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高中数学二次函数试题

二、二次函数(命题人:华师附中 郭键)
1.(人教 A 版第 27 页 A 组第 6 题)解析式、待定系数法
若 f ? x? ? x2 ? bx ? c,且 f ?1? ? 0, f ?3? ? 0 ,求 f ??1? 的值.

变式 1:若二次函数 f ? x? ? ax2 ? bx ? c 的图像的顶点坐标为 ?2, ?1? ,与 y 轴的交点

坐标为(0,11),则

A. a ? 1,b ? ?4,c ? ?11

B. a ? 3,b ? 12, c ? 11

C. a ? 3,b ? ?6,c ? 11

D. a ? 3,b ? ?12, c ? 11

变式 2:若 f ? x? ? ?x2 ? ?b ? 2? x ? 3, x ?[b,c] 的图像 x=1 对称,则 c=_______.

变式 3:若二次函数 f ? x? ? ax2 ? bx ? c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 A? x1,0? 、

B? x2,0? ,且

x12

?

x22

?

26 9

,试问该二次函数的图像由

f

?x?

?

?3? x

?1?2 的图像向上平移

几个单位得到?

2.(北师大版第 52 页例 2)图像特征

将函数 f ? x? ? ?3x2 ? 6x ?1配方,确定其对称轴,顶点坐标,求出它的单调区间及最

大值或最小值,并画出它的图像.

变式 1:已知二次函数 f ? x? ? ax2 ? bx ? c ,如果 f ? x1? ? f ? x2 ? (其中 x1 ? x2 ),则

f

? ??

x1

? 2

x2

? ??

?

A. ? b 2a

B. ? b a

C. c

D. 4ac ? b2 4a

变式 2:函数 f ? x? ? x2 ? px ? q 对任意的 x 均有 f ?1? x? ? f ?1? x? ,那么 f ?0? 、

f ??1? 、 f ?1? 的大小关系是

y

A. f ?1? ? f ??1? ? f ?0?

B. f ?0? ? f ??1? ? f ?1?

C. f ?1? ? f ?0? ? f ??1?

D. f ??1? ? f ?0? ? f ?1?

变式 3:已知函数 f ? x? ? ax2 ? bx ? c 的图像如右图所示,

请至少写出三个与系数 a、b、c 有关的正确命题_________.

O

x

3.(人教 A 版第 43 页 B 组第 1 题)单调性

已知函数 f ? x? ? x2 ? 2x , g ? x? ? x2 ? 2x?x?[2, 4]? .

(1)求 f ? x? , g ? x? 的单调区间;(2) 求 f ? x? , g ? x? 的最小值.

变式 1:已知函数 f ? x? ? x2 ? 4ax ? 2 在区间 ???,6? 内单调递减,则 a 的取值范围是

A. a ? 3

B. a ? 3

C. a ? ?3

D. a ? ?3

变式 2:已知函数 f ? x? ? x2 ? ?a ?1? x ? 5在区间(12 ,1)上为增函数,那么 f ?2? 的取

值范围是_________.

变式 3:已知函数 f ? x? ? ?x2 ? kx 在[2, 4] 上是单调函数,求实数 k 的取值范围.

4.(人教 A 版第 43 页 B 组第 1 题)最值
已知函数 f ? x? ? x2 ? 2x , g ? x? ? x2 ? 2x?x?[2, 4]? .

(1)求 f ? x? , g ? x? 的单调区间;(2) 求 f ? x? , g ? x? 的最小值.

变式 1:已知函数 f ? x? ? x2 ? 2x ? 3在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取

值范围是

A.?1, ???

B.?0, 2?

C. ?1, 2?

D.???, 2?

变式 2:若函数 y ? 3 ?x2 ? 4 的最大值为 M,最小值为 m,则 M + m 的值等于________.

变式 3:已知函数 f ? x? ? 4x2 ? 4ax ? a2 ? 2a ? 2 在区间[0,2]上的最小值为 3,求 a 的

值. 5.(人教 A 版第 43 页 A 组第 6 题)奇偶性

已知函数 f ? x? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ≥0 时,f ?x? ? x ?1? x? .画出函数 f ? x?

的图像,并求出函数的解析式.
? ? 变式 1:若函数 f ? x? ? ?m ?1? x2 ? m2 ?1 x ?1是偶函数,则在区间 ???,0? 上 f ? x?

是 A.增函数

B.减函数

C.常数

D.可能是增函数,也可能是常数

变式 2:若函数 f ? x? ? ax2 ? bx ? 3a ? b?a ?1? x ? 2a?是偶函数,则点 ?a,b? 的坐标

是________.

