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高三数学文科综合测试题(1)

1

高三数学文科综合测试题(1)

高三数学文科综合测试题(1) 第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的. 1.函数

y ? log 2 ( x2 ? 1) 的定义域是 (
B.

) C. ( ?1,1) ( ) C. 2? D. 4? ) D. (??, ?1) ? (1, ??)

A. (1, ??)

(??, ?1)

2.函数 A.

y ? sin x ? 3 cos x 的周期为

? 2

B. ?

3.已知数列 {an } 是公差为 2 的等差数列,且 a1 , a2 , a5 成等比数列,则为 a2 ( A.-2 B.-3 C.2 D.3 ( )

4.若函数 A.1

f (x) 的反函数 f ?1 ( x) ? 1 ? x 2 ( x ? 0),则f (2) ?
B.-1 C.1 和-1

D.5 ( )

5.直线 x ? 2ay ? 1 ? 0 与 (a ? 1) x ? ay ? 1 ?

0 平行,则 a 的值为

A.

1 2

B.

1 2

或0

C.0

D.-2 或 0 )

6.在棱长为 1 的正方体 AC1 中,对角线 AC1 在六个面上的射影长度总和是( A.6 B. 6

3

C. 6

2

D. 3

6
( )

7.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个顶点是焦距的一个四等分点,则此双曲线的离心率为 a 2 b2
B.3 C.2 D.

A.

1 2

3 2


?x ? 0 ? 8.设实数 x、 y 满足约束条件 ? x ? y ,则 3x ? 2 y 的最大值是( ?2 x ? y ? 1 ?
A.6 B.5 C.

3 2
C.60 种

D.0 ) D.70 种

9.现有 6 个人分乘两辆不同的出租车,每辆车最多乘 4 人,则不同的乘车方案有( A.35 种 B. 50 种

10.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象,由图可知:骑自行车者用了6小时,沿途休息了 1小时,骑摩托车者用了2小时,根据这个函数图象,提出关于这两个旅行者的如下信 息: ①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时; ②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动; ③骑摩托车者在出发了1.5小时后, 追上了骑自行车者; A.①②③ B.①③ C.②③ 其中正确信息的序号是 ( D.①② )

2

高三数学文科综合测试题(1)


二、填空题:本大题共 5 个小题,共 25 分,将答案填写在题中的横线上. 11.将一个容量为 m 的样本分成 3 组,已知第一组的频数为 8,第二、三组的频率为 0.15 和 0.45,则 m= 12.已知 cos? 13.设

??

4 ? ? , ? ? ( ,? ) ,则 tan( ? ? ) 等于 5 2 4

. .

f ( x)(x ? R) 是以3为周期的周期函数,且为奇函数,又 f (1) ? 1, f (2) ? a, 那么
6

a的取值范围是

14.在 (1 ? x)

(1 ? x ? x 2 ) 的展开式中, x 3 的系数是

(用数字作答) .

15.对于不同的直线 m , n 和不同的平面 ? , ? ,给出下列命题:



m ??? ?? n?m?

n ∥α



m ??? ?? n ?? ?

n ∥m



m ??? ? n ? ? ? ? m 与 n 异面 ? // ? ? ?




? ?? ? ? ? ? ? ? n? ? m ? ?
n?m ? ?

其中正确的命题序号是 ..

班级:
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 二、填空题答题卡(每小题 5 分,共 25 分) 11._________________ 13._________________ 15._________________ 1 2 3

高三数学综合测试题(1) 文科试卷 姓名: 第Ⅱ 卷
4 5 6 7 8

学号:

9

10

12._________________ 14._________________

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, (1)求 sin

AB ? 2 , BC ? 1 , cos C ?

3 . 4

A 的值;

(2)求 BC ? CA 的值.

17. (本小题满分 12 分)在人寿保险业中,要重视某一年龄的投保人的死亡率,经过随机抽样统计,得到某城市 1 个投保人能活到 75 岁 的概率为 0.60,试问: (1)3 个投保人都能活到 75 岁的概率; (2)3 个投保人中只有 1 人能活到 75 岁有概率; (3)3 个投保人中至少有 1 人能活到 75 岁的概率.

18. (本小题满分 12 分)如图,在长方体 (1)证明: D1E

ABCD ? A1B1C1D1 中, AD ? AA1 ? 1, AB ? 2 ,点 E 是棱 AB 上的动点.

? A1D ;

3
0

高三数学文科综合测试题(1)

(2)若二面角 D1 ? EC ? D 为 45 时,求 EB 的长.

