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【二轮精品】2014届高考数学(理科)二轮专题复习权威课件(安徽专用):专题四 数列(2专题)


专题四





第9讲 第10讲

等差数列、等比数列 数列求和及数列的简单应用

核 心 知 识 聚 焦 命 题 考 向 探 究 命 题 立 意 追 溯
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第9讲 等差数列、等比数列

第9讲
核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列

体验高考
1.[2012· 江西卷改编] 设数列{an}, ① {bn}都是 等差数列 ,若 a1+b1=7,a3+ b3=21,则 a5+b5=________.

主干知识
? 等差 数列的概念与 通项 关键词: 等差数列、通 项公式,如①.

[答案]

35

[ 解 析 ] 根据 等 差数列 的 定义可 知,a1+b1,a3+b3,a5+b5 也是等差 数列.

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第9讲
核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列

体验高考
2 . [2012· 辽宁卷改编 ] 在等差 数列{an}中,已知 a4+a8=16② ,则 a2+a10=________.
[答案] 16

主干知识
? 等差数列 项的性质 关键词:等差 数列、项的性质, 如②.

[解析] a2+a10=a4+a8=16.

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第9讲
核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列

体验高考
3 . [2012· 重庆卷改编 ] 在等差 数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an} 的 前10项和③ S10=________.
[答案] 80

主干知识
? 等差数列 求和公式 关键词:等差 数列、和,如③.

[解析] 由已知可得 a1=-1, d=2, 所以 S10=-10+10×9=80.

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第9讲
核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列

体验高考 4 . [2013· 新课标全国卷改编 ] 2 1 若数列{an}的前 n 项和 Sn=3an+3, 则 {an} 的 通项公式④ 是 an = ________.
[答案] (-2)n-1

主干知识
? 等比数列 概念与通项 关键词:等比 数列、通项公式, 如④.

2 1 2 1 [解析] 因为 Sn=3an+3①, 所以 Sn-1=3an-1+3(n≥2)②, 2 2 ①-②得 an=3an-3an-1(n≥2),即 an=-2an-1(n≥2),又因 2 1 为 S1=a1= a1+ ?a1=1,所以数列{an}是以 1 为首项,-2 3 3 为公比的等比数列,所以 an=(-2)n-1.
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第9讲
核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列

体验高考 5 . [2013· 广东卷改编 ] 若等比 1⑤ 数列 {an} 满足 a2a4=2 ,则 a1a 2 3 a5 =________.
1 [答案] 4
[解析] 所以 1 2 a1a5=a2a4=a3= , 2 2 4

主干知识
? 等比数列 项的性质 关键词:等比 数列、项的性质, 如⑤.

12 1 2 a1a3a5= = .

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第9讲
核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列

体验高考
6 . [2013· 全国卷改编 ] 已知数 4 列{an}满足 3an+1+an=0,a2=-3, ⑥ 则{an}的 前10项和 等于________.
[答案] 3(1-3-10)

主干知识
? 等比数列 求和公式 关键词:等比 数列、和,如⑥.

an+1 [解析] 由 3an+1+an=0,得 an≠0(否则 a2=0)且 a = n 1 1 - ,所以数列{an}是公比为- 的等比数列,代入 a2 可得 3 3 110 4×1--3 110 a1=4,故 S10= =3×1- =3(1-3-10). 1 3 1+3
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第9讲

等差数列、等比数列

—— 基础知识必备 ——
12.数列、等差数列和等比数列
按照一定的次序排列的 一列数. 分有穷、 无穷、 概念 递增、递减、摆动、常 一般 数数列等 数列 通项公 数列 {an} 中的项用一个 {an} 式 公式表示:an=f(n) 前n项 Sn=a1+a2+?+an 和

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第9讲

等差数列、等比数列

累加 an+1=an+f(n)型 法 累乘 an+1=anf(n)型 简单 法 的递 an+1=pan+q· pn+1(p≠0, 转化 推数 an+1 an 法 1,q≠0)? n+1= n p +q 列解 p 法 a + = can + d(c≠0 , 1 , 待定 n 1 d≠0) ? an + 1 + λ = c(an + 系数 λ).比较系数得出 λ,转 法 化为等比数列

解 决递推 数列 问题 的 基本思 想是 “转 化”, 即转化为两类 基 本 数 列 —— 等 差 数列、等比数列

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第9讲

等差数列、等比数列

满足 an+1-an=d(d 为常数),d>0 时,{an}递 概念 增,d<0 时,{an}递减,d=0 时,{an}为常数 数列 am + an = ap + aq ? m + 等差 通项公 an = a1 + (n - 1)d = am n=p+q, 数列 式 +(n-m)d am + an = 2ap ? m + n = {an} 2p n(n-1) S = na + d S ,S -S ,S - 1 前n项 n 2 m 2m m 3m n(a1+an) 和公式 S2m,?为等差数列 = 2

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第9讲

等差数列、等比数列

满足 an+1∶an=q(q 为非零常数),单调性由 a1 的正负,q 的范围确定 a m a n = a pa q ? m + n = p 通项 an=a1qn-1=amqn-m +q, 公式 等比 aman=a2 p?m+n=2p 数列 {an} 前n 公比不等于-1 时, S m, 项和 S2m-Sm,S3m-S2m,? 公式 成等比数列 概念

注:表中 m,n,p,q 均为正整数.