变式 3:设 a 为实数,函数 f (x) ? x2 ? | x ? a | ?1, x ? R .

(I)讨论 f (x) 的奇偶性;(II)求 f (x) 的最小值.
6.(北师大版第 64 页 A 组第 9 题)图像变换

?x2 ? 4x ? 3, ?3 ? x ? 0

已知

f

(x)

?

? ??3x

?

3,

0 ? x ?1.

???x2 ? 6x ? 5,1 ? x ? 6

(1)画出函数的图象;(2)求函数的单调区间;(3)求函数的最大值和最小值.

变式 1:指出函数 y ? ?x2 ? 2 x ? 3的单调区间.

变式 2:已知函数 f (x) ?| x2 ? 2ax ? b | (x ? R) .

给下列命题:① f (x) 必是偶函数;

② 当 f (0) ? f (2) 时, f (x) 的图像必关于直线 x=1 对称;

③ 若 a2 ? b ? 0 ,则 f (x) 在区间[a,+∞ ) 上是增函数;

④ f (x) 有最大值| a2 ? b | .
其中正确的序号是________.③
变式 3:设函数 f (x) ? x | x | ?bx ? c, 给出下列 4 个命题:

①当 c=0 时, y ? f (x) 是奇函数;

②当 b=0,c>0 时,方程 f (x) ? 0 只有一个实根;

③ y ? f (x) 的图象关于点(0,c)对称;

④方程 f (x) ? 0 至多有两个实根.

上述命题中正确的序号为



7.(北师大版第 54 页 A 组第 6 题)值域

求二次函数 f (x) ? ?2x2 ? 6x 在下列定义域上的值域:

? (1)定义域为 x ? Z 0 ? x ? 3?;(2) 定义域为??2,1? .

变式 1:函数 f (x) ? ?2x2 ? 6x ??2 ? x ? 2? 的值域是

A.

? ??20, ?

3

2 2

?
? ?

B. ??20,4?

C.

? ??

?20,

9 2

? ??

D.

? ??

?20,

9 2

? ??

变式 2:函数 y=cos2x+sinx 的值域是__________. 变式 3:已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx(a、b 为常数,且 a ≠ 0),满足条件 f (1 + x) = f (1-x),且方程 f (x) = x 有等根. (1)求 f (x) 的解析式; (2)是否存在实数 m、n(m < n),使 f (x) 的定义域和值域分别为 [m,n] 和 [3m,3n],

如果 存在,求出 m、n 的值,如果不存在,说明理由.
8.(北师大版第 54 页 B 组第 5 题)恒成立问题
当 a,b, c 具有什么关系时,二次函数 f ? x? ? ax2 ? bx ? c 的函数值恒大于零?恒小于
零? 变式 1:已知函数 f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) . (I)若函数 f (x) 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (II)若函数 f (x) 的值域为 R,求实数 a 的取值范围.
变式 2:已知函数 f (x) ? x2 ? ax ? 3 ? a ,若 x ???2,2 ? 时,有 f (x) ? 2 恒成立,求 a
的取值范围. 变式 3:若 f (x) = x 2 + bx + c,不论 ?、? 为何实数,恒有 f (sin ? )≥0,f (2 + cos ? )
≤0. (I) 求证:b + c = -1; (II) 求证: c≥3; (III) 若函数 f (sin ? ) 的最大值为 8,求 b、c 的值. 9.(北师大版第 54 页 B 组第 1 题)根与系数关系
右图是二次函数 f ? x? ? ax2 ? bx ? c 的图像,它与 x 轴交于点 ? x1,0? 和 ? x2,0? ,试确

定 a, b, c 以及 x1x2 , x1 ? x2 的符号.

y

变式 1:二次函数 y ? ax2 ? b 与一次函数 y ? ax ? b(a ? b)
在同一个直角坐标系的图像为

变式 2:直 线
y ? mx ? 3
与抛物线

y Ox

y

O

x

y Ox

A.

B.

C.

C1 : y ? x2 ? 5mx ? 4m, C2 : y ? x2 ? (2m ?1)x ?m2 ? 3,

1y

O
x1 O

x1

D.

C3 : y ? x2 ? 3mx ? 2m ? 3 中至少有一条相交,则 m 的取值范围是.

变式 3:对于函数 f (x),若存在 x0 ? R,使 f (x0) = x0 成立,则称 x0 为 f (x) 的不动点.如 果函数 f (x) = a x 2 + bx + 1(a > 0)有两个相异的不动点 x1、x2.