D1

C1 B1

A1
D A E

C B

19. (本小题满分 12 分)设函数

f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c, 过曲线y ? f ( x)上的 点

P(1, f (1)) 的切线方程为 y ? 3x ? 1 .
(1)若

y ? f ( x)在x ? ?2时有极值, 求f ( x) 的表达式; y ? f ( x)在[?3,1] 上的最大值.

(2)在(1)的条件下,求

20.(本小题满分 13 分)数列 {a n } 满足 an 已知 a3

? 3an?1 ? 3n ? 1(n ? N * , n ? 2) ,

? 95 .

(1)求 a1 , a 2 ; (2)是否存在一个实数 t ,使得 bn

?

1 (a n ? t )( n ? N * ), 且 {bn } 为等差数列?若存在,则求出 t 的值;若不存在,请说明理由. n 3

y 2 x2 21. (本小题满分 14 分)如图椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,A 是椭圆 C 的短轴左顶点,过 A 点作斜率为-1 的直线交 a b
椭圆于 B 点,点 P(1,0),且 BP∥y 轴, △APB 的面积为 (1) (2)

9 2

.

求椭圆 C 的方程; 在直线 AB 上求一点 M,使得以椭圆 C 的焦点为焦点,且过 M 的双曲线 E 的实轴最长,并求此双曲线 E 的方程.

y

P A O B

x

4

高三数学文科综合测试题(1)

高三数学综合测试题(1) 文科参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 B 5 A 6 C 7 C 8 B 9 B 10 A

二、填空题: 11. 14.

20
? 11

12.

1 7

13. a

? ?1

15. ②

三、解答题: 16. 解: (1)在 ?ABC 中,由 cos C

?

3 7 ,得 sin C ? 4 4

, 又由正弦定理

AB BC ? sin C sin A

得: sin

A?

14 . 8

?? 4分
3 , 4

(2)由余弦定理: 即b
2

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cos C 得: 2 ? b 2 ? 1 ? 2b ?

3 1 ? b ? 1 ? 0 ,解得 b ? 2 或 b ? ? (舍去) ??8分 ,所以 AC ? 2 . 2 2 ??? ??? ? ? 所以, BC ? CA ? BC ? CA ? cos ? BC, CA ?? BC ? CA ? cos(? ? C ) 3 3 ? 1? 2 ? ( ? ) ? ? . 4 2
17.解: (1) P 3 (2) P 3
(1) (3)

即 BC

? CA ? ?

3 . 2


??12分

? 0.63 ? 0.216

??? 4

1 ? C3 0.6 ? 0.42 ? 0.288

??? 8

分 分

(3) P 3

(1)

? P3( 2) ? P3(3) ? 1 ? P3(0) ? 1 ? 0.43 ? 0.936 ???12

18. 解: (1)在长方体 AC1 中,

AB ? 平面AA1 D1 D,A1 D ? 平面AA1 D1 D

? AB ? A1 D

??1分 ??3分

由侧面AA1 D1 D是矩形,且 ? AA1 ? 1 ? A1 D ? AD1 AD ,

又 ? AD1 ? AB ? A, A1 D ? 平面ABD1。 ? 又D1 E ? 平面ABD1, D1 E ? A1 D ? ??6分

5

高三数学文科综合测试题(1)

(2) 过D作DG ? EC于G,连D1G。对长方体AC1,有DD1 ? 平面ABCD。 由三垂线定理有 1G ? EC, D ? ?D1GD是二面角D1 ? EC ? D的平面角 又 ? 二面角D1 ? EC ? D为45 ,则?D1GD ? 45 .
0 0

?? 9分。

又DD1 ? AA1 ? 1,? DG ? 1. 又矩形ABCD中, DC ? 2,? ?DCE ? 300 ? ?CEB. ? EB ? BC cot 300 ? 3 另法 : 本题用向量法解 证), 参照给分. (
19.解: (1)由函数 过
' 2 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c ,求导数得 f ( x) ? 3x ? 2ax ? b ,

??12分.

y ? f ( x)上点P( ,f( ) 1 1 )的切线方程为:

y ? f (1) ? f ' (1)(x ? 1),即y ? (a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)(x ? 1) ?? 2分
而过y ? f ( x)上点P( ,f( ) 1 1 )的切线方程为: y ? 3 x ? 1, ? 3 ? 2a ? b ? 3 ? 2a ? b ? 0 故? , 即? ?a ? b ? c ? 2 ? 1 ? a ? b ? c ? 3 ?? (1) ?? (2)

? y ? f ( x)在x ? ?2时有极值 故f ' (?2) ? 0,? ?4a ? b ? ?12 ,

??(3)

由(1)(2)(3)相练立解得a ? 2, b ? ?4, c ? 5, f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 5
(2)