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第9讲

等差数列、等比数列

命 题 考 向 探 究

? 考向一 数列的一般问题 考向:数列的性质(单调性、最值),数列的通项与前 n 项和 的关系,简单的递推数列等. 例1 [2013· 辽宁卷] 下面是关于公差 d>0 的等差数列 an 的 四个命题: p1:数列 an 是递增数列;p2:数列 nan 是递增数列; ?an? p3:数列? n ?是递增数列; ? ? p4:数列 an+3nd 是递增数列. 其中的真命题为( ) A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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第9讲

等差数列、等比数列

[答案] D
[解析] 因为数列{an}中 d>0,所以{an}是递增数列,则 p1 为真命题.而数列{an+3nd}也是递增数列,所以 p4 为真 命题,故选 D.
小结:欲知数列的单调性,可计算 an+1-an,判断其 符号,为正则数列递增,为负则数列递减.也可利用函数 的单调性,但要注意自变量取整数.

命 题 考 向 探 究

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第9讲

等差数列、等比数列

变式题 已知函数

数列{an}满足 an=f(n)(n∈N*)且{an}是递减数列,则实数 a 的 取值范围是________________.
命 题 考 向 探 究

? ?(1-3a)x+10a(x≤6), f(x)=? x-7 若 ? ?a (x>6),

1 5 [答案] <a< 3 8

1 [解析] 只要 1-3a<0,0<a<1,f(6)>f(7)即可,即3<a<1 1 5 且 6-8a>1,即3<a<8.

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第9讲

等差数列、等比数列

命 题 考 向 探 究

? 考向二 高考中等差(等比)数列的常见基本问题 考向: 等差数列的概念、 通项与求和, 等比数列的概念、 通项与求和,以及与此相关的一些问题. 例 2 (1)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则下列选项 中一定成立的是( ) A.若 a1>0,则 a2013<0 B.若 a2>0,则 a2014<0 C.若 a1>0,则 S2013>0 D.若 a2>0,则 S2014>0 (2)[2013· 新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为________.

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第9讲

等差数列、等比数列

[答案] (1)C

(2)-49

命 题 考 向 探 究

[解析] (1)a2013=a1q2012,当 a1>0 时,a2013>0,选项 A 的结论不成立;同理当 a2>0 时 a2014=a2q2012>0,选项 B 的 结论不成立;当公比 q=1 时,显然选项 C 的结论成立,当 a1(1-q2013) q≠1 时,S2013= ,当 q<0 时,1-q2013>0,1 1-q -q>0,此时 S2013>0,当 0<q<1 时,1-q2013>0,1-q>0, 此时 S2013>0,当 q>1 时,1-q2013<0,1-q<0,此时 S2013>0, 故选项 C 的结论成立; 当 a1=-1, q=-1 时, 满足 a2=1>0, 但此时 S2 014=0,选项 D 中的结论不一定成立.

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第9讲

等差数列、等比数列

命 题 考 向 探 究

10 2 (2)由已知,a1+a10=0,a1+a15= 3 ?d=3,a1=-3, n3-10n2 所以 nSn= , 易得 n=6 或 n=7 时, nSn 出现最小值. 当 3 n=6 时,nSn=-48;n=7 时,nSn=-49.故 nSn 的最小值 为-49.
小结:等差数列、等比数列问题的基本解法是 “基本 量”方法, 即通过已知条件求出等差数列的首项和公差、 等 比数列的首项和公比, 其他的问题都可以使用基本量表达从 而加以解决.

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第9讲

等差数列、等比数列

变式题

(1)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满

命 题 考 向 探 究

S8 足 =17,则其公比 q=( ) S4 1 1 A.2 B.±2 C.2 D.±2 (2)已知等差数列{an}满足 a2+a4=4, a5=4a3, 则数列 {an}的前 10 项的和等于( ) A.23 B.95 C.135 D.138

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第9讲

等差数列、等比数列

[答案] (1)D

(2)B

命 题 考 向 探 究

1-q8 [解析] (1)根据已知得 即 q8-17q4+16=0, 解 4=17, 1-q 得 q4=1(舍去)或 q4=16,所以 q4=16,解得 q=± 2. (2)根据等差数列的性质得 a2+a4=2a3=4,得 a3=2,进 而 a5=8,所以公差 d=3,所以 a1=-4,所以 S10=-4×10 10×9 + ×3=-40+135=95. 2

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第9讲

等差数列、等比数列

? 考向三 等差(等比)数列的判断与证明 考向:判断(证明)一个数列是等差数列或者是等比数 列.
命 题 考 向 探 究

例 3 (1)已知等比数列{an}的公比为 q,记 bn=am(n-1) cn=am(n-1)+1· am(n-1)+2· ?· am(n +1+am(n-1)+2+?+am(n-1)+m, * ) -1)+m(m,n∈N ),则以下结论中一定正确的是( A.数列{bn}为等差数列,公差为 qm B.数列{bn}为等比数列,公比为 q2m C.数列{cn}为等比数列,公比为 qm2 D.数列{cn}为等比数列,公比为 qmm 2 (2)在数列{an}中,a1=3,且对任意的 n∈N*都有 an+1 ?1 ? 2an = .求证:数列?a -1?是等比数列. an + 1 ? n ?
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第9讲

等差数列、等比数列

[答案] (1)C
[解析] 取 an=1,q=1,则 bn=m,cn=1,排除 A; 取 an=1,q=-1,m 取正偶数,则 bn=0,排除 B; cn+1 amn+1·amn+2·?·amn+m cn =am(n-1)+1·am(n-1)+2·?·am(n-1)+m= qm·qm·?·qm,\s\do4(共 m 个))=qm2, 故选 C.

