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立体几何中的轨迹问题(经典压轴)

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1. (经典关门压轴题)正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,在正方体表面上与点 A 距

离是

2 3 的点形成一条曲线,这条曲线的长度是( ) 3
B.

A.

3 ? 3

3 ? 2

C.

3?

D.

5 3 ? 6

2. 四棱锥 P ? ABCD 底面为正方形,侧面 PAD 为等边三角形,且侧面 PAD ? 底面 ABCD , 点 M 在底面正方形 ABCD 内运动,且满足 MP ? MC ,则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹 一定是 ( B )

P

D

C

D

C

D

C

D

C

D M A 第 1 题图 B

C A B A B A B A B

A.

B.

C. E

D.

3.如图,在棱长为 4 的正方体 ABCD ? A?B?C?D? 中,E、F 分别是 AD、 A?D? 的中点,长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在线段 EF 上运动,另一个端点 N 在底面 A?B?C?D? 上运动,则线段 MN 的中点 P 的轨 迹(曲面)与二面角 A ? A?D? ? B? 所围成的几何体 的体积为 D A. B

A

D

C M

A?
N

P F

D?

4? 3

B.

2 ? 3

C.

? 6

D.

? 3

B?

C?

4. 如图,在长方形 ABCD 中,AB= 3 ,BC=1,E 为线段 DC 上一动点,现将 ? AED 沿 AE 折 起,使点 D 在面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上,当 E 从 D 运动到 C,则 K 所形成轨迹的 长度为 ( )

A.

3 2

B.

2 3 3

C.

? 2

D.

? 3

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D

E

C
D'

D E K B C

A

B

A

12 解:由题意,将△AED 沿 AE 折起,使平面 AED⊥平面 ABC,在平面 AED 内过点 D 作 DK⊥AE,K 为垂足,由翻折的特征知,连接 D'K,则 D'KA=90° ,故 K 点的轨迹是以 AD'为直径的圆上一弧,根据长方 形知圆半径是

1 2

AK=

1 2

取 O 为 AD′的中点,得到△OAK 是正三角形.故∠K0A=

2? ? ,,∴∠K0D'= 3 3

D D' K B A
其所对的弧长为

E

C

1 2? ? 2 3

解:由题意,此问题的实质是以 A 为球心,

2 3 为半径的球为半径的球 3

在正方体 ABCD-A1B1C1D1 各个面上交线的长度计算,正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类: ABCD、 AA1DD1、 AA1BB1 为过球心的截面, 截痕为大圆弧, 各弧圆心角为

? , A1B1C1D1、 B1BCC1、 D1DCC1 6

为与球心距离为 1 的截面,截痕为小圆弧,由于截面圆半径为 r=

? 3 ,故各段弧圆心角为 2 3

5. (四川省资阳市 2009—2010 学年度高三第三次高考模拟理)在四面体 ABCD 中,已知 DA ? DB ? DC ? 1 ,且 DA、DB、DC 两两互相垂直,在该四面体表面 2 3 上与点 A 距离为 的点形成一条曲线, 则这条曲线的长度是 ( D ) 3

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3 ? 3 5 3 (C) ? 6
(A)

(B) 3? (D)

3 ? 2

设 DB 上点 E,DC 上点 F 到点 A 距离是 2√3/3 则 DE=DF=√3/3,曲线是以 D 为圆心,r=√3/3 为半径的弧 圆心角 EDF=90 度,弧长为=2πr/4=√3*π/6
追问

答案是=√3*π/2 少算了几段弧长
回答

是的,这是在面 DCB 上, 在面 ACB 上,是以 A 为圆心,r=2√3/3 为半径的弧 ,圆心角 BAC=60 度, 弧长为=2πr/6=2√3*π/9 AE=2√3/3 DA=1, DE=√3/3, 角 DAE=30 度 角 BAE=15 度 在面 DAB 上和 DAC,是以 A 为圆心,r=2√3/3 为半径的弧 ,圆心角 BAE=15 度,(两段) 弧长为=2*πr/12=√3*π/9 这条曲线长度是=√3*π/6 +2√3*π/9+√3*π/9 =√3*π/2
6.正方体 ABCD-A1B1C1 D1 中,M 为 CC1 的中点,P 在底面 ABCD 内运动,且满足∠DPD1 =∠CPM,则点 P 的轨迹为 A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 c 双曲线的一部分 D.抛物线的一部分

7.已知三棱锥 A ? BCO , OA、OB、OC 两两垂直且长度均为 6,长为 2 的线段 MN 的 一个端点 M 在棱 OA 上运动,另一个端点 N 在 ?BCO 内运动(含边界) ,则 MN 的中点 P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为( )非常容易错选 A

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A.

? 6

C. 36 ?

?
6

? ? 或 36 ? 6 6 ? ? D. 或 36 ? 6 6
B.


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