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学高中数学第三章指数函数和对数函数..换底公式练习北师大版解析


4.2

换底公式
巩固提 升

课后训 练案

A组 4.若 a>0,a≠1,x>y>0,n∈N+,则下列各式:

①(logax)n=nlogax;②(logax)n=logaxn; ③logax=-loga;④=loga; ⑤logax;⑥=loga; ⑦logaxn=nlogax;⑧loga=-loga.
其中成立的有( A.3 个 答案:B 5. 导学号 91000123(2016 山东济宁一中高一期中)已知 log89=a,log25=b,则 lg 3 等于( A. C. B. D. ) ) B.4 个 C.5 个 D.6 个

解析:根据对数的运算法则及换底公式得③⑥⑦⑧正确,①②④⑤不正确.

解析:∵log89=a,∴=a.

∴=a.∴lg 3=lg 2.
又∵log25=b,∴=b.

∴=b.∴lg 2=. ∴lg 3=,故选 C.
答案:C 6.若 mlog35=1,n=5 ,则 n 的值为 解析:∵m==log53,∴n=5 ==3. 答案:3 7.设 2 =5 =m,且=2,则 m= 解析:∵a=log2m,b=log5m,
a b m m

.

.

∴=logm2+logm5=logm10=2, ∴m2=10.又∵m>0,∴m=.
答案: 8.设 10 =2,10 =3,则 log1815= 解析:由 10 =2,10 =3,得 a=lg 2,b=lg 3. 故 log1815=. 答案: 9.已知 x,y 为正数,且 3 =4 ,求使 2x=py 的 p 的值. 解:设 3 =4 =k(显然 k≠1), 则 x=log3k,y=log4k,
x y x y a b a b

(用 a,b 表示).

1

由 2x=py,得 2log3k=plog4k=p·.

∵log3k≠0,∴p=2log34.
10. 导学号 91000124 计算:(log43+log83)+log535-2log5+log57-log51.8. 解:根据对数的换底公式和运算性质可得(log43+log83)·, log535-2log5+log57-log51.8=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=1+log572log57+2log53+log57-2log53+1=2, 所以(log43+log83)+log535-2log5+log57-log51.8=. B组 1.计算 log2·log3·log5 的值为( A.-20 B.-5 C.5 解析:原式=-log225·log332·log59 ) D.20

==-=-20.
答案:A 2. 导学号 91000125 已知 f(3 )=1+2x·log23,则 f(2 A.2 013
x x
1 007

)的值等于(

)
1 007

B.2 014

C.2 015

D.2 017 )=1+=2

解析:令 3 =t(t>0),则 x=log3t,f(t)=1+2·log3t·log23=1+2·=1+,所以 f(x)=1+,故 f(2 015. 答案:C

3.已知 x,y,z 都是大于 1 的正数,m>0,且 logxm=24,logym=40,logxyzm=12,则 logzm 的值为( A.60 B. C. D. 解析:由已知 logmx=,logmy=,logmxyz=, 所以 logmx+logmy+logmz=,即 logmz=,所以 logzm=60,故选 A. 答案:A 4.已知 2 =3,log4=y,则 x+2y=
x x

)

.

解析:∵2 =3,∴x=log23.∵log4=y,∴y=log48-log43=log23,

∴x+2y=log23+2=3.
答案:3 5.(信息题)已知 an=log(n+1)(n+2)(n∈N+),观察下列运算:

a1a2=log23·log34=2;a1·a2·a3·a4·a5·a6=log23·log34·…·log78=·…·=3,……
定义使 a1·a2·…·ak 为整数的 k(k∈N+)叫作企盼数.试确定当 a1·a2·…·ak=2 016 时,企盼数

k=
答案:2
2 016

.
2 016

解析:a1·a2·…·ak=·…·=log2(k+2)=2 016,解得 k=2

-2.
-λ t

-2
,其中 μ 0,λ 是正常数.

6.某种汽车安全行驶的稳定性系数 μ 随使用年数 t 的变化规律是 μ =μ 0e (结果精确到 1,参考数据:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1).

经检测,当 t=2 时,μ =0.90μ 0,则当稳定性系数降为 0.50μ 0 时,该种汽车已使用的年数为

2

解析:由 0.90μ 0=μ 0(e ) ,得 e =.又 0.50μ 0=μ 0(e ) ,则=() ,两边取常用对数,得 lglg 0.90,故



2





t

t

t=≈13.
答案:13 7.已知 log1227=a,求 log616 的值(用 a 表示). 解:∵由 log1227=a,得=a,∴lg 2=lg 3.

∴log616=.
8. 导学号 91000126(拓展探究)已知 logax+3logxa-logxy=3(a>1). (1)若设 x=a ,试用 a,t 表示 y; (2)若当 0<t≤2 时,y 有最小值 8,求 a 和 x 的值. 解:(1)由换底公式,得 logax+=3(a>1), 所以 logay=(logax) -3logax+3, 当 x=a 时,logax=logaa =t, 所以 logay=t -3t+3.所以 y=(t≠0). (2)y=,因为 0<t≤2,a>1, 所以当 t=时,ymin==8, 所以 a=16,此时 x==64.
2 2

t

t

t

3


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