命 题 考 向 探 究

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第9讲

等差数列、等比数列

命 题 考 向 探 究

an+1 1-an 2an 1 (2)证明: 由 an+1= , 得 -1= 2a -1= 2a = an+1 an+1 n n 11 2 1 1 1 1 - 1. 又由 a = ,得 - 1 = ≠ 0 ,因此数列 - 1 是以 为 1 an 2an 3 a1 2 2 1 首项,2为公比的等比数列.
小结:判断数列是否为等差数列、等比数列的基本方法 是定义法.在判断一个数列是否为等比数列时,要注意数列 的首项是否为零,其次有时需要分公比等于 1 和不等于 1 进 行讨论.

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第9讲

等差数列、等比数列

命 题 考 向 探 究

变式题 (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an-1(a 是不 为 0 的常数),那么数列{an}( ) A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列或者是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 1 1 (2)已知数列{an}是首项为 a1=4,公比 q=4的等比数 1 列.设 bn+2=3log an(n∈N*).求证:数列{bn}是等差数列. 4

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第9讲

等差数列、等比数列

[答案] (1)C
[解析] 当 n=1 时可得 a1=a-1,当 n≥2 时可得 an - - =an-an 1=(a-1)an 1,a1 也适合这个式子,故数列{an} 的通项公式是 an=(a-1)an-1.当 a=1 时该数列的各项都是 零,此时数列{an}为等差数列,当 a≠1 时,数列{an}为等 比数列. 1n n-1 (2)证明:由已知可得 an=a1q =4 , 11 bn+2=3log n=3n, 44 ∴bn=3n-2. ∵bn+1-bn=3, ∴数列{bn}为等差数列.
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命 题 考 向 探 究

第9讲

等差数列、等比数列

命 题 考 向 探 究

? 考向四 等差(等比)数列的综合 考向:综合考查等差数列、等比数列的基本量计算, 在数列的综合问题中应用等差数列、等比数列的性质等. 例 4 已知等差数列{an}的公差 d=1,前 n 项和为 Sn. (1)若 1,a1,a3 成等比数列,求 a1; (2)若 S5>a1a9,求 a1 的取值范围.
解:(1)因为等差数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等 2 比数列,所以 a2 1=1×(a1+2),即 a1-a1-2=0,(3 分) 解得 a1=-1 或 a1=2.(6 分) (2)因为等差数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9,所以 5a1 2 +10>a2 + 8 a ,即 a 1 1 1+3a1-10<0,(10 分) 解得-5<a1<2.(13 分)

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第9讲

等差数列、等比数列

命 题 考 向 探 究

【答题步骤】 第一步:根据 1,a1,a3 成等比数列,建立关于 a1 的方 程求 a1. 第二步:根据 S5>a1a9 建立关于 a1 的不等式求 a1 的取值 范围.

小结:等差数列、等比数列的综合问题的解题关键仍然 是“基本量”方法,其通过方程或者方程组求出数列的基本 量,然后再解决后续问题.

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第9讲

等差数列、等比数列

—— 推理论证能力 ——
[等差数列、等比数列的存在探索与证明] 1. 存在探索性问题是高考考查数学能力的良好素材, 高考重视存在探索性问题的考查. 存在探索性问题的基本 解法是:先假设其存在,在这个假设下,进行推理论证或 计算, 当得出符合数学规律的最后结论时, 肯定其存在性, 否则就不存在. 2.等差数列、等比数列的存在探索性问题,其解法 与一般的存在探索性问题的解法相比, 特殊性在于数列中 的项数是正整数,在解题中注意这个特点.

命 题 立 意 追 溯

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第9讲

等差数列、等比数列

命 题 立 意 追 溯

示例 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且对任意正 整数 n,点(an+1,Sn)在直线 3x+2y-3=0 上. (1)求数列{an}的通项公式; ? λ? n+3n?为等差数列? (2)是否存在实数 λ,使得数列?Sn+λ· ? ? 若存在,求出λ 的值;若不存在,说明理由. 解:(1)由题意可得 3an+1+2Sn-3=0, ① n≥2 时,3an+2Sn-1-3=0, ② ①-②得 3an+1-3an+2an=0,整理得 an+1 1 an =3(n≥2),又∵a1=1, 1 ∴数列{an}是首项为 1,公比为3的等比数列, ?1?n-1 ∴an=?3? . ? ?
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第9讲

等差数列、等比数列
? ?1?n? 3?1-?3? ? ? ? ? ?

(2)由(1)知 Sn=

2



命 题 立 意 追 溯

3 λ=2, ? 3(n+1) ?3(n+1)? ? 3 3 3 ? ? 又 λ= 时, Sn + · n+ , 显然 n= 2 2 2 ? ? 2 2·3 ? ? 成等差数列, ? λ? 3 故存在实数 λ=2,使得数列?Sn+λ ·n+3n?成等差数列. ? ?

? λ? n+3n?为等差数列,则 若?Sn+λ· ? ? ? 19 ? 4 82 ? ? S + λ 2 2 9 =S1+3λ +S3+27λ ,得 ? ?

