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湖北省黄冈市2014届高三5月适应性考试文科数学试题 Word版含答案


黄冈市 2014 届高三 5 月适应性考试 数学试题(文科)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1..已知集合 M={x|-3<X<1},N={-3,-2,-1,0,1},则 M∩N= A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1,0} C.{-2,-1,0} D.{-3,-2,-1 } 2.设 x ? Z ,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p : ?x ? A, 2 x ? B ,则 A. ?p : ?x ? A, 2 x ? B B. ?p : ?x ? A, 2 x ? B C. ?p : ?x ? A, 2 x ? B D. ?p : ?x ? A, 2 x ? B 3.2014 年 3 月,为了调查教师对十二届全国人民代表大会二次会议的了解程度,黄冈市拟采用分层抽样 的方法从 A,B,C 三所不同的中学抽取 60 名教师进行调查,已知 A,B,C 三所中学分别有 180,270,90 名教师,则从 C 学校学校中抽取的人数是 A.10 B。12 C。18 D。24 4. 函数 y ? x ? x 3 的图象大致为
1

5. 将函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ? )(?

?
2

?? ?

?
2

) 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位长度后得到函数 g ( x) 的图象,

若 f ( x), g ( x) 的图象都经过点 P (0, A.

5? 3

B.

5? 6

3 ) ,则 ? 的值可以是 2
C.

?

2

D.

? 6

6.若同一平面内向量 a b c 两两所成的角相等,且 a ? 1 , b ? 1, c ? 3 ,则 a ? b ? c 等于 A.2 7。直线 L: B.5
2 2

C .2 或 5

D. 2 或 5

x y x y ? ? 1 与椭圆 E: ? ? 1 相交于 A,B 两点,该椭圆上存在点 P,使得 4 3 16 9
C. 3 个错误! 未找到引用源。 D. 4

△ PAB 的面积等于 3,则这样的点 P 共有 A. 1 个错误! 未找到引用源。 B. 2 个错误! 未找到引用源。 个错误!未找到引用源。

? ?? 上为增函数,不等式 f (ax ? 1) ? f ( x ? 2) 对 x ? ? ,1? 恒成 8.函数 y ? f ( x ) 为偶函数,且在区间 ?0, 2
立,则实数 a 的取值范围为 A. ?? 2,0? B. ?? 5,0? C. ?? 5,1? D. ?? 2,1?

?1 ? ? ?

?x ? y ? 0 ? 9.若满足条件 ? x ? y ? 2 ? 0 的整点 ? x, y ? 恰有 9 个 (其中整点是指横, 纵坐标均为整数的点) , 则整数 a 的 ?y ? a ?
值为 A. - 3 B。 - 2 C。 - 1
2

D。0
2

10.设正实数 x, y, z 满足 x ? 3 xy ? 4 y ? z ? 0 ,则当

z 取得最大小值时, x ? 2 y ? z 的最大值为 xy

1

A.0

B.

9 8

C .2

D.

9 4

第二卷 非选择题 二.填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,请将答案填在题中的横线上) 11 .设 m ? R , m 2 ? m ? 2 ? m 2 ? 1 i 是纯虚数 , 其中 i 是虚数单位 , 则 m ? ________. 12 . PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒 物,也称为可入肺颗粒物,如图是根据某地某日早 7 点至 晚 8 点甲、乙两个 PM 2.5 监测点统计的数据(单位: 毫克/每立方米)列出的茎叶图,则甲、乙两地浓度 的方差较小的是 13 如图,定义某种运算 S ? a ? b ,运算原理如右

?

?

5? ?1? 图所示,则式子 (2 tan ) ? ln e ? 10lg 2 ? ? ? 的 4 ?3?
值为
? 14.设 n ? N , f (n) ? 1 ?

?1

1 1 1 3 ? ? ? ? ,由计算得 f (2) ? 2 3 n 2 5 7 f (4) ? 2 , f (8) ? , f (32 ) ? ,观察上述结果,可推 2 2
2 2

出一般的结论为 15.已知 x ? y ? 4 ,则满足 x ? y ? 概率为_______

2且 x? y ? 2 的

16 .一个几何体的三视图如图所示,已知这个几 何体的体积为 10 3 , h = . 17 .下列命题:① 已知平面 ?,?,? 满 足 ? ? ?,? ? ?,? ? ? ? l 则 l ? ? 。 ② E,F,G,H 是空间四边形 ABCD 各边 AB,BC,CD,DA 的中点,若对角线 BD=2,AC=4,则 EG ? HF ? 10 ③ 过 ?ABC 所在平面 ? 外一点 P,作 PO ? ? ,垂足为 O,连接 PA,PB,PC, 若 PA ? PB, PB ? PC, PC ? PA ,则点 O 是 ?ABC 的垂心。 其中正确命题的序号是
2 2

三.解答题共(本大题共 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且

3 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B) sin( A ? c) ? ? . 5
(Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

2

19. (本小题满分 13 分)已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 2 ,且对任意 n ? N 都有 an?1 ? ban ? c (其中 b, c 为
?

