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安徽省合肥市第一六八中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学理试题


高二年级第一学期期中考试数学(理科)试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 1. 下列命题正确的是( )

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 D.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 2. 设 ?、? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? // ? ,则 l ? ? B.若 l // ? , ? // ? ,则 l ? ? D.若 l // ? , ? ? ? ,则 l ? ? ) )

1 mx ? ny ? 1 ? 0 平行于直线: 4x ? 3 y ? 5 ? 0 , 3. 已知直线 l : 且 l 在 y 轴上的截距为 , 则 m, n 的值分别为 ( 3 A.4,3 B.-4,3 C.-4,-3 D.4,-3 ) D.60+ 12 5 )

4. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( A.28+6 5 B.30+6 5

C.56+12 5

5.经过点 P(1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为( A.x+2y-6=0 B.2x+y-6=0 C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0

6. 正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 6,底面边长为 4,则该球的表面积为( A.

)

44 ? 3

B.

484 ? 9

C.

81 ? 4

D. 16?

7.已知 0 ? x ? 1 , 0 ? y ? 1,则 x 2 ? y 2 ? x 2 ? (1 ? y ) 2 ? (1 ? x) 2 ? y 2 ? (1 ? x) 2 ? (1 ? y ) 2 的最小值为() A. 2 2 B.

2

C.

D.8

8.如图,在三棱柱 ABC ? A ' B ' C ' 中,若、分别为 AB 、 AC 的中点,平面 EB ' C ' F 将三棱柱分成体积 为 V1 、 V2 的两部分,那么 V1 : V2 为( A.3:2 B.7:5 ) C.8:5 D.9:5

C' A' V1 F A E
第12题

B' C B
题8图 题4图

V2

9.设 m ? R ,过定点 A 的动直线 x ? m y ? 0 和过定点 B 的动直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 交于点 P( x, y ) ,则

| PA | ? | PB | 的取值范围是(
A. [ 5,2 5 ]

) C. [ 10,4 5 ]
1

B. [ 10,2 5 ]

D. [2 5,4 5 ]

10.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a、b 是关于 x 的方程 x +x+c=0 的两个实数根 1 且 0≤c≤ ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( 8 1 2 A. , 2 4 B. 2, 2 2 C. 2, 1 2 ) D. 2 1 , 2 2

2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 )

题 12 图



13 图

题 14 图

11.直线 l:ax+(a+1)y+2=0 的倾斜角大于 45°,则 a 的取值范围是________________. 12.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图,边 AB 平行于 y 轴,BC,AD 平行于 x 轴.已知四边形 ABCD 的 面积为 2 2 cm ,则原平面图形的面积为________________. 13.已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所示,其中四边形 ABCD 是边长为 2 cm 的正方形,则 这个正四面体的主视图的面积为______________cm . 14.如图所示,在三棱锥 D ?ABC 中,已知 BC⊥AD,BC=2,AD=6, AB+BD=AC+CD=10,则三棱锥 D 的体积的最大值是______________. 15.在平面直角坐标系中,如果与 y 都是整数,就称点 ( x, y ) 为整点,下列命题中正确的是_____________(写出 所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点; ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点; ④如果 k 与 b 都是有理数,则直线 y ? kx ? b 经过无穷多个整点; ⑤存在恰经过一个整点的直线. 三 、解答题(本大题共 6 题,计 75 分。) 16.(本题 12 分).已知 E、F、G、H 为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点, 且EH∥FG.求证:EH∥BD.
B F D G C E A H
2 2

?ABC

17.(本题 12 分) 在 ?ABC 中, BC 边上的高所在的直线的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,? A 的平分线所在直线的方程 为 y ? 0 ,若点的坐标为 (1, 2) ,求点和点 C 的坐标.

2

18.(本题 12 分)如图, 在锥体 P ? ABCD 中, 且 ?DAB ? 60 , ABCD 是边长为 1 的菱形, PA ? PD ? 2 , PB ? 2, E , F
?