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第9讲

等差数列、等比数列

小结:本题的特点是先从特殊的情况得出 λ 值,在这 个 λ 值下,一般结论也成立,这是解决含有参数的等差数 列、 等比数列证明的一个重要方法, 其实质是一般与特殊 的数学思想方法的运用, 也是合情推理与演绎推理的有机 结合.

命 题 立 意 追 溯
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第9讲

等差数列、等比数列

1 已知数列{an}满足 a1=- ,1+a1+a2+?+ 2 an-λan+1=0(λ≠0 且 λ≠-1,n∈N*). (1)若 a2 2=a1·a3,求数列{an}的通项公式 an; (2)在(1)的条件下, 数列{an}中是否存在三项构成等差数 列?若存在,请求出此三项;若不存在,请说明理由. 跟踪练
命 题 立 意 追 溯
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第9讲

等差数列、等比数列

命 题 立 意 追 溯

1 解: (1)令 n=1, 得到 a2= , 令 n=2, 可得到 a3= 2λ 2λ 1 2 + ,由 a 2=a1·a3,计算得 λ=-2. 2λ2 由 1+a1+a2+?+an-λan+1=0,可得 1+a1+a2+?+an-1-λan=0(n≥2),所以有(1+λ)an- λan+1=0(n≥2),又 λ=-2, 1+λ 1 得到 an+1= λ an=2an(n≥2), 故数列{an}从第二项起是 等比数列. 1 1 1 ?1?n-2 ? ? 又因为 a2= =-4, 所以 n≥2 时, an=-4· = 2 2λ ? ? 1 1 1 -2n,又 a1=-2满足 an=-2n, 1 所以数列{an}的通项公式是 an=-2n.
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1

第9讲

等差数列、等比数列

命 题 立 意 追 溯

(2)假设数列{an}中存在三项 am,ak,ap 成等差数列, 不妨设 m>k>p≥1,因为数列{an}单调递增, ? 1? 1 1 所以 2ak=am+ap,即 2×?-2k?=-2m-2p, ? ? 1 1 1 - + - 化简得 k-1= m+ p, 两边同乘 2m 可得 2m k 1=2m p+1, 2 2 2 若此式成立,必有 m-p=0 且 m-k+1=1, 故有 m=p=k,与假设 m>k>p 矛盾, 所以数列{an}中不存在三项构成等差数列.

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第9讲

等差数列、等比数列

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 为简单的递推数列, 可在数列的一般 问题考向中作为备用.例 2 是等差数列等比数列的综合, 可作为等差数列与等比数列综合考向的补充.例 3 是数列 与不等式的综合,可在本讲结束时使用.
例 1 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+ 1(n≥1),则数列{an}的通项公式是________.

[答案] an=3n

-1

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第9讲

等差数列、等比数列

[ 解析 ] (1) 方法一:由 an + 1 = 2Sn + 1 可得 an = 2Sn - 1 + 1(n≥2),两式相减得 an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2). 又 a2=2S1+1=3,所以 a2=3a1,故{an}是首项为 1,公 比为 3 的等比数列,所以 an=3n-1. 方法二:由于 an+1=Sn+1-Sn,an+1=2Sn+1,所以 Sn+1- ? 1? 1 ? Sn=2Sn+1, Sn+1=3Sn+1, 把这个关系化为 Sn+1+ =3 Sn+2?, 2 ? ? ? 1? 1 3 ? ? 即得数列 Sn+2 为首项是 S1+ = ,公比是 3 的等比数列, 2 2 ? ? 1 3 1 n 1 n 1 n-1 故 Sn+2=2×3 =2·3 ,故 Sn=2·3 -2.所以,当 n≥2 时, - an=Sn-Sn-1=3n 1,当 n=1 时 a1=1 也适合这个公式,故所 - 求的数列{an}的通项公式是 an=3n 1.

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第9讲

等差数列、等比数列
例2

已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 a1,a3,a4 成等 S3-S2 比数列,Sn 为{an}的前 n 项和,则 的值为________. S5-S3

[答案] 2
[解析] 设公差为 d,则(a1+2d)2=a1(a1+3d),即 a2 1+4a1d S3-S2 a3 2 2 +4d =a1+3a1d,解得 a1=-4d(舍去 d=0).故 = S5-S3 a4+a5 -4d+2d = =2. -4d+3d-4d+4d

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第9讲

等差数列、等比数列

例 3 等差数列{an}的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,满 足 2S2=a2(a2+1),且 a1=1. (1)求数列{an}的通项公式; 2Sn+13 (2)设 bn= n ,求数列{bn}的最小值项.
2 解:(1)由 2S2=a2 2+a2,可得 2(a1+a1+d)=(a1+d) +(a1+

d). 又 a1=1,可得 d=1 或 d=-2(舍去).故数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列,所以 an=n.

