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工程电磁场导论矢量分析_图文

第零章

第0章 矢量分析
Vector Analysis

标量场和矢量场 标量场的梯度 矢量场的通量与散度 矢量场的环量与旋度 亥姆霍兹定理 电磁场的特殊形式

矢量分析

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第零章

矢量分析
正交坐标系-直角坐标系
uuuuv OM ? ex x ? ey y ? ez z ? A

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第零章

矢量分析

Mu(uxu,uyuv, z)

M ?(x ? dx, y ? dy, z ? dz)

MM ? ? dl ? exdx ? eydy ? ezdz

第零章
元面积

矢量分析
dS ? exdydz ? eydxdz ? ezdydz
dSx ? exdydz dSy ? eydxdz
dSz ? ezdxdy

第零章

矢量分析

元体积 dV ? dxdydz

第零章

矢量分析
正交坐标系-柱坐标系
uuuuv
OM ? e? ? ? e?? ? ez z ? A

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第零章

矢量分析

M (?,?, z) M ?(? ? d?,? ? d?, z ? dz)
uuuuuv
MM? ? dl ? e?d? ? e? ?d? ? ezdz

第零章
元面积

矢量分析
dS ? e? ?d?dz ? e?d?dz ? ez ?d?d?
dS? ? e? ?d?dz
dS? ? e?d?dz
dSz ? ez ?d?d?

第零章
元体积

矢量分析
dV ? ?d?d?dz

第零章

矢量分析
正交坐标系-球坐标系
uuuuv
OM ? err ? e?? ? e?? ? A

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第零章

矢量分析

M (r,? ,?) M ?(r ? dr,? ? d?,? ? d?)
uuuuuv
MM ? ? dl ? erdr ? e? rd? ? e?r sin?d?

第零章

矢量分析

元面积

dSr ? er[(r sin?d?)(rd? )]

? err2 sin?d?d?

dS? ? e? [(r sin?d?)(dr)] ? e? r sin? drd? dS? ? e?rd?dr ? e?rdrd?

dS ? err2 sin? d? d? ?e? r sin? drd? ?e? rdrd?

第零章

矢量分析

元体积

dV ? (rd? )dr(r sin?d?)

? r2 sin?drd?d?

第零章

矢量分析
坐标系间单位矢量的换算

投影原则

能理解书中第322页表附1-1所列公式之间的关系

可参考书籍:BHag Singh Guru, Huseyin R .Hiziroglu,周克 定等译 .,电磁场与电磁波 . 北京:机械工业出版社,2000
第二章 矢量分析(Page10~47)

第零章

0.1 标量场和矢量场
Scalar Field and Vector Field

矢量分析

场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中 任一个点都有一个确定的标量或矢量。

例如,在直角坐标下:

?

(x,

y,

z)

?



[( x

?1)2

5 ?(

y

?

2)2

?

z2

]

如温度场、电位场、高度场等;

标量场

A(x, y, z) ? 2xy2ex ? x2zey ? xyzez

矢量场

如流速场、电场、涡流场等。

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第零章
形象描绘场分布的工具——场线

矢量分析

(1) 标量场--等值线(面) 其方程为:
h (x, y, z) ? const
或?(x, y) ? const

思考

图0.1.1 等高线

在某一高度上沿什么方向高度变化最快?

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第零章

矢量分析

矢量场--矢量线
线上每一点处的切线方向都与矢量场在该点的方向相同

其方程为:
A? dl ? 0
在直角坐标系下:

二维场 三维场

Ax ? Ay dx dy Ax ? Ay ? Az dx dy dz

图0.1.2 矢量线
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第零章

0.2 标量场的梯度

矢量分析

Gradient of Scalar Field

设一个标量函数? (x,y,z),若函数 ? 在点 P 可微,

则 ? 在点P 沿任意方向 l 的方向导数为

?? ? ?? cos? ? ?? cos ? ? ?? cos?

?l ?x

?y

?z



g

?(

??
?x

, ??
?y

, ??
?z

),

el

? (cos?,cos ?,cos? )

式中 ? , ? , ? 分别是任一方向 l 与 x, y, z 轴的夹角

则有:

??
?l

?

g ? el ?| g | cos( g, el )
??

当 ? ? ( g, el ) ? 0 , ?l 最大

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第零章

??
?x

ex

?

??
?y

ey

?

??
?z

ez

?

??

?

grad?

——梯度(gradient)

式中

?

