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人教A版数学必修五 2.3《等差数列的前n项和》(第2课时)目标导学


第 2 课时 等差数列的综合应用 1. 复习巩固等差数列的定义、通项公式和前 n 项和公式. 2.掌握等差数列前 n 项和的性质及其应用. 3.能够利用等差数列的前 n 项和公式解决实际应用问题. 等差数列 (1)定义:一般地,如果一个数列从第__项起,每一项与它的前一项的__都等于同一个 常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的____,公差通常用字母 d 表示. (2)公式:数列{an}是公差为 d 的等差数 列,则有 an=a1+______,Sn=na1+________ =________. 【做一做 1-1】 等差数列{an}的公差 d=2,a1=1,则( ) 2 2 A.an=2n,Sn=n B.an=n,Sn=n +n 2 2 C.an=2n-1,Sn=n D.an=2n-1,Sn=n -n 【做一做 1-2】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 S3= 6, a1=4, 则公差 d 等于( ) 5 A.1 B. C.-2 D.3 3 答案:(1)2 差 公差 (2)(n-1)d 【做一做 1-1】 C 【做一做 1-2】 C n(n-1) n(a1+an) d 2 2 等差数列前 n 项和的性质 剖析:数列{an}是公差为 d 的等差数列,其前 n 项和具有下列性质: (1)Sn=a1+a2+…+an, S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n, S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n, 2 则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 是公差为 n d 的等差数列,且有 Sn+S3n-S2n=2(S2n-Sn). Sn,S2n,S3n 不一定成等差数列,这一点要切记! (2)若项数为 2n,则 S 偶-S 奇=a2+a4+a6+…+a2n-a1-a3-a5-…-a2n-1=d+d+…+d=nd, n (a1+a2n-1) S奇 2 2an an = = = . S偶 n 2an+1 an+1 (a2+a2n) 2 (3)若项数为 2n-1,则 n-1 n-1 S 偶=a2+a4+a6+…+a2n-2= (a2+a2n-2)= ×2an=(n-1)an, 2 2 S 奇=a1+a3+a5+…+a2n-1= ×2an=nan, 2 n S 奇-S 偶=nan-(n-1)an=an(这里 an=a 中), S奇 nan n = = . S偶 (n-1)an n-1 (4)如果等差数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则有 (2n-1)(a1+a2n-1) 2 an 2an a1+a2n-1 S2n-1 = = = = . bn 2bn b1+b2n-1 (2n-1)(b1+b2n-1) T2n-1 2 题型一 等差数列前 n 项和的性质应用 【例题 1】 一个等差数列的前 10 项之和为 100,前 100 项之和为 10,求其前 110 项之 和. 2 分析:本题基本解法是求 a1,d 或令 Sn=an +bn,先求 Sn,再求 S110,或利用性质. 反思:(1)利用已知求出 a1,d,然后再求所求的量,是基本解法,有时运算量大些,如 本题解法一. (2)我们也可以利用等差数列前 n 项和的性质,或利用等差数列通项公式的性质,这两 种解法可简化运算,为最优解法,如本题解法三和解法四. 题型二 实际应用问题 【例题 2】 某长江抗洪指挥部接到预报,24 小时后有一洪峰到达.为确保安全,指挥 部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的部队 指战员和当地干 部

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