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第9讲

等差数列、等比数列
n(n+1) (2)根据(1)得 Sn= , 2 2Sn+13 n(n+1)+13 13 bn= n = =n+ n +1. n 13 由于函数 f(x)=x+ x (x>0)在(0, 13)上单调递减, 在[ 13,+∞)上单调递增,而 3< 13<4, 13 22 88 且 f(3)=3+ = = , 3 3 12 13 29 87 f(4)=4+ = = , 4 4 12 29 33 所以当 n=4 时,bn 取得最小值,且最小值为 4 +1= 4 . 33 即数列{bn}的最小值项是 b4= 4 .
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核 心 知 识 聚 焦 命 题 考 向 探 究 命 题 立 意 追 溯
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第10讲 数列求和及数列的 简单应用

第10讲
核 心 知 识 聚 焦

数列求和及数列的简单应用

体验高考
1. [2013· 重庆卷] 已知{an}是等 差数列,a1=1,公差 d≠0,Sn 为其 前 n 项和,若 a1,a2,a5 成等比数 ① 列,则 S8= .
[答案] 64
[解析] 设数列{an}的公差为 d, 由 a1,a2,a5 成等比数列,得(1+d)2 =1· (1+4d),解得 d=2 或 d=0(舍 8×(8-1) 去),所以 S8=8×1+ × 2 2=64.

主干知识
? 公式求和 关键词:等差 数列求和、等比数 列求和,如①.

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第10讲
核 心 知 识 聚 焦

数列求和及数列的简单应用

体验高考
2 . [2012· 福建卷改编 ] 已知数 nπ 列{an}的通项公式为 an=ncos 2 , 其 前 n 项 和 为 Sn , 则 ② S2 012= .
[答案] 1 006

主干知识
? 分组求和 关键词: 分组、 求和,如②.

nπ [ 解析 ] 由 an = ncos 2 ,可得 S2012 = 1×0 - 2 × 1 + 3×0 + 4×1 +?+2012×1=-2+4-6+?- 2 010+2012=2×503=1 006.
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第10讲
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数列求和及数列的简单应用

体验高考 3 . [2013· 浙江卷改编 ] 在数列 {an} 中,已知 an=11-n③ ,则其绝 对 值 的 前 n 项 和 Sn = ____________________.
? ?n(21-n),1≤n≤11, 2 ? [答案] ? 2 ?n -21n+220 ,n≥12 ? 2 ?

主干知识
? 分段求和 关键词:通项 公式、分段、求和, 如③.

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数列求和及数列的简单应用

[解析] 分 n≤11 和 n≥12 两种情况分段求和. 当 n≤11 n(21-n) 时, 由等差数列求和公式得 Sn= , 当 n≥12 时, 2 |an| = n - 11 , 结 合 等 差 数 列 求 和 公 式 可 得 Sn = ? ?n(21-n),1≤n≤11, 2 ? n2-21n+220 ,所以 Sn=? 2 2 ?n -21n+220 ,n≥12. ? 2 ?

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数列求和及数列的简单应用

体验高考
4 . [2012· 全国卷改编 ] 已知等 差数列{an}的前 n 项和为 Sn, a5=5, ? ? 1 ? ?④ ? S5=15,则数列 a a ? 的前 100 ? ? n n+1? ? 项和为________.
100 [答案] 101

主干知识
? 裂项求和 关键词:通项 公式、裂项、求和, 如④.

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数列求和及数列的简单应用

?a1+4d=5, ? [解析] 由 a5=5, S5=15 可得? 可解 5×4 5a + d=15, ? 2 ? 1 ? ?a1=1, 1 1 1 1 ? 得 ?an=n,所以 = =n- , ? a a n ( n + 1 ) n + 1 n n+1 ?d=1 1 1 1 1 1 1 100 S100=1-2+2-3+?+100-101=1-101=101.

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体验高考
5 . [2012· 江西卷改编 ] 已知数 列{an}的通项公式是 an=n· 2n⑤ ,则 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Tn = ________________.
[答案] 2+(n-1)· 2n
+1

主干知识
? 错位相减 求和 关键词:乘以 公比、错位相减、 等比数列求和,如 ⑤.

[解析] Tn=2+2· 22+3· 23+?+n·2n,① 2Tn=1· 22+2· 23+3· 24+?+(n-1)· 2n+n· 2n+1,② ①-②得-Tn=2+22+23+?+2n-n· 2n+1, 整理可得 Tn=2+(n-1)· 2n+1.

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体验高考
6 . [2012· 湖南卷改编 ] 某公司 一下属企业从事某种高科技产品的 生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元,将其投入生产,到当年 年底资金增长了 50%.预计以后每年 资金年增长率与第一年的相同.公 司要求企业从第一年开始,每年年 底上缴资金 d 万元,并将剩余资金 全部投入下一年生产.设第 n 年年 底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万 元 , 则 an+1与a⑥ n 的 关 系 式是 ________________.

主干知识
? 数列的应 用 关键词:实际 应用题、数列、递 推关系式,如⑥.

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第10讲 数列求和及数列的简单应用
核 心 知 识 聚 焦

3 [答案] an+1=2an-d
[解析] 第 n+1 年年底的资金为 an(1+50%), 上 3 缴资金 d 万元后剩余资金 an+1=an(1+50%)-d=2an -d.

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数列求和及数列的简单应用

—— 基础知识必备 ——
13.数列求和及数列的简单应用

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数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

? 考向一 分组转化求和法 考向:把数列求和转化为几组分别求和,分段后求和,分类 后求和等. 例 1 在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),且 a1a3=4,a3+1 是 a2 和 a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=an+1+log2an(n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

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数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

解:(1)由 an>0 可知公比 q>0,则可得 2 ? ? ?a1a3=4, ?a2=4, ? ?? ? ? ? ?2(a3+1)=a2+a4 ?2(a3+1)=a2+a4 ? ? ?a2=2, ?a2=2, ? ?a1=1, ? ? ?? 2? ? ? ? ?2(a2q+1)=a2+a2q ?q=2 ?q=2, 故 an=2n-1.