分别是 BC, PC 的中点. (1) 证明: AD ? 平面DEF (2)求二面角 P ? AD ? B 的余弦值.

19. (本题 12 分) 已知直线 l : y ? 3x ? 3 . (1)求点 P(5,3) 关于直线 l 的对称点 P ' 的坐标; (2)求直线 l1:x ? y ? 2 ? 0 关于直线 l 的对称直线 l 2 的方程。 (3)已知点 M (2,6) ,试在直线 l 上求一点 N 使得 | NP | ? | NM | 的值最小。

3

20. (本题 13 分)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是棱 AP, AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由.

21. (本题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,

P

PA ? 底面 ABCD , AB ? AD, AC ? CD, ?ABC ? 60?,
PA ? AB ? BC , 是 PC 的中点.
(1)证明 CD ? AE ; (2)证明 PD ? 平面 ABE ; (3)求二面角 A ? PD ? C 的正切值.
A C B E

D

4

高二年级第一学期期中考试数学(理科)试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 1. 下列命题正确的是( )

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 D.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 答案:D 2. 设 ?、? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? // ? ,则 l ? ? 答案:C 1 mx ? ny ? 1 ? 0 平行于直线: 4x ? 3 y ? 5 ? 0 , 3. 已知直线 l : 且 l 在 y 轴上的截距为 , 则 m, n 的值分别为( 3 A.4,3 答案:C 4. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( A.28+6 5 C.56+12 5 答案:B B.30+6 5 D.60+ 12 5 ) B.-4,3 C.-4,-3 D.4,-3 ) B.若 l // ? , ? // ? ,则 l ? ? D.若 l // ? , ? ? ? ,则 l ? ? )

5.经过点 P(1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为 ( A.x+2y-6=0 C.x-2y+7=0 答案 B B.2x+y-6=0 D.x-2y-7=0 )

6. 正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 6,底面边长为 4,则该球的表面积为( A.

)

44 ? 3

B.

484 ? 9

C.

81 ? 4

D. 16?

答案:B 7.已知 0 ? x ? 1 , 0 ? y ? 1,则

x 2 ? y 2 ? x 2 ? (1 ? y ) 2 ? (1 ? x) 2 ? y 2 ? (1 ? x) 2 ? (1 ? y ) 2 的 最
为( )

小 值

5

A. 2 2 答案:A

B.

2

C.

D.8

8.如图,在三棱柱 ABC ? A ' B ' C ' 中,若、分别 为 AB 、 AC 的中点,平面 EB ' C ' F 将三棱柱分成体积 为 V1 、 V2 的两部分,那么 V1 : V2 为( A.3:2 C.8:5 B.7:5 D.9:5 )

C' A' V1 F A C E
第12题

B' V2 B

答案:B

9.设 m ? R ,过定点 A 的动直线 x ? m y ? 0 和过定点 B 的动直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 交于点 P( x, y ) ,则

| PA | ? | PB | 的取值范围是(
A. [ 5,2 5 ] 答案:B

) C. [ 10,4 5 ] D. [2 5,4 5 ]

B. [ 10,2 5 ]

10.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a、b 是关于 x 的方程 x +x+c=0 的两个实数根, 1 且 0≤c≤ ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( 8 1 2 A. , 2 4 答案:D 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将正确答案填在答题卷的相应位置。 ) B. 2, 2 2 C. 2, 1 2 ) D. 2 1 , 2 2

2

11.直线 l:ax+(a+1)y+2=0 的倾斜角大于 45°,则 a 的取值范围是________________. 1 答案 (-∞,- )∪(0,+∞) 2

12.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图, 边 AB 平行于 y 轴, 知 四 边 形 ABCD 的 面 积 为 2 2 cm , 则 原 平 面 图 形 的 面 积 为 答案: 8 cm
2 2

BC, AD 平行于 x 轴. 已 ________________.

