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7.2.1任意角的三角函数的-定义


复习
将下列弧度化为度,度化为弧度 (1)270°

(2)

5 ? ? 6

三 三角 角 7.2.1 任意角的三角函数的定义

三角 三角

课时目标

1、能掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;
2、理解任意角的三角函数不同定义方法;

初中锐角三角函数定义(正弦,余弦,正切) B
斜 边 对 边

对边 sin A ? 斜边

A
思考

邻 边

C

邻边 cos A ? 斜边 对边 t an A ? 邻边

角的范围已经推广,那么我们如何定义 任意角 ? 的三角函数呢?

1、任意角三角函数的定义
设任意角 ?
在角?的终边任取一点P(x,y),
y

设|OP|=r= x 2 ? y 2
则有

?的终边

y sin ? ? r
x cos ? ? r y tan ? ? x
O

?P(x,y)

x

任意角三角函数的定义
已知 ? 是任意角, P'(1,2) ,P(2,4)是角 ? 的 终边与两个半径不同的同心圆的交点,

y

P
P'

O

x

x

所以当角 ? 不变时,不论点 P 在角 ? 的
终边上的位置如何,这三个比值都是定值,只 依赖于 ? 的大小,与点 P 在 角 ? 终边上的位

置无关.

于是我们有如下定义: 设角? 的终边上的任意一点P(x,y),点 P 到原点 的距离为 r.

x x 比值 叫做角? 的余弦.记作 cos ? ? r r y y 比值 叫做角? 的正弦.记作 sin ? ? r r y y 比值 叫做角? 的正切.记作 tan ? ? x x

例 1 已知角 ? 终边经过点 P(2,-3)如图, 求角? 的三个三角函数值. 解 已知点 P(2, -3),则 y

r ? OP ? 2 ? ?? 3? ? 13. 
2 2

O

x
P(2,-3)

y ?3 3 13 sin ? ? ? ?? ;  r 13 13 x 2 2 13 cos ? ? ? ? ; r 13 13 y 3 tan ? ? ? ? . x 2

依照上述定义,对于每一个确定的角 ? ,都分别 有唯一确定的三角函数值与之对应,所以这三个对应 关系都是以角 ? 为自变量的函数,分别称作角 ? 的 余弦函数、正弦函数和正切函数.

设角? 的终边上的任意一点P(x,y),点 P 到原点

的距离为 r.

r 1 r 比值 叫做角? 的正割.记作 sec ? ? ? x c os ? x r 1 r 比值 叫做角? 的余割.记作 csc ? ? ? y sin ? y
x 比值 y 叫做角? 的余切.记作 cot

1 x ? ? ? tan ? y

设任意角 ?
在角? 的终边任取一点P(x,y),
y

设|OP|=r= x 2 ? y 2
则有
y sin ? ? r y tan ? ? x
x cos? ? r x cot ? ? y r csc? ? y

?的终边

?P(x,y)

r sec ? ? x

O

x

例2

已知角?终边上一点P(?4,3),求角?的各

三角函数值。
解: ? P(?4,3)
? x ? ?4, y ? 3? r ? (?4) 2 ? 32 ? 5

y 3y ? sin ? sin ? ??? , r 5r y 3 y tan ? ?tan ? ?? ? , x x 4 r 5r ?? ? , sec ? ?sec? x 4x

xx 4 cos ? cos ?? ? ?? , rr 5 x x 4 cot? ?? ? ?? , cot y y 3 r 5 r csc ?? ? ? . csc ? yy 3

三角函数求值
计算三角函数值的步骤:

S1 画角
S2 找点

在直角坐标系中,作转角 ? ;
在角的终边上任找一点P,并量出该点的纵 坐标和横坐标,计算 ? OP ?=

x ?y
2

2



S3 求值

根据三角函数定义,求出角 ? 的三角函数值.

例3
解:

求角 的正弦、余弦和正切: 值 2
? ?

?

因为角 的终边与 y轴 正 半 轴 重 合 , 所 以 们 我可 以 在 角 2 2 的终边上取点 P(0,1) , 这 时x ? 0, y ? 1, r ? 1.

由三角函数定义得: ? y sin ? ? 1 2 r ? x cos ? ? 0 2 r tan 不 存 在 2

?

反馈练习

例3
解:

已知角?终边上一点P(1,?1),求角?的各
? P(1,?1)
? x ? 1, y ? ?1? r ? (1) 2 ? (?1) 2 ? 2

三角函数值。

y 2 ? sin ? ? ? ? , r 2 y tan ? ? ? ?1, x r sec ? ? ? 2 , x

x 2 cos ? ? ? , r 2 x cot ? ? ? ?1, y r csc ? ? ? ? 2. y

本节课所学知识点:

1.任意角三角函数的定义(代数表示).
2.任意角三角函数值的求法.

布置作业

教材P13,练习 7-3,1(3)(4)

预习新课

7.2.2 单位圆和正弦、余弦线


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