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数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

(2)∵bn=an+1+log2an=2n+(n-1),∴Sn=(21+22+23 n 2 ( 1 - 2 ) n + ? + 2 ) + [0 + 1 + 2 + ? + (n - 1)] = + 1-2 n(n-1) n+1 n(n-1) =2 + -2. 2 2
小结:主要是将数列{bn}求和问题转化为等差数列和 等比数列求和问题.

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数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

? 考向二 裂项相消求和法 考向:通过对数列的通项公式的分解(裂项),使之产生 相互抵消的项,达到数列求和的目的. x 例 2 已知函数 f(x)= ,数列{an}满足 a1=1,an+1 x+3 =f(an)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式 an; 3n (2)若数列{bn}满足 bn= anan+1,Sn=b1+b2+?+bn, 2 1 求证:Sn< . 2

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数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

1 3 an 解:(1)由已知 an+1= ,取倒数得 = +1, an+3 an+1 an ?1 1? 1 1 1 1 变形为 +2=3a +2,所以数列?a +2?是首项为 an+1 ? n ? n 1 1 3 + = ,公比为 3 的等比数列,(3 分) a1 2 2 n 1 1 3 3 - 所以a +2=2×3n 1= 2 ,(5 分) n 2 所以 an= n .(6 分) 3 -1

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数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

2×3n 1 (2)证明:由(1)知 bn= = (3n-1)(3n+1-1) 3n-1 1 - n +1 , 3 -1 (9 分) 1 1 1 所以 Sn = b1 + b2 + ? + bn = 1 - + - 3 -1 32-1 32-1 1 1 1 1 1 1 +?+ n - + = - + < . 33-1 3 -1 3n 1-1 2 3n 1-1 2 (13 分)

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数列求和及数列的简单应用

【答题步骤】
?1 1? 第一步:变换已知的数列递推式,得出数列?a +2?为 ? n ?

命 题 考 向 探 究

等比数列,求出其通项公式,通过解方程的方法得出数列 {an}的通项公式. 第二步:利用裂项方法求和,放缩得出所证不等式.

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数列求和及数列的简单应用

方法指导

15.常见的裂项方法
裂项方法 1 11 1 =kn- n(n+k) n+k 1 1 1 1 = - 4n2-1 22n-1 2n+1 1

命 题 考 向 探 究

数列 1 ? ? ? ? ?n(n+k)?
? 1 ? ? 2 ? ?4n -1? ? ? ?
? ? ? ? ?

? ? n+ n+1?

1

= n+1- n n+ n+1 1 loga1+n=loga(n+1)-logan

? 1? loga1+n? (a>0,a≠1) ? ?

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数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

小结: 裂项求和的基本思想是把数列的通项分解为两 项的差,即 an=bn+1-bn 的形式,在求数列{an}的前 n 项 和时就出现了相互抵消的项,最后的结果是两项 (或者四 项)的和差.

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数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

n2 1 变式题 已知数列{an}的前 n 项和 Sn= ,若 a1=2, an+b 5 a2=6. (1)求数列{an}的通项公式; an (2)设 bn= 2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n +n-1

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数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

1 1 1 解:(1)由 S1=a1=2,得 = ; a+b 2 4 由 S2=a1+a2=3, ? ? ?a+b=2, ?a=1, 4 4 n2 得 =3,∴? 解得? 故 Sn= . ? ? 2a+b n + 1 2 a + b = 3 , b = 1 , ? ? (n-1)2 n2 当 n≥2 时 , an = Sn - Sn - 1 = - = n n+1 n3-(n-1)2(n+1) n2+n-1 = 2 . n(n+1) n +n n2+n-1 n2+n-1 1 由于 a1=2也适合 an= 2 ,∴an= 2 . n +n n +n

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数列求和及数列的简单应用

1 1 1 an (2)bn= 2 = = - , n +n-1 n(n+1) n n+1
命 题 考 向 探 究

1 ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=b1+b2+?+bn-1+bn=1- 2 1 1 1 1 1 1 1 n +2-3+?+ -n+n- =1- = . n-1 n+1 n+1 n+1

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数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

? 考向三 错位相减求和法 考向:在等差数列、等比数列的混合问题中,出现一个 等差数列与一个等比数列对应项相乘后的新数列,这个数列 的求和使用乘以等比数列的公比后,错位相减的方法. 例 3 已知数列{an}满足 a1=1,且 an=2an-1+2n(n≥2 且 n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; Sn (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 Sn,并证明: n>2n- 2 3.

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数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

解:(1)∵an=2an-1+2n(n≥2 且 n∈N*), an an-1 ∴ n= n-1+1, 2 2 an an-1 即2n- n-1=1(n≥2,且 n∈N*), 2 1 an ∴数列2n是等差数列,公差 d=1,首项为2, 1 an 1 于是2n=2+(n-1)· 1=n-2, 1 ∴an=n-2·2n.