常数) 。 (1)若数列 ?an ? 为等差数列,且 c ? 2 ,求 ?an ? 的通项公式。 数列,求 ?an ? 的前 n 项和 s n ?

(2)若数列 ?an ? 是等比数列,且 b ? 1,从数列 ?an ? 中任意取出相邻的三项,均能按某种顺序排成等差

341 成立的 n 的取值的集合。 256

20. (本小题满分 13 分) 在几何体 ABCDE 中, ∠BAC=

? , DC⊥平面 ABC, EB⊥平面 ABC,AB=AC=BE=2, 2
E

CD=1。 (I)设平面 ABE 与平面 ACD 的交线为直线 l ,求证: l ∥平面 BCDE; (II)设 F 是 BC 的中点,求证:平面 AFD⊥平面 AFE; D (III)求几何体 ABCDE 的体积。 F C A 21. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? ax ( a 为常数) .
2

B

(1)若 x ? 1 是函数 f ( x ) 的一个极值点,求 a 的值; (2)当 0 ? a ? 2 时,试判断 f ( x ) 的单调性;

(3)若对任意的 a ? ?1,2?, x0 ??1,2? ,使不等式 f ( x0 ) ? m ln a 恒成立,求实数 m 的取值范围.

22. (本小题满分 14 分)已知 P 是圆 M : x ? y ? 4 x ? 4 ? 4m ? 0 ( m ? 2 ) 上任意一点,点 N 的坐标为(2,0) ,线段 NP 的垂直平分线交直线 MP 于点 Q,当点 P 在圆 M 上运动时,点 Q 的轨迹为 C。 (1)求出轨迹 C 的方程,并讨论曲线 C 的形状;
2 2 2

(2)当 m ? 5 时,在 x 轴上是否存在一定点 E,使得对曲线 C 的任意一条过 E 的弦 AB, 定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由。

1 EA
2

?

1 EB
2



3

黄冈市 2014 届高三 5 月适应性考试 数学试题(文科)参考答案
一、A 卷 CCAAB 二、11.-2 三、 18. 【解】 (1)由 cos( A ? B ) cos B ? sin( A ? B) sin( A ? c) ? ? CBACC 13.13 14. f 2 12.甲

2 ? ?≥ n? 2
n

15.

1

?
3 得 5

16.

3

17.①②③

3 cos( A ? B ) cos B ? sin( A ? B ) sin B ? ? , 5 3 3 则 cos( A ? B ? B ) ? ? ,即 cos A ? ? ………5′ 5 5 4 又 0 ? A ? ? ,则 sin A ? ………6′ 5 a b b sin A 2 ? (2)由正弦定理,有 ,所以 sin B ? , ? sin A sin B a 2
由题知 a ? b ,则 A ? B ,故 B ?

? .………9′ 4

根据余弦定理,有 (4 2 ) 2 ? 5 2 ? c 2 ? 2 ? 5c ? (? ) , 解得 c ? 1 或 c ? ?7 (负值舍去), ………10′ 2 向量 BA 在 BC 方向上的投影为 BA cos B ? ………12′ 2 19. 【解】 (1)当 b ? 0 时, an ? 2 符合题意。 当 b ? 0 时, an?1 ? an ? (b ? 1)an ? c 为常数,故 b ? 1 ,得 an ? 2n 所以, an ? 2 或 an ? 2n ………6′(只求得一个得 3 分)
2

3 5

2 (2)由数列 ?an ? 为等比数列,所以 a2 ? a1a3 得 2bc ? c ? 2c

c ? 0 或 2b ? c ? 2 ,………8′
若 2b ? c ? 2 得 a 2 ? 2 ,故 an ? 2 不满足 S n ? 所以 c ? 0 ,得 an ? 2b n?1 .………9′ 由任相邻的三项均能按某种顺序排成等差数列,即

341 256

? 2b n?1 得 b ? 1 。舍………10′ n ?1 n n ?1 若 2 ? 2b ? 2b ? 2b 得 b ? 1 (舍)或 b ? ?2 舍。………11′ 1 n ?1 ? 2b n?1 ? 2b n 得 b ? 1 舍或 b ? ? ………12′ 若 2 ? 2b 2 4 1 n 341 1 n 1023 故 S n ? (1 ? ( ? ) ) ? 得1 ? (? ) ? 3 2 256 2 1024 n ? 2,4,6,8 即所求值的集合为{2,4,6,8}………13′ 20.【证】 (1)∵DC⊥平面 ABC,EB⊥平面 ABC, ∴DC//EB,又∵DC ? 平面 ABE,EB ? 平面 ABE,
若 2 ? 2b ? 2b
n

n ?1

∴DC∥平面 ABE l ? 平面 ABE 平面 ACD,则 DC∥ l 又 l ? 平面 BCDE,CD ? 平面 BCDE 所以 l ∥平面 BCDE………4′ 【解】 (2)在△DEF 中, FD ? 3, FE ? 6, DE ? 3 ,由勾股定理知, FD ? FE
4