(I)若

x1 < 1 < x2,且

f (x)

的图象关于直线

x=m

对称,求证 m >

1 2



(II)若 | x1 | < 2 且 | x1-x2 | = 2,求 b 的取值范围. 10.(北师大版第 52 页例 3)应用 绿缘商店每月按出厂价每瓶 3 元购进一种饮料.根据以前的统计数据,若零售价定为 每瓶 4 元,每月可销售 400 瓶;若每瓶售价每降低 0.05 元,则可多销售 40 瓶.在每月的进

x x2

货量当月销售完的前提下,请你给该商店设计一个方安:销售价应定为多少元和从工厂购进

多少瓶时,才可获得最大的利润?

变式 1:在抛物线 f ? x? ? ?x2 ? ax 与 x 轴所围成图形的内接

y

矩形(一边在 x 轴上)中(如图),求周长最长的内接矩形两边之比,其 中 a 是正实数.
变式 2:某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查与预 测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图一;B 产品的利润与 投资的算术平方根成正比,其关系如图二(注:利润和投资单位: 万元)
(1) 分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关 系式;
(2) 该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资, 才能使企业获得最大利润?其最大利润约为多少 元(精确到 1 万元)?
变式 3:设 a 为实数,记函数
f (x) ? a 1 ? x2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a) . (Ⅰ)求 g(a);(Ⅱ)试求满足 g(a) ? g( 1 ) 的所有实数 a. a
二次函数答案

A OB

1.(人教 A 版第 27 页 A 组第 6 题)解析式、待定系数法

??? ?

b 2a

?

2

?a ? 3

变式 1:

解:由题意可知

? ? ?

4ac ? 4a

b

2

?c ? 11

? ?1,解得 ??b ? ?12 ,故选 D. ??c ? 11

??

变式 2: 解:由题意可知 b ? 2 ? 1,解得 b=0,∴ 0 ? c ? 1,解得 c=2.

2

2

变式 3:解:由题意可设所求二次函数的解析式为 f ? x? ? ?3? x ?1?2 ? k ,

展开得 f ? x? ? ?3x2 ? 6x ?3? k ,



x1

?

x2

?

2, x1x2

?

3?k 3





x12

?

x22

?

? x1

?

?x2 2

? 2x1x2

?

26 9

,即 4 ?

2?3?
3

k?

?

26 9

,解得 k

?

4 3



所以,该二次函数的图像是由

f

? x? ? ?3? x ?1?2 的图像向上平移

4 3

单位得到的,它的

D
x C

解析式是 f ? x? ? ?3? x ?1?2 ? 4 ,即 f ? x? ? ?3x2 ? 6x ? 5 .

3

3

2.(北师大版第 52 页例 2)图像特征

变式 1: 解:根据题意可知 x1 ? x2 ? ? b ,∴

2

2a

f

? ??

x1

? 2

x2

? ??

?

4ac ? b2 4a

,故选

D.

变式 2: 解:∵ f ?1? x? ? f ?1? x? ,∴抛物线 f ? x? ? x2 ? px ? q 的对称轴是 x ?1,
∴ ? p ? 1即 p ? ?2 , 2
∴ f ? x? ? x2 ? 2x ? q ,∴ f ?0? ? q 、 f ??1? ? 3? q 、 f ?1? ? ?1? q ,

故有 f ??1? ? f ?0? ? f ?1?,选 C.

y

变式 3: 解:观察函数图像可得: ① a>0(开口方向);② c=1(和 y 轴的交点);
③ 4a ? 2b ?1 ? 0 (和 x 轴的交点);④ a ? b ?1? 0 ( f ?1? ? 0);

⑤ b2 ? 4a ? 0 (判别式);⑥ 1 ? ? b ? 2 (对称轴). 2a

3.(人教 A 版第 43 页 B 组第 1 题)单调性

O

x

变式 1: 解:函数 f ? x? ? x2 ? 4ax ? 2 图像是开口向上的抛物线,

其对称轴是 x ? ?2a ,
由已知函数在区间 ???,6? 内单调递减可知区间 ???,6? 应在直线 x ? ?2a 的左侧,

∴ ?2a ? 6,解得 a ? ?3 ,故选 D.
变式 2:解:函数 f ? x? ? x2 ? ?a ?1? x ? 5在区间(12 ,1)上为增函数,由于其图像(抛物

线)开口向上,所以其对称轴 x ? a ?1 或与直线 x ? 1 重合或位于直线 x ? 1 的左侧,即应

2

2

2

有 a ?1 ? 1 ,解得 a ? 2 , 22

∴ f ?2? ? 4 ??a ?1??2 ? 5 ? 7,即 f ?2? ? 7 .