13.已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所示,其中 为 2 cm 的正方形,则这个正四面体的主视图的面积为________cm . 答案:2 2
2

四边形 ABCD 是边长

6

14.如图所示,在三棱锥 D ?ABC 中,已知 BC⊥AD,BC=2,AD=6, AB+BD=AC+CD=10,则三棱锥 D 的体积的最大值是________.

?ABC

(第 14 题图) 答案:2 15 15.在平面直角坐标系中,如果与 y 都是整数,就称点 ( x, y ) 为整点,下列命题中正确的是_____________(写出 所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点; ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点; ④如果 k 与 b 都是有理数,则直线 y ? kx ? b 经过无穷多个整点; ⑤存在恰经过一个整点的直线. 【答案】①③⑤

三 、解答题(本大题共 6 题,计 75 分。请将正确答案写在答题卷的相应位置)

16.(本题 12 分).已知 E、F、G、H 为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点, 且EH∥FG. 求证:EH∥BD.
A E B F H D G C

7

证明:? EH ? FG, EH ? 面 BCD , FG ? 面 BCD

? EH ?面 BCD
又? EH ? 面 BCD ,面 BCD ? 面 ABD ? BD ,

? EH ? BD

17.(本题 12 分) 在 ?ABC 中, BC 边上的高所在的直线的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,? A 的平分线所在直线的方程 为 y ? 0 ,若点的坐标为 (1, 2) ,求点和点 C 的坐标. 17. 解:解直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 和直线 y ? 0 的交点得 (?1, 0) ,即的坐标为 (?1, 0) , ∴ ∴

k AB ?

2?0 ?1 1?1

,又∵轴为 ?BAC 的平分线,

k AC ? ?k AB ? ?1 ,又∵直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 为 BC 边上的高,由垂直得, kBC ? ?2
,设 C 的坐标为 ( a, b) ,则 ,即 C 的坐标为 (5, ?6) .

b b?2 ? ?1, ? ?2 , a ?1 a ?1

解得

a ? 5, b ? ?6

18.(本题 12 分)如图, 在锥体 P ? ABCD 中, 且 ?DAB ? 60 , ABCD 是边长为 1 的菱形, PA ? PD ? 2 , PB ? 2, E , F
?

分别是 BC, PC 的中点. (1) 证明: AD ? 平面DEF (2)求二面角 P ? AD ? B 的余弦值.

解答: (1)证明:取 AD 的中点 G,连结 PG、BG. PA=PD, ADPG. 在 ABG 中, GAB= 60 0 ,AG= 1 ,AB=1, AGB= 90 0 ,即 ADGB.
2

又 PGGB=G, AD 平面 PGB,从而 ADPB.
E , F 分别是 BC, PC 的中点, EF//PB,从而 ADEF.

又 DE//GB,ADGB, ADDE, DEEF=E,
AD ? 平面DEF .

8

2 0 (2)由(1)知 PGB 是所求二面角的平面角.在 PGB 中, PG = ( 2 ) 2 ? ( 1 ) 2 ? 7 ,BG=1sin60 = 3 ,PB=2.

2

4

2

2 2 2 由余弦定理得 cosPGB= PG ? BG ? PB = 4 4

7 ? 3 ?4

2 PG ? BG

7 3 2? ? 2 2

? ? 21 , 7

即所求二面角 P-AD-B 的余弦值为 ?

