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高中数学第二章圆锥曲线与方程2_2_2椭圆的几何性质二课件新人教B版选修2_1_图文

第二章 2.2 椭圆 2.2.2 椭圆的几何性质(二) 学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质. 2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 点与椭圆的位置关系 x2 2 判断点P(1,2)与椭圆 4+y =1的位置关系. 答案 思考1 当x=1时,得y2= 3 3 3 ,故y=± ,而2> ,故点在椭圆外. 4 2 2 思考2 类比点与圆的位置关系的判定,你能给出点P(x0,y0)与椭圆 x2 y2 2+ 2=1 (a>b>0)的位置关系的判定吗? a b 答案 2 x2 y 0 0 当 P 在椭圆外时,a2+b2>1; 2 x2 y 0 0 当 P 在椭圆上时,a2+b2=1; 2 x2 y 0 0 当 P 在椭圆内时,a2+b2<1. 梳理 x2 y2 设P(x0,y0),椭圆 2+ 2=1(a>b>0),则点P与椭圆的位置关系如下表所示: a b 位置关系 P在椭圆外 P在椭圆上 满足条件 a 2 2 x 0 y0 2+ 2>1 b 2 x2 y 0 0 a2+b2=1 2 x2 y 0 0 2+ 2<1 a b P在椭圆内 知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系? 答案 有三种位置关系,分别是相交、相切、相离. 思考2 x2 y2 如何判断y=kx+m与椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的位置关系? a b 答案 ?y=kx+m, ? 联立?x2 y2 ? 2+ 2=1, b ?a 消去 y 得关于 x 的一元二次方程,则 解的个数 Δ的取值 位置关系 相交 相切 两解 一解 Δ>0 Δ=0 相离 无解 Δ<0 梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法 将直线的方程和椭圆的方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二 次方程.若Δ>0,则直线和椭圆 相交 ;若Δ=0,则直线和椭圆 相切 ;若 Δ<0,则直线和椭圆 相离 . (2)根与系数的关系及弦长公式 x2 y2 设直线l:y=kx+m(k≠0,m为常数)与椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)相交,两 a b 个交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦, 线段AB的长度叫做 弦长 .下面我们推导弦长公式:由两点间的距离公式, 得|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2,将 y1=kx1+m,y2=kx2+m 代入上式,得 |AB| = ?x1-x2?2+?kx1-kx2?2 = ?x1-x2?2+k2?x1-x2?2 = 1+k2 |x1 - x2| , 而|x1-x2|= ?x1+x2?2-4x1x2,所以|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2,其中 x1+x2 与 x1x2 均可由根与系数的关系得到. (3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的,判断直线和椭圆相交 可利用Δ>0. x y 例如,直线l:y=k(x-2)+1和椭圆 + =1.无论k取何值,直线l恒过 16 9 定点(2,1),而定点(2,1)在椭圆内部,所以直线l必与椭圆相交. 2 2 题型探究 类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断 命题角度1 点与椭圆位置关系的判断 例1 x2 y2 已知点P(k,1),椭圆 + =1 ,点在椭圆外,则实数k的取值 9 4 3 3 3 3 ( - ∞ ,- ) ∪ ( ,+ ∞ ) 范围为___________________________. 2 2 答案 解析 k2 1 依题意得, 9 +4>1, 3 3 3 3 解得 k<- 2 或 k> 2 . 引申探究 若将本例中P点坐标改为“(1,k)”呢? 解答 1 k2 依题意得,9+ 4 >1, 2 32 解得 k > 9 , 4 2 4 2 即 k<- 3 或 k> 3 . 反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时,紧扣判定条件,然后转化为解不等 式等问题,注意求解过程与结果的准确性. x2 y2 跟踪训练1 已知点(3,2)在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上,则 a b A.点(-3,-2)不在椭圆上 B.点(3,-2)不在椭圆上 C.点(-3,2)在椭圆上 答案 解析 D.以上都不正确 9 4 由已知得a2+b2=1,只有选项 C 符合该条件. 命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断 x2 y2 例2 (1)直线y=kx-k+1与椭圆 + =1的位置关系是 2 3 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 答案 解析 直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),且该点在椭圆内部,因此必 与椭圆相交. (2)在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,2 )且斜率为k的直线l与椭圆有 x2 2 + y = 1 两个不同的交点 P 和 Q . 求 k 的取值范围 . 2 解答 x 由已知条件知直线 l 的方程为 y=kx+ 2,代入椭圆方程得 2 +(kx+ 2)2=1. ?1 ? ? 2? 2 整理得?2+k ?x +2 2kx+1=0. ? ? ?1 ? ? 2? 2 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 Δ=8k -4?2+k ?=4k2-2>0, ? ? 2 2 2 解得 k<- 2 或 k> 2 . 即k ? ? 的取值范围为?-∞,- ? ? 2 ? 2? ? ? ? ∪? ,+∞?. 2? ? ? 2 ? 反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程,消元得到一元二次方程 (1)Δ>0?直线与椭圆相交?有两个公共点. (2)Δ=0?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点. (3)Δ<0?直线与椭圆相离?无公共点. 跟踪训练2 x2 y2 (1)已知直线l过点(3,-1),且椭圆C: + =1,则直线l 25 36 与椭圆C的公共点的个数为 A.

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