变式 3:解:函数 f ? x? ? ?x2 ? kx 的图像是开口向下的抛物线,经过坐标原点,对称
轴是 x ? k , 2
∵ 已知函数在[2, 4] 上是单调函数,∴ 区间[2, 4] 应在直线 x ? k 的左侧或右侧, 2

即有 k ? 2 或 k ? 4 ,解得 k ? 4 或 k ? 8 .

2

2

4.(人教 A 版第 43 页 B 组第 1 题)最值

y

变式 1: 解:作出函数 f ? x? ? x2 ? 2x ? 3的图像,

开口向上,对称轴上 x=1,顶点是(1,2),和 y 轴的交点 是(0,3),
∴m 的取值范围是1? m ? 2 ,故选 C.

变式 2: 解:函数有意义,应有 ?x2 ? 4 ? 0 ,解得

?2 ? x ? 2,

O

x

∴ 0 ? ?x2 ? 4 ? 4 ? 0 ? ?x2 ? 4 ? 2 ?

0 ? 3 ?x2 ? 4 ? 6 ,

∴ M=6,m=0,故 M + m=6.

变式 3:

解:函数

f

? x? 的表达式可化为

f

?

x

?

?

4

? ??

x

?

a 2

2
? ? ?

?

?

2

?

2a

?



① 当 0 ? a ? 2 ,即 0 ? a ? 4 时, f ? x? 有最小值 2 ? 2a ,依题意应有 2 ? 2a ? 3 ,
2 解得 a ? ? 1 ,这个值与 0 ? a ? 4 相矛盾.
2
②当 a ? 0 ,即 a ? 0 时, f ?0? ? a2 ? 2a ? 2 是最小值,依题意应有 a2 ? 2a ? 2 ? 3 ,
2

解得 a ? 1? 2 ,又∵ a ? 0 ,∴ a ? 1? 2 为所求.
③当 a ? 2 ,即 a ? 4 时, f ?2? ?16 ?8a ? a2 ? 2a ? 2 是最小值,
2 依题意应有16 ? 8a ? a2 ? 2a ? 2 ? 3 ,解得 a ? 5 ? 10 ,又∵ a ? 4 ,∴ a ? 5 ? 10
为所求.

综上所述, a ? 1? 2 或 a ? 5 ? 10 .
5.(人教 A 版第 43 页 A 组第 6 题)奇偶性
? ? 变 式 1 : 解 : 函 数 f ? x? ? ?m ?1? x2 ? m2 ?1 x ?1 是 偶 函 数 ? m2 ?1 ? 0 ?

m ? ?1,
当 m ? 1时,f ? x? ?1是常数;当 m ? ?1时,f ? x? ? ?2x2 ?1,在区间 ???,0? 上 f ? x?
是增函数,故选 D.
变式 2:解:根据题意可知应有 a ?1? 2a ? 0 且 b ? 0 ,即 a ? 1 且 b ? 0 ,∴点 ?a,b?
3

的坐标是

? ??

1 3

,

0

? ??



变式 3: 解:(I)当 a ? 0 时,函数 f (?x) ? (?x)2 ? | ?x | ?1 ? f (x) ,此时, f (x) 为
偶函数;
当 a ? 0 时, f (a) ? a 2 ? 1, f (?a) ? a 2 ? 2 | a | ?1,

f (a) ? f (?a) , f (a) ? ? f (?a) ,此时 f (x) 既不是奇函数,也不是偶函数.

(II)(i)当 x ? a 时, f (x) ? x2 ? x ? a ? 1 ? (x ? 1)2 ? a ? 3 ,

2

4

若 a ? 1 ,则函数 f (x) 在 (??, a]上单调递减,从而函数 f (x) 在 (??, a]上的 2

最小值为 f (a) ? a 2 ? 1.

若 a ? 1 , 则 函 数 f (x) 在 (??, a] 上 的 最 小 值 为 f (1 ) ? 3 ? a , 且

2

24

f (1) ? f (a) . 2

(ii)当 x ? a 时,函数 f (x) ? x2 ? x ? a ? 1 ? (x ? 1)2 ? a ? 3 ,

2

4

若 a ? ? 1 , 则 函 数 f (x) 在 (??, a] 上 的 最 小 值 为 f (? 1 ) ? 3 ? a , 且

2

24

f (? 1) ? f (a) , 2

若 a ? ? 1 ,则函数 f (x) 在[a,??) 上单调递增,从而函数 f (x) 在[a,??) 上的 2

最小值为 f (a) ? a 2 ? 1.