??6分

f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 3x 2 ? 4x ? 4 ? (3x ? 2)(x ? 2) ?? 7分
x

[?3,?2)

-2 0 极大

f ?(x) f (x)
有表格或者分析说明

2 (?2, ) 3


2 3
0 极小

2 ( ,1] 3
+

+

f ( x)极大 ? f (?2) ? (?2) 3 ? 2(?2) 2 ? 4(?2) ? 5 ? 13

??10分

f (1) ? 13 ? 2 ?1 ? 4 ?1 ? 5 ? 4 ,? f ( x)在[?3,1] 上最大值为 13
19.解: (1) n

??12分

? 2 时, a2 ? 3a1 ? 32 ? 1 .

n ? 3时, a3 ? 3a2 ? 33 ? 1 ? 95 ,? a2 ? 23
? 23 ? 3a1 ? 8,? a1 ? 5 .
(2)当 n ? 2 时

?? 6分

bn ? bn?1 ?

1 1 1 (an ? t ) ? n ?1 (an ?1 ? t ) ? n (an ? t ? 3an ?1 ? 3t ) n 3 3 3 1 1 ? 2t ? n (3n ? 1 ? 2t ) ? 1 ? n 3 3

6 要使 {bn } 为等差数列,则必需使 1 ? 2t 即存在 t

高三数学文科综合测试题(1)

? 0 ,? t ? ?

1 2

1 ,使 {bn } 为等差数列. ??13分 2 1 9 21.(1) S ?APB ? AP ? PB ? , 又∠PAB=45°,AP=PB,故 AP=BP=3. 2 2 ∵P(1,0) ,A(-2,0) ,B(1,-3) ??? 3 分 ??


y

?b ? 2 ? 2 b=2,将 B(1,-3)代入椭圆得: ? 1 得 a ? 12 , 9 ? b2 ? a 2 ? 1 ?
y 2 x2 ? ?1 12 4
A
.

F2 x

P

所求椭圆方程为

?? 6分
F1

M B

(2)设椭圆 C 的焦点为 F1,F2, 则易知 F1(0,- 2 直线 , 2 )F2(0, 2 2 ) ?? 7分

AB

的方程为: x ?

y ? 2 ? 0 ,因为 M 在双曲线 E 上,要双曲线 E 的实轴最大,只须||MF1|-|MF2||最大,设 F1

(0,- 2

2 )关于直线 AB 的对称点为

' ,则直线 F2 F1 与直线的交点为所求 M, ??10分 F1 ' ( 2 2 -2,-2) '

因为 F2 F1 的方程为:

y ? (3 ? 2 2) x ? 2 2 ? 0 ,联立


? y ? (3 ? 2 2) x ? 2 2 ? 0 ? 得 M( 1, ?3 ) ??12 ? ?x ? y ? 2 ? 0 ?
'

又 2a =||MF1|-|MF2||=||M F1 ' |-|MF2|| ?| F2 F ' | 1 =

(2 2 ? 2 ? 0) 2 ? (?2 ? 2 2) 2

=2

' 6 ,故 amax ? 6, b ' ? 2 ,

故所求双曲线方程为:

y 2 x2 ? ? 1 ??14 6 2



7.由题意可得 c-a=14/*?2c,∴c=2a,∴此双曲线的离心率为 e=c/a=2 故选 C. 9.解:6 人分乘两辆不同的出租车,每辆车最多乘 4 人, 有两种分组方法,即按 2-4 或 3-3 分组, 当按 2-4 分组时,有 C62A22=30 种结果, 当按 3-3 组分时,有
3

C

6 3

C

3

2 A22=20 种结果, 根据分类计数原理知共有 30+20=50 种结果,

7 故答案为 50.

高三数学文科综合测试题(1)

10.解:信息 1:由图象可知骑自行车者在骑摩托车者出发三个小时后才出发的,并比骑摩托车者提早到达一小时 信息 2:根据物理知识可以知道图象表示的是速度曲线,骑自行车者的图象是曲线故表示的是变速运动,骑摩托车者的图象是直线故表示 的是匀速运动. 信息 3:两图象的交点在 4.5h,并且在大于 4.5h 之后骑摩托车者的图象在上方即表示追上了骑自行车者,故骑摩托车者在出发了 1.5h 后 追上了骑自行车者. 所以信息①、②、③都是正确的, 故选 A. 解:画可行域如图,z 为目标函数 z=3x+2y, 可看成是直线 z=3x+2y 的纵截距 1 2 倍, 画直线 0=3x+2y,平移直线过 A(1,1)点时 z 有最大值 5 故选 B.


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