?

ex

? ?x

? ey

? ?y

? ez

? ?z

——哈密顿算子

梯度的意义

矢量分析 图0.1.3 等温线分布

标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。
梯度的大小为该点标量函数? 的最大变化率(增
加的方向),即最大方向导数。 梯度的方向为该点最大方向导数的方向。
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第零章

矢量分析

例 0.2.1 试证明在点电荷q产生的静电场中,电 位函数的负梯度等于电场强度 E 。



第零章

矢量分析

例 0.2.2 电位场的梯度

电位场的梯度与过该点的 等位线垂直;

数值等于该点的最大方向导数;

图0.2.2 电位场的梯度

指向电位增加的方向。

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第零章

矢量分析

例: 设一标量点函数 ?(rv) ? ?(x, y, z) ? x2 ? y2 ? z
描述了空间标量场。试求:
(1) 该点函数 ? 在点P(1, 1, 1) 处的梯度,以及表示该梯度
方向的单位矢量;
(2) 求?e该vz c点os函60数? 方?向沿的单方位向矢导量数e,vl ?并ev以x c点osP60(1? ,?1ev,y1c)o处s 4该5?方
向导数值与该点的梯度值作以比较,得出相应结论。

第零章

矢量分析

[解] (1) 由梯度定义,可解出待求 P 点的梯度为

??

P

?

?? ??

evx

??

? ?x

+

evy

? ?y

+

evz

? ?z

? ?

(

x2

?

?

y2

?

? z)?
?P

? (2xevx ? 2 yevy ? evz ) (1,1,1) ? 2evx ? 2evy ? evz

evG

P

?

?? ??

P

? cos?evx ? cos ? evy ? cos? evz

? 2xevx ? 2 yevy ? evz

(2x)2 ? (2 y)2 ? (?1)2 (1,1,1)

?

2 3

evx

?

2 3

evy

?

1 3

evz

第零章

矢量分析

(2)

??
?l

? Gvg?evl

?

(2xevx

?

2

yevy

?

evz )g?

? ??

1 2

evx

?

2 2

evy

?

1 2

evz

? ??

? x?

2

y

?

1 2

??
?l

? x?

2

y

?

1 2

P

(1,1,1)

?

1?

2 2

2

第零章

矢量分析

?? ? P

? ??

??
?x

2
? ??

?

? ? ?

??
?y

?2 ? ?

?

? ??

??
?z

2
? ??

? (2x)2 ? (2 y)2 ? (?1)2
(1,1,1)
?3

显然,梯度 ??描述了P点处标量点函数? 的最大变化率,

P
即系最大方向导数,故

??
?l

? ,??恒成立。 P

P

第零章

矢量分析
0.3 矢量场的通量与散度
Flux and Divergence of Vector

0.3.1 通量 ( Flux )

矢量E 沿有向曲面 S 的面积分

Φ ? ?S E ? dS

若 S 为闭合曲面 Φ ? ?S E ? dS

图0.3.1 矢量场的通量

根据通量的大小判断闭合面中源的性质:

? = 0 (无源)

? < 0 (有负源)
图0.3.2 矢量场通量的性质

? > 0 (有正源)
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第零章
0.3.2 散度 ( Divergence )

矢量分析

如果包围点 P 的闭合面 ?S 所围区域 ?V 以任 意方式缩小到点 P 时:

? lim
?V ?0

1 ?V

A? dS ? divA
S

divA

?

??

A

?

?Ax ?x

?

?Ay ?y

?

?Az ?z

———散度 (divergence)

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第零章
散度的意义

矢量分析

矢量的散度是一个标量,是空间坐标点的函数;

散度代表矢量场的通量源的分布特性。

?? A(?无0源)

? ? A(正? ?源)

? ? A ?(?负?源)

图0.3.3 通量的物理意义

在矢量场中,若?? A= ?? 0,称之为有源场,? 称

为 ( 通量 ) 源密度;若矢量场中处处 ?? A=0 ,称之为

无源场。

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第零章
0.3.3 散度定理 ( Divergence Theorem )

? ?

?

A

?

lim
?V ?0

1 ?V

A? dS
S

通量密度

矢量分析

?

图0.3.4 散度定理

? ? ? Φ ?

S

A ? dS

?

lim ? ?

n?? ?Vn ?0

n

?1

A?Vn

?

? ? AdV
V

?S A? dS ? ?V ? ? AdV ——高斯公式
矢量函数的面积分与体积分的相互转换。
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第零章

矢量分析
0.4 矢量场的环量与旋度

Circulation and Rotation of Vector Field

0.4.1 环量 ( Circulation )

矢量 A 沿空间有向闭 合曲线 L 的线积分

Γ ? ?LA ? dl
——环量

图0.4.1 环量的计算

环量的大小与闭合路径有关,它表示绕环线 旋转趋势的大小。
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第零章
例:流速场

矢量分析

图0.4.2 流速场
水流沿平行于水管轴线方向流动,?= 0,无涡
旋运动。
流体做涡旋运动,?? 0,有产生涡旋的源。
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第零章

矢量分析

蜒 ? ? Γ ?