21 . 7

19. (本题 12 分) 已知直线 l : y ? 3x ? 3 . (1)求点 P(5,3) 关于直线 l 的对称点 P ' 的坐标; (2)求直线 l1:x ? y ? 2 ? 0 关于直线 l 的对称直线 l 2 的方程。 (3)已知点 M (2,6) ,试在直线 l 上求一点 N 使得 | NP | ? | NM | 的值最小。 19. (1)设点P的对称点为

P ?( a , b) ,则

? b?3 ? a ? 5 ? 3 ? ?1 ?b ? 3 ?a ? ?4 a?5 ? ? 3? ?3 ? b?6 (?4,6) 2 ? 2 ,解得: ? ,即点 P? 的坐标为

5 ? x ? ? ? 2 ? x ? y ? 2 ? 0 ? 5 9 9 ?y ? ? ? ( ? , ? ) l1 l 3x ? y ? 3 ? 0 ? ? 2 2 2 (2)解方程组 得 ,即两直线 与 的交点坐标为

因为直线

l1 l2 l 与 关于直线 l 对称,所以直线 2 必过点

(?

5 9 ,? ) 2 2

又由(1)可知,点

P(5,3) 恰好在直线 l1 上,且其关于直线 l 的对称点为 P?(?4,6) ,

l 所以直线 2 必过点
即 7 x ? y ? 22 ? 0

P?(?4,6) ,这样由两点式可得:

9 5 x? 2 ? 2 9 5 6? ?4? 2 2 y?

9

(3) N (1,6) 20. (本题 13 分)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是棱 AP, AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q, 到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由. 20.解答 (1)证明 因为 D,E 分别是 AP,AC 的中点, 所以 DE∥PC. 又因为 DE?平面 BCP, 所以 DE∥平面 BCP. (2)证明 因为 D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的中点, 所以 DE∥PC∥FG, DG∥AB∥EF. 所以四边形 DEFG 为平行四边形. 又因为 PC⊥AB, 所以 DE⊥DG. 所以四边形 DEFG 为矩形. (3)解 存在点 Q 满足条件,理由如下: 连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点, 由(2)知,DF∩EG=Q, 1 且 QD=QE=QF=QG= EG. 2 分别取 PC,AB 的中点 M,N,连接 ME,EN,NG,MG,MN. 与(2)同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线交点为 EG 的中点 Q, 1 且 QM=QN= EG, 2 所以 Q 为满足条件的点.[13 分] [7 分] [8 分] [3 分]

21. (本题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,

PA ? 底面 ABCD , AB ? AD, AC ? CD, ?ABC ? 60?,
PA ? AB ? BC , 是 PC 的中点.
(1)证明 CD ? AE ; (2)证明 PD ? 平面 ABE ; (3)求二面角 A ? PD ? C 的正切值.
A 10

P

E

D C B

21. (1)证明:∵PA⊥底面 ABCD,CD 平面 ABCD ∴PA⊥CD 又 AC⊥CD,ACPA=A ∴CD⊥平面 PAC,又 AE 平面 PAC ∴CD⊥AE (2)证明: ∵PA⊥底面 ABCD,AB 平面 ABCD ∴PA⊥AB 又 AD⊥AB,ADPA=A ∴AB⊥平面 PAD,又 PD 平面 PAD ∴AB⊥PD 由 PA=AB=BC,∠ABC=60 则△ABC 是正三角形 ∴AC=AB ∴PA=PC ∵E 是 PC 中点 ∴AE⊥PC 由(1)知 AE⊥CD,又 CDPC=C ∴AE⊥平面 PCD ∴AE⊥PD 又 AB⊥PD,ABAE=A ∴PD⊥平面 ABE (3)过 E 点作 EM⊥PD 于 M 点连结 AM 由(2)知 AE⊥平面 PCD ∴AM⊥PD ∠AME 是二面角 A-PD-C 的正切值 设 AC=a ………………(8 分)
o

………………(3 分) )

AD ? PA ? a

2 a 3 PD ? 4 7 ?1 ? 3 3

在 Rt⊿AEM 中

11

AM ?

PA ? AD ? PD 2 a 2

a?

2 a 3 ? 2 a 7 7 a 3

AE ?

EM ? AM 2 ? AE 2 ?

4 1 8?7 1 ? a? a? a 7 2 14 14

2 a AE 1 2 tan ?AME ? ? ? ? 14 ? 7 EM 2 1 a 14

………………14 分

12


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