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2013-2014第二学期高等数学2试卷A答案

华东政法大学 2013-2014 学年第二学期期末考试 2013 级商学院各专业 《高等数学(Ⅱ) 》A 卷答案

一、填空题(每题 2 分,共 20 分)
1、 ?
4

1 x sin 2 y y
4? x 2 2

2、 (?1,1]
4 4? y

3、绝对收敛

4、2

5、是,否

6、 dx ( x ? y )dy 或
0 0

? ?
? ?
0 x 2 4

? dy ? ( x
0 0
a sec ?

2

? y 2 )dx

7、≥

8、 (0,0)

?
x

9、 dx

f ( x, y )dy 10、 ? d?
0

4

? f (r cos ? , r sin ? )rdr
0

二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案, 每小题 2 分,共 10 分)
BABCC

三、判断题(本题共 20 分,每题 2 分,正确的填√,错误的填×) 。
Х Х Х Х √ √Х √Х Х

四、证明题(本题共 8 分,每题 4 分) (解题方法不唯一)
1.设 u ? f ( x ? y ) ,证明: y
2 2

?u ?u ?x ? 0。 ?x ?y

?u ?u ? 2 xf ? , ? 2 yf ? ?x ?y

---------2 分 ---------2 分

y

?u ?u ?x ? 2 xyf ? ? 2 xyf ? ? 0 ?x ?y
x2 y 不存在。 x4 ? y2

2.证明:极限 lim
x ?0 y ?0

x2 y kx 3 ? lim ?0 x ?0 x 4 ? y 2 x ?0 x 4 ? k 2 x 2 y ? kx lim

---------2 分

第 1 页 共 4 页

x ?0 y?x2

lim

x2 y x4 1 ? lim ? 4 2 4 4 x ?0 x ? x 2 x ?y
x2 y 与 k 取值有关,所以不存在。 x4 ? y2

---------2 分

极限 lim
x ?0 y ?0

五、解答题(每题 6 分,共 36 分) (解题方法不唯一)
? ? 1.讨论 f ( x, y ) ? ? ? ? y2
2 2

x ?y 0 x2 ? y2 ? 0

x2 ? y2 ? 0

在(0,0)点的连续性和可导性。

0?

y2 x2 ? y 2
y2

?

y2 y2

? y ?0

? lim
x ?0 y ?0

x2 ? y2

? 0 ? f (0,0)

f(x,y)在(0,0)连续

------------3 分

f (0,0 ? ?y ) ? f (0,0) ? 1, ?y f (0,0 ? ?y ) ? f (0,0) lim? ? ?1 ?y ?0 ?y
?y ?0 ?

lim

f(x,y)在(0,0)不可导

------------3 分

2.设方程 f (2 x, xz ?

y 2 ?z ? 2 z , x ? y 2 ) ? 0 确定函数 z ? z ( x, y ) ,其中 f 为可微函数,求 , 。 x ?x ?x?y

f x ? 2 f1? ? f 2?( z ?

y ) ? 2 xf 3? x2

fy ?

1 f 2? ? 2 yf 3? x f z ? xf 2?
------------3 分

f ?z ?? x ?? ?x fz

2 f1? ? f 2?( z ?

y ) ? 2 xf 3? x2 xf 2?
------------3 分

1 f 2? ? 2 yf 3? fy ?z x ?? ?? ?y fz xf 2?
3.计算二重积分 作图

?? (e
D

x

(要求作图) ? y3 )dxdy ,其中积分区域 D 是由 x ? y 和 x ? 1 所围成。 ------------1 分

?? ( e ? y
x D

3

= ? dx ? (e x ? y 3 )dy )d x d y
0 ?x

1

x

------------2 分 ------------3 分 (过程 2 分,结果 1 分)

=2

第 2 页 共 4 页

4.求幂级数

3n ? 5 n n x 的收敛半径、收敛域。 ? n n ?1
?

lim

a n ?1 n ?? a n

3 n ?1 ? 5 n ?1 n ? 1 =5 ? lim n n ?? 3 ? 5 n n

------------4 分(过程 2 分,结果 2 分)

R=1/5

3 ( )n ?1 X=1/5 时, ? 5 发散 n n ?1
?

3 ( )n ? 1 n X=-1/5 时, ? ( ?1) 5 收敛 n n ?1
?

收敛域 [?1 / 5,1 / 5) 5.选择适当的坐标系,计算二重积分

------------2 分

?? ln(1? x
D

2

? y2 )d? ,其中 D 由圆周 x 2+y 2 ? 1 及 x 轴、y
------------1 分

轴所围成在第一象限内的闭区域。 (要求作图) 作图
?
2 2 2 ?? ln(1? x ? y )d? = ? d? ? ln(1 ? r )rdr 2 1

------------2 分

D

0

0

=

?
4

( 2 ln 2 ? 1)

------------3 分 (过程 2 分,结果 1 分)

6、判断级数
? ?

? (?1)
n ?1

?

n ?1

n 3n?1

是否收敛?如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛?

? un ? ?
n ?1 n ?1

n 3 n ?1
n

------------2 分

n ??x

lim n u n ? lim
n ??

n
n ?1 n

? 1/ 3
?

------------3 分

3

由根值审敛法可知,级数

? (?1)
n ?1

n ?1

n 3n?1

绝对收敛。

------------1 分

六、应用题(6 分) (解题方法不唯一)
设某企业生产一定量的某产品时可用两种原料,第一种为 x(千吨) ,第二种为 y(千吨) ,其电能消 耗量 N(万度)与两种原料使用量的关系为
第 3 页 共 4 页

N ? x2 ? 2xy ? 2 y 2 ? 4x ? 6 y ? 105

问如何使用两种原料方可使电能消耗达到最低,并求此时的最低能耗.

L ? x 2 ? 2xy ? 2 y 2 ? 4x ? 6 y ? 105? ? ( x ? y ?10)
? Lx ? 2 x ? 2 y ? 4 ? ? ? 0 ? ?Ly ? 2 x ? 4 y ? 6 ? ? ? 0 ? x ? y ? 10 ?
x ? 9, y ? 1, L ? 164

------------1 分

------------3 分

第一种原料使用 9 千吨,第二种原料使用 1 千吨,电能消耗最低,最低能耗为 164 万度。 ------------2 分

第 4 页 共 4 页


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