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数列求和及数列的简单应用
1 3 1 1 2 (2)由(1)得 Sn= ·2 + ·2 +?+n- ·2n,① 2 2 2 1 3 5 1 + 2Sn=2·22+2·23+2·24+?+n-2·2n 1,② 1 + 2 3 n ①-②得-Sn=1+2 +2 +?+2 -n-2·2n 1 1 =2+22+23+?+2n-n-2·2n+1-1 2(1-2n) 1 = -n-2·2n+1-1 1-2 =(3-2n)· 2n-3. ∴Sn=(2n-3)· 2n+3. ∵Sn=(2n-3)· 2n+3>(2n-3)· 2n, Sn ∴2n>2n-3.
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命 题 考 向 探 究

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数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

小结:错位相减求和的方法非常机械,其适用的范围就 是一个等差数列与一个等比数列对应项相乘后得出的数列的 求和,注意相减后得出 n+1 项和式的结构,特别要注意两种 情况:(1)第 1 项到第 n 项组成等比数列;(2)第 1 项到第 n 项 不能组成等比数列,但第 2 项到第 n 项能组成等比数列.

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数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

? 考向四 数列的简单应用 考向:数列在解决实际问题中的应用. 例 4 某校高一学生 1000 人,每周一次同时在两个可容纳 600 人的会议室开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏”的本校课程.要求每 个学生都参加,且第一次听“音乐欣赏”课的人数为 m(400<m<600,其余的人听“美术鉴赏”课;从第二次起,学生可 从两个课中自由选择.据往届经验,凡是这一次选择“音乐欣赏” 的学生,下一次会有 20%改选“美术鉴赏”,而选“美术鉴赏”的 学生,下次会有 30%改选“音乐欣赏”,用 an,bn 分别表示在第 n 次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数. (1)若 m=500,分别求出第二次、第三次选“音乐欣赏”课的 人数 a2,a3; (2)①证明数列{an-600}是等比数列,并用 n 表示 an; ②若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过 5 800,求 m 的取值范围.
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数列求和及数列的简单应用
解:(1)由已知 an+bn=1 000,又 a1=500, 所以 b1=500. a2=0.8a1+0.3b1=550,b2=450. a3=0.8a2+0.3b2=575. (2)①由题意得 an+1=0.8an+0.3bn, 又 an+bn=1000, 所以 an+1=0.8an+0.3(1000-an)=0.5an+300. an+1-600=0.5an-300=0.5(an-600). 由于 a1=m∈(400,600),所以 a1-600≠0.

命 题 考 向 探 究

1 所以数列{an-600}是首项为 m-600,公比为 的等比数 2 1 列.所以 an-600=(m-600)×2n-1, 1n-1 即 an=600+(m-600)× . 2
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数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

②前十次听“音乐欣赏”课的学生总人次即为数列{an} 的前 10 项和 S10. 1 1-210 S10 = 600×10 + (m - 600)× = 6000 + (m - 1 1- 2 1023 600)× . 512 1023 由已知 S10≤5800,即 6000+(m-600)× ≤5800, 512 200×512 1023 即 200≤(600-m)× 512 ,即 600-m≥ 1023 , 200×512 即 m≤600- ≈499.9,故 m≤499. 1023 所以 m 的取值范围是(400,499]且 m∈N*.
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数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

小结:解决数列实际应用问题的关键是把实际问题随着 正整数变化的量用数列表达出来,然后利用数列知识对表达 的数列进行求解(求和、研究单调性、最值等),根据求解结 果对实际问题作出答案.

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数列求和及数列的简单应用

—— 运算求解能力 ——
[数列证明问题中的运算] 1.在数学证明中,证明过程往往是以计算为主的, 即通过计算的结果达到证明的目的,这说明运算求解能 力在数学证明中具有重要地位.典型的是函数导数试题 中不等式的证明、数列问题中不等式的证明. 2. 数列中的证明问题有等式的证明、 不等式的证明、 数列性质的证明等,在数列的证明问题中计算是完成证 明的关键,运算求解能力是数列证明的核心.
命 题 立 意 追 溯
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第10讲

数列求和及数列的简单应用

示例 [2013· 江西卷] 正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足: 2 2 S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; n+1 (2)令 bn= 2,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,证明: (n+2)2an 5 对于任意的 n∈N*,都有 Tn<64.
2 2 解:(1)由 S2 - ( n + n - 1) S - ( n +n)=0,得 n n [Sn-(n2+n)](Sn+1)=0. 由于{an}是正项数列,所以 Sn>0,Sn=n2+n. 于是 a1=S1=2,n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2 -(n-1)=2n. 综上,数列{an}的通项为 an=2n.

命 题 立 意 追 溯

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数列求和及数列的简单应用

命 题 立 意 追 溯

n+1 (2)证明:由于 an=2n,bn= 2, (n+2)2an ? 1 n+1 1? ?1 ? - 2 则 bn = 2 . 2 2= (n+2) ? 4n (n+2) 16? ?n ? 1 1 1 1 1 1 1? ? Tn=16?1-32+22-42+32-52+?+(n-1)2- ? ? 1 1 1 1 1 1 ? + - 2 = 16 1 + 22 - - (n+1)2 n (n+2)2? (n+1)2 ? 1? 5 1 1? ?1+ 2?= . 2< 2 ? 64 (n+2) 16?