由 DC⊥平面 ABC,AF ? 平面 ABC,∴DC⊥AF, 又∵AB=AC,F 是 BC 的中点,∴AF⊥BC, 又∵DC∩BC=C,DC ? 平面 BCDE ,BC ? 平面 BCDE, ∴AF⊥平面 BCDE,∴AF⊥FD,又∵AF∩FE=F,∴FD⊥平面 AFE, 又 FD ? 平面 AFD,故平面 AFD⊥平面 AFE………9′ 【解】 (3) VABCDE ? VA? BCDE ? 21. 【解】 f ?( x) ?

1 1 1 S BCDE ? AF = ? ?1 ? 2? ? 2 2 ? 2 =2………13′ 3 3 2

1 ? 2x ? a . x (1)由已知得: f ?(1) ? 0 ,∴ 1 ? 2 ? a ? 0 ,∴ a ? 3 .………3′ a a2 2( x ? ) 2 ? 1 ? 2 1 2 x ? ax ? 1 4 8 , (2)当 0 ? a ? 2 时, f ?( x) ? ? 2 x ? a ? ? x x x
因为 0 ? a ? 2 ,所以 1 ?

故 f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数.………………………8 分 (3)当 a ? (1, 2) 时,由(2)知, f ( x ) 在[1,2]上的最小值为 f (1) ? 1 ? a , 故问题等价于:对任意的 a ? (1, 2) ,不等式 1 ? a ? m ln a 恒成立.即 m ? 记 g (a) ?

a2 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 ,而 x ? 0 ,即 f ?( x) ? ?0, 8 x

1? a ?a ln a ? 1 ? a , (1 ? a ? 2 ) ,则 g ?(a) ? ,…………………………10 分 ln a a ln 2 a 令 M (a) ? ?a ln a ?1 ? a ,则 M ?(a) ? ? ln a ? 0 所以 M (a) ,所以 M (a) ? M (1) ? 0 ……………………………………………………11 分 1? a 1? 2 ? ? log 2 e 故 g ?(a ) ? 0 ,所以 g ( a ) ? 在 a ? (1, 2) 上单调递减所以 m ? g (2) ? ln a ln 2 即实数 m 的取值范围为 (??, ? log2 e] .………………………………………………13 分
22. 【解】 (1) m ? 2 ,C :
m ? 2 ,C : x2 y2 ? ? 1 ,以 N,P 为焦点的椭圆 m2 m2 ? 4

1? a 恒成立 ln a

2分

x2 y2 4分 ? ? 1 ,以 N,P 为焦点的双曲线 m2 4 ? m2 x2 (2)由(1)曲线 C 为 ? y 2 ? 1 , 5 设 E( x0 , 0 ) ,分别过 E 取两垂直与坐标轴的两条弦 CD, C ?D ? ,



1 EC
2

?

1 ED
2

?

1 EC ?
2

?

1 ED?
2

,即

2 ? 2 x0 1? 5

1 5 ? x0
2

?

1 1 ? 5 ? x0
2

解得 x0 ? ? 下证 ( ?

30 30 ,所以 E 若存在必为 ( ? , 0 ) 定值为 6. 3 3

(6 分)

30 , 0 ) 满足题意。 3

设过点 E (

30 30 ,代入 C 中得: , 0 ) 的直线方程为 x ? ty ? 3 3 2 30 5 ( t 2 ? 5 )y 2 ? ty ? ? 0 ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 3 3 20 30t 5 y1 ? y2 ? ? , y1 ? y2 ? ? (8 分) 3( t 2 ? 5 ) 3( t 2 ? 5 )

5

1 EA
?
2

?

1 EB
2

?

1 1 1 1 1 ? ? ( 1? 2) 2 2 ( 1 ? t 2 )y1 ( 1 ? t 2 )y2 ( 1 ? t 2 ) y2 y2

2 2 y1 ? y2 ( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 1 1 ? 2 2 2 2 ( 1 ? t ) y1 y2 (1? t ) ( y1 y2 )2

2 30t 2 5 ) ?2 2 2 1 3( t ? 5 ) 3( t ? 5 ) ? ?6 5 (1? t2 ) 2 ( ) 3( t 2 ? 5 ) (

(13 分)

30 , 0 ) 也满足题意. 3 1 1 30 ? ? 6. (14 分) 综上得定点为 E ( ? , 0 ) ,定值为 2 2 3 EA EB

同理可得 E ( ?

6


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