A ? dl ?
L

L ( Axdx ?Aydy ? Azdz

?= [( ?Az ? ?Ay )dydz ? ( ?Ax ? ?Az )dxdz

S ?y ?z

?z ?x

? ( ?Ay ? ?Ax )dxdy] ?x ?y

ex ey ez ?? A? ? ? ?
?x ?y ?z Ax Ay Az

?l A? dl ? ?S (?? A)? dS

第零章
0.4.2 旋度 ( Rotation )

矢量分析

1. 环量密度

过点 P 作一微小曲面 ?S,它的边界曲线记为 ?L,面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当 ?S ?点 P 时,存在极限

? dΓ ? lim 1 Α ? dl
dS ?S ?0 ?S ?L ——环量密度
环量密度是单位面积上的环量。
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第零章
2. 旋度

矢量分析

旋度是一个矢量,其大小等于环量密度的最大

值;其方向为最大环量密度的方向

rot A ? ?? A

它与环量密度的关系为

——旋度(curl)

dΓ dS

?

(? ?

A) ? en

en- S 的法线方向

ex ey ez

在直角坐标下:

?? A? ? ? ? ?x ?y ?z

Ax Ay Az

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第零章
3. 旋度的物理意义

矢量分析

矢量的旋度仍为矢量,是空间坐标点的函数。

某点旋度的大小是该点环量密度的最大值,其 方向是最大环量密度的方向。

在矢量场中,若 ??A=J? 0 称之为旋度场(或
涡旋场),J 称为旋度源(或涡旋源)。

若矢量场处处 ??A= 0 ,称之为无旋场。

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第零章

矢量分析

4、斯托克斯定理 ( Stockes’ Theorem )

dΓ dS

? (? ? A) ? en

dΓ ? (?? A) ?endS ? (?? A) ?dS

图 0.4.3 斯托克斯定理

?l A? dl ? ?S (?? A)? dS
——斯托克斯定理

矢量函数的线积分与面积分的相互转化。

在电磁场理论中,高斯定理 和 斯托克斯定理 是

两个非常重要的公式。

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第零章
0.5 亥姆霍兹定理
Hymherze Theorem 亥姆霍兹定理:

矢量分析

在有限区域V内,矢量场由它的散度、旋度及

边界条件唯一地确定。

已知: 矢量A的通量源密度

矢量A的旋涡源密度

场域边界条件

电荷密度?

在电磁场中

电流密度 J(矢量 A 惟一地确定) 场域边界条件

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第零章

矢量分析

例 0.5.1 试判断下列各图中矢量场的性质。

??F ? 0 ??F ? 0

? ? F ? ?0 ??F ? 0

??F ? 0 ? ? F ? ?0
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第零章

(1) 无旋场( irrotational field )

?? A? 0

?? A? 0

例如 静电场

矢量分析

??E ? 0

??D? ?

从而由矢量恒等式 ???? ? 0

可定义 E ? ??? ? ?grad ? (? — 电位函数)

?无旋场中,矢量沿场域中任意闭合路径的环量等于零 ?无旋场可以表示为某一标量函数梯度场

第零章

(2) 无散场( 无源场、管量场 solenoidal field )

?? A ? 0

??A? 0

例如 恒定电流的磁场

??B?0 ??H ? J

矢量分析

?g?(?? A) ? 0

?无源场中穿过场域中任一个矢量管的所有截面的通量都相等 ?无源场存在着矢势(磁矢位)

第零章

矢量分析

(3)调和场:散度和旋度都等于零的矢量场 调和场位函数满足拉普拉斯方程

(4) 一般的场 ?? A? 0

?? A? 0

例如 时变电磁场
F ? ??? ? ? ? A
? (无旋部分) ? (无散部分)

第零章

矢量分析

矢量分析常用的恒等式(P332~335)
? ? ?? ? 0
?g?(?? A) ? 0
? ? ? ? A = ?(? ?gA) ? ?2 A
?g(?A) ? ??g?A+ Ag??
?g??? ? ?2?

第零章
作业

矢量分析

试证明下列各题:

?

1 r ? r?

??

r ? r? r ? r?3

?? 1 ? ?? 1

式中:

r ? r?

r ? r?

? ? ?? ? 0
???? A ? 0

r ? xex ? yey ? zez r? ? x?ex ? y?ey ? z?ez

? ? ?(x, y, z)

A ? Axex ? Ayey ? Azez

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第零章

矢量分析

求 ?? A 和 ?? A
A ? xy2z3ex ? x3zey ? x2 y2ez
A ? ?2 cos?e? ? ?2 sin?e?


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