综上,当 a ? ? 1 时,函数 f (x) 的最小值为 3 ? a ;

2

4

当 ? 1 ? a ? 1 时,函数 f (x) 的最小值为 a2 ? 1;

2

2

当 a ? 1 时,函数 f (x) 的最小值为 3 ? a .

2

4

6.(北师大版第 64 页 A 组第 9 题)图像变换

变式 1: 解:函数可转化为二次函数,作出函数图像,

由图像可得单调区间.

y

当 x ? 0 时, y ? ?x2 ? 2x ? 3 ? ?? x ?1?2 ? 4 ,

x

当 x ? 0 时, y ? ?x2 ? 2x ? 3 ? ?? x ?1?2 ? 4 .
作出函数图像,由图像可得单调区间.

O

x

在 ???, ?1?和 ?0,1? 上,函数是增函数;在??1,0? 和 ?1, ???上,函数是减函数.

变式 2: 解:若 a ? 1,b ? 1, 则 f (x) ?| x2 ? 2x ?1|? x2 ? 2x ?1 ,显然不是偶函数,所以①
是不正确的;
若 a ? ?1,b ? ?4, 则 f (x) ?| x2 ? 2x ? 4 | ,满足 f (0) ? f (2) ,但 f (x) 的图像不关于
直线 x=1 对称,所以②是不正确的;
若 a2 ? b ? 0 ,则 f (x) ?| x2 ? 2ax ? b |? x2 ? 2ax ? b ,图像是开口向上的抛物线,其

对称轴是 x ? a ,∴ f (x) 在区间[a,+∞ ) 上是增函数,即③是正确的;

显然函数 f (x) ?| x2 ? 2ax ? b | ? x ? R? 没有最大值,所以④是不正确的.

变式 3:

解:

f (x) ?

x

|

x

|

?bx

?

c

?

??x2 ? bx ? c, x

? ???

x2

?

bx

?

c,

?0 x?

0



(1)当 c=0 时, f (x) ? x x ? bx ,满足 f (?x) ? ? f ? x? ,是奇函数,所以①是正确的;

(2)当

b=0,c>0

时,

f

(x)

?

x

x

?c

?

??x2 ? c, x

? ???

x

2

?

c,

?0 x?

0



方程

f

(x)

?

0



? ?

x2

?c

?

0



??x2 ?

?

c

?

0



?x ? 0

?x ? 0

显然方程

?x2 ?

?

c

?

0

无解;方程

??x2 ?

?

c

?

0

的唯一解是

x

?

?

c

,所以② 是正确

?x ? 0

?x ? 0

的;

(3) 设 ? x0, y0 ? 是 函 数 f ( x)? x | x?| b? x图 像c 上 的 任 一 点 , 应 有

y0 ? x0 | x0 | ?bx0 ? c ,

而该点关于(0,c)对称的点是 ??x0, 2c ? y0 ? ,代入检验 2c ? y0 ? ?x0 | x0 | ?bx0 ? c 即 ? y0 ? ?x0 | x0 | ?bx0 ? c , 也 即 y0 ? x 0 | x 0| ?bx 0? c , 所 以 ??x0, 2c ? y0 ? 也 是 函 数

f ( x) ? x | x |? bx? 图c 像上的点,所以③是正确的;

(4)若 b ? ?1, c ? 0 ,则 f (x) ? x | x | ?x ,显然方程 x | x | ?x ? 0 有三个根,所以④ 是
不正确的. 7.(北师大版第 54 页 A 组第 6 题)值域

变式

1:

解:作出函数

f

(x)

?

?2x2

? 6x??2

?

x

?

2?

的图象,容易发现在

? ??

?2,

3? 2 ??



是增函数,在

? ??

3 2

,

2

? ??

上是减函数,求出

f

(?2)

?

?20 ,

f

(2)

?

4



f

(3) 2

?

9 2

,注意到函

数定义不包含

x

?

?2

,所以函数值域是

? ??

?20,

9 2

? ??



变式 2:解:∵ y= cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1,令 t= sinx ? [-1,1], 则 y=-2t2+t+1,其中 t? [-1,1],

∴y ? [-2,

9 8

],即原函数的值域是[-2,

9 8

].

