y 0 ?? x 0 ? ? a ? ,由于 P , M , Q 三点共线,且 MP ? 2 PQ 根据题意,得 ? x 0 , y 0 ? k ? ? ? 2 ? x 0 ? 1, y 0 ?
2 ? ? x0 ? ? 3 ? x0 ? ?2 ? 解得 ? 或? ? y0 ? ?k ?y ? k ? 0 3 ?
x
2

????9 分

????11 分

又点 P 在椭圆上,又由(1)知椭圆 C 的方程为

?

y

2

?1

4

2

所以

?? 2 ? 2
4

?

?? k ? 2
2

? 1 ????①



? 2? ?? ? ? 3? 4

2

?

?k ? ? ? ?3? 2

2

? 1 ????②

由①解得 k

2

? 0 ,即 k ? 0 ,

? 此时点 P 与椭圆左端点 A 重合, ? k ? 0 舍去;

????12 分 ????13 分 ????14 分

由②解得 k

2

? 16 ,即 k ? ? 4

? 直线直线 l 的斜率 k ? ? 4 .

20. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查导数、不等式、函数的单调性、最值等知识,考查化归与转化、分类与 讨论的数学思想方法,以及数学探究能力、综合运用能力和运算求解能力) 解:(1)当 a ? 1 时, f ? x ? ? ln x ?
f
'

1 x

,

?x ? ?

1 x

?

1 x 1 1 1
2

.

?????? 1 分

f ?1 ? ? ln 1 ? f ?1 ? ?
'

. ? ?1 ? 2

1 1

?

1

2

? 曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, ? 1 ? 处的切线方程为 y ? 1 ? 2 ? x ? 1 ? ,即 y ? 2 x ? 3 . ???3 分

(2) f

'

?x ? ?

x?a x
2

.
'

?????? 4 分

①若 a ? ? 1 ,则 x ? a ? 0 ,即 f

? x ? ? 0 在 ?1, e ? 上恒成立,此时 f ? x ? 在 ?1, e ? 上为增函数,
?????? 5 分

? f ? x ? min ? f ?1 ? ? ? a ? ?a ? ? 3 2

3 2

, ?????? 6 分
'

(舍去);

②若 a ? ? e ,则 x ? a ? 0 ,即 f

? x ? ? 0 在 ?1, e ? 上恒成立,此时 f ? x ? 在 ?1, e ? 上为减函数,
?????? 7 分

? f ? x ? min ? f ? e ? ? 1 ? ?a ? ? e 2

a e

?

3 2

, ?????? 8 分

(舍去);

③若 ? e ? a ? ? 1 ,令 f 当 ? a ? x ? e 时, f 当 1 ? x ? ? a 时, f
' '

'

?x ? ? 0 得 x

? ?a ,

? x ? ? 0 ,?

f ? x ? 在 ? ? a , e ? 上为增函数, f ? x ? 在 ?1, ? a ? 上为减函数,
3 2

? x ? ? 0 ,?

?????? 9 分

? f ? x ? min ? f ? ? a ? ? ln ? ? a ? ? 1 ?

,

?a ? ? e .

综上所述, a ? ? e . (3)? f ? x ? ? x ,? ln x ?
2

?????? 10 分
a x ? x , 又 x ? 0 ,? a ? x ln x ? x . ?????? 11 分
2

3

令 g ? x ? ? x ln x ? x , 则 h ? x ? ? g ? x ? ? 1 ? ln x ? 3 x ,
3 ' 2

h ?x ? ?
'

1 x

? 6x ?

1 ? ?6 x x
'

2

.

??? 12 分

? 当 x ? ?1, ?? ? 时, h ? x ? ? 0 ,? h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是减函数.

? h ? x ? ? h ?1 ? ? ? 2 ? 0 ,即 g ? x ? ? 0 ,? g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上也是减函数.
'

? g ? x ? ? g ?1 ? ? ? 1 ,
? 当 a ? ? 1 时, f ? x ? ? x
2

?????? 13 分 在 ?1, ?? ? 上恒成立. ?????? 14 分

21.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式 等知识,考查化归、转化、方程的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力、创 新能力和综合应用能力) 解 : ( 1 ) 证 明 : 数 列 {b n } 是 等 差 数 列 , 设 公 差 为 d , 则 b n ? 1 ? b n ? d 对 n ? N 恒 成
*

立, 依题意 b n ? lo g 1 a n , a n ? ( ) ,
bn

?????? 1 分
1

?????? 2 分

2

2

所以

a n ?1 an

1 b ?b 1 d ? ( ) n ?1 n ? ( ) 是定值, 2 2

?????? 3 分

从而数列 { a n } 是等比数列. (2)解:当 n ? 1 时, a 1 ?
1 2

?????? 4 分 ,当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ? ( ) , n ? 1 也适合此式,
n

1

2

即数列 { a n } 的通项公式是 a n ? ( ) .
n

1

?????? 5 分

2

由 b n ? lo g 1 a n ,
2

数列 {b n } 的通项公式是 b n ? n , 所以 Pn (
1 2
n

?????? 6 分

, n ) , Pn ? 1 (

1 2
n ?1

, n ? 1) .
x? ? 2 1
n ?1

1 2 ?
n

过这两点的直线方程是:

y?n ( n ? 1) ? n

1 2
n



可得与坐标轴的交点是 A n (
cn ? 1 2 ? O An ? O B n ?

n?2 2
n ?1

, 0 ) 和 B n (0, n ? 2 ) .

?????? 7 分

(n ? 2) 2
2 n?2

2

,?????? 8 分

由于 c n ? c n ? 1 ?

(n ? 2) 2
n?2

?

( n ? 3) 2
n?3

2

?

2 ( n ? 2 ) ? ( n ? 3)
2

2

2

n?3

?

n ? 2n ? 1
2

2

n?3

? 0 ?????9 分

即数列 { c n } 的各项依次单调递减,所以 t ? c1 ?

9 8



?????? 10 分

(3)数列 { d n } 中, b k (含 b k 项)前的所有项的和是
k ?1

(1 ? 2 ? ? ? k ) ? (3 ? 3 ? ? ? 3
1 2

) ?

k ? k ? 1? 2

?

3 ?3
k

??? 11 分

2

估算知,当 k ? 7 时,其和是 2 8 ?

3 ?3
7

? 1120 ? 2008 ,

?????? 12 分

2 3 ?3
8

当 k ? 8 时,其和是 3 6 ?
8 又因为 2 0 0?

? 3315 ? 2008 ,
?2, 是 3 的 倍 数 , 故 存 在 这 样 的 m , 使 得 9 6

2
1 1? 0 2 8 8 8 ?

S m ? 2008 ,

?????? 13 分

此时 m ? 7 ? (1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ) ? 296 ? 667 .
2 5

?????? 14 分


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