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数列求和及数列的简单应用

小结:本题第二问裂项的依据是(n+2)2-n2=4(n+1), 能快速找到这个方法,需要考生熟练掌握数学运算.在数列 前 n 项和的不等式证明中有两个基本思路: 一是先求和再放 缩,其前提是数列求和能够完成;二是有的数列的前 n 项和 很难求,甚至无法求,这时需要先对通项进行放缩 (放缩后 便于求和),再求和,再放缩,达到证明的目的.
命 题 立 意 追 溯
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数列求和及数列的简单应用

跟踪练 [2013· 陕西卷] 设{an}是公比为 q 的等比数列. (1)推导{an}的前 n 项和公式; (2)设 q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
解:(1)设{an}的前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=a1+a2+?+an=na1; - 当 q≠1 时,Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn 1,① qSn=a1q+a1q2+?+a1qn,② ①-②,得(1-q)Sn=a1-a1qn, a1(1-qn) ∴Sn= , 1-q ?na1,q=1, ? ∴Sn=?a1(1-qn) ,q≠1. ? 1-q ?
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命 题 立 意 追 溯

第10讲

数列求和及数列的简单应用
(2)假设{an+1}是等比数列,则对任意的 k∈N+, (ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1), 即 a2 k+1+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1, 2k k k-1 k+1 k-1 k+1 即 a2 q + 2 a q = a q · a q + a q + a q , 1 1 1 1 1 1 ∵a1≠0, ∴2qk=qk-1+qk+1. ∵q≠0, ∴q2-2q+1=0, ∴q=1,这与已知矛盾, ∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.

命 题 立 意 追 溯

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数列求和及数列的简单应用

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 是数列与不等式的综合,综合度较 高,例 2 是数列的实际应用,也有一定的难度,这两个例 题可在适当的考向中使用.
例 1 设曲线 C:x2-y2=1 上的点 P 到点 An(0,an)的距离 的最小值为 dn,若 a1= 2,an+1= 2dn,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 * (2)是否存在常数 M,使得对?n∈N ,都有不等式a3+a3 1 2 1 +?+ 3<M 成立?请说明理由. an

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数列求和及数列的简单应用

解:(1)设点 P(x,y),则 x2-y2=1, 所以|PAn|= x2+(y-an)2=
2 ? an?2 2+an 2? y - 2 ? + 2 , ? ?

an 因为 y∈R,所以当 y= 时,|PAn|取得最小值 dn, 2 2+a2 n 且 dn= 2 , 1 又 an+1= 2dn,即 dn= an+1, 2 2+a2 2+a2 1 1 n n 将 dn= an+1 代入 dn= 得 an+1= , 2 2 2 2 2 2 两边平方得 a2 n+1-an=2,又 a1=2, 2 故数列{a2 公差为 2 的等差数列, 所以 a2 n}是首项为 a1=2, n=2n, 因为 an+1= 2dn>0 且 a1>0, 所以 an= 2n.
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数列求和及数列的简单应用

1 , 2· k3 1 1 1 当 k≥2 时 , 3 < = = 2 k (k -1)k (k-1)k(k+1) 1 1 · . k (k-1)(k+1) 1 2 2 因为 = < = k+1- k-1, k 2 k k - 1+ k + 1 1 1 1 所以 · < ( k+1 - k (k-1)(k+1) (k-1)(k+1) 1 1 k-1)= - , k-1 k+1 1 1 1 所以 3< - , k k -1 k +1

1 (2)因为 3= ak 2

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数列求和及数列的简单应用
? ? ? ?

1 n ? k3 < ? k=2 k=2
n n

1 1 ? 1 1 1 1 ? - = 1 + - - <1 + , k -1 k +1 ? k 2 2 k+1 ?

1? 1 1 1 n 1 1 1 ? 2 ? ? 1 1 + 所以 ? 3= + < + = + . ? 3 ? ? 4 a 2 2 2 2 2 2 k 2 2 2 2 ? ? i i=1 k=2 1 2 1 1 1 * 故存在常数 M=4+ 2 , 对?n∈N , 都有不等式a3+a3+?+a3 1 2 n <M 成立.

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数列求和及数列的简单应用

例 2 某企业去年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原 因,企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造,预测 从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元, 今年初该企业一次 性投入资金 600 万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资 ? 1? ? 金的情况下,第 n 年(今年为第一年)的利润为 500 1+2n?万元(n ? ? 为正整数). (1)设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计 纯利润为 An 万元,进行技术改造后的累计纯利润为 Bn 万元(扣 除技术改造资金),求 An,Bn 的表达式; (2)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技 术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润?

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数列求和及数列的简单应用

解:(1)依题意知,数列{An}是一个以 500 为首项,-20 为 n(n-1) 公差的等差数列,所以 An=480n+ ×(-20)=490n- 2 10n2, ? ? ? 1? 1? 1? Bn=500?1+2?+500?1+22?+?+500?1+2n?-600 ? ? ? ? ? ? ?1 1 1? =500n+500?2+22+?+2n?-600 ? ? 1? ?1?n? ?1-? ? ? 2? ?2? ? =500n+500× -600 1 1-2 500 =500n- 2n -100.

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500 2 n -100>490n-10n , 2

(2)依题意得 Bn>An,即 500n-

50 2 可化简得 2n <n +n-10, 50 所以可设 f(n)= 2n ,g(n)=n2+n-10. 又因为 n∈N*,所以可知 f(n)是减函数,g(n)是增函数, 50 50 又 f(3)= 8 >g(3)=2,f(4)=16<g(4)=10, 则 n=4 时不等式成立,即 4 年.

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