变式 3: 解:(I) ∵ f (1 + x) = f (1-x),

∴ -2ba = 1,

又方程 f (x) = x 有等根 ? a x 2 + (b-1) x = 0 有等根,

∴ △= (b-1) 2 = 0 ? b = 1 ? a = -12 ,

∴ f (x) = -12 x 2 + x. (II) ∵ f (x) 为开口向下的抛物线,对称轴为 x = 1, 1? 当 m≥1 时,f (x) 在 [m,n] 上是减函数,
∴ 3m = f (x)min = f (n) = -12 n 2 + n (*),

3n = f (x)max = f (m) = -12 m 2 + m,

两式相减得:3 (m-n) = -12 (n 2-m 2) + (n-m), ∵ 1≤m < n,上式除以 m-n 得:m + n = 8, 代入 (*) 化简得:n 2-8n + 48 = 0 无实数解. 2? 当 n≤1 时,f (x) 在 [m,n] 上是增函数,
∴ 3m = f (x)min = f (m) = -12 m 2 + m,

3n = f (x)max = f (n) = -12 n 2 + n,

∴ m = -4,n = 0. 3? 当 m≤1≤n 时,对称轴 x = 1 ? [m,n],



3n = f (x)max = f (1) =

1 2

?n=

1 6



n≥1

矛盾.

综合上述知,存在 m = -4、n = 0 满足条件. 8.(北师大版第 54 页 B 组第 5 题)恒成立问题 变式 1: 解:(I) 函数 f (x) 的定义域为 R,即不等式 a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集为 R,

∴应有

? ? ?

a>0 △= 4-4a < 0

? a > 1,

∴ 实数 a 的取值范围是(1,+?) . (II) 函数 f (x) 的值域为 R,即 a x 2 + 2x + 1 能够取 (0,+?) 的所有值.
1? 当 a = 0 时,a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1 满足要求;

2?



a



0

时,应有??
?

a>0 △= 4-4a

≥0

? 0 < a≤1.

∴ 实数 a 的取值范围是[0,1] . 变式 2: 解法一:(转化为最值)

f (x) ? 2 在??2,2? 上恒成立,即 f (x) ? x2 ? ax ?1? a ? 0 在??2,2? 上恒成立.

⑴ ? ? a2 ? 4?1? a? ? 0 , ??2 ? 2 2 ? a ? ?2 ? 2 2 ;

?? ? a2 ? 4(1? a) ? 0



? ?? ?

f f

(2) ? 0 (?2) ? 0

,??5 ? a ? ?2 2 ? 2 .

? ????

a 2

?

2或

?

a 2

?

?2

综上所述 ? 5 ? a ? 2 2 ? 2 .

解法二:(运用根的分布)

⑴当 ? a ? ?2 ,即 a ? 4 时,应有 g(a) ? f (?2) ? 7 ?3a ? 2 , 即 a ? 5 ,? a 不存

2

3

在;

⑵当 ?2 ? ? a ? 2 ,即 ?4 ? a ? 4时,应有 g(a) ? f (? a) ? ? a2 ? a ? 3 ? 2 ,

2

24

即-2 2 ? 2 ? a ? 2 2 ? 2 ,??4 ? a ? 2 2 ? 2 ;

⑶ 当 ? a ? 2 , 即 a ? ?4 时 , 应 有 g( a)? f ( 2?) ?7 a ? ,2即 a ? ?5 , 2
??5 ? a ? ?4

综上所述 ? 5 ? a ? 2 2 ? 2 .

变式 3:

证明:(I)

依题意,f (sin

? 2

) = f (1)≥0,f (2 + cos ?) = f (1)≤0,

∴ f (1) = 0 ? 1 + b + c = 0 ? b + c = -1, (II) 由 (I) 得: f (x) = x 2-(c + 1) x + c (*) ∵ f (2 + cos ? )≤0 ? (2 + cos ? ) 2-(c + 1) (2 + cos ? ) + c≤0

? (1 + cos ? ) [c-(2 + cos ? )]≥0,对任意 ? 成立.

∵ 1 + cos ? ≥0 ? c≥2 + cos ? ,

∴ c≥(2 + cos ? )max = 3. (III) 由 (*) 得:f (sin ? ) = sin 2?-(c + 1) sin ? + c, 设 t = sin ? ,则 g(t) = f (sin ? ) = t 2-(c + 1) t + c,-1≤t≤1,

这是一开口向上的抛物线,对称轴为

t=

c+1 2





(II)

知:t≥3

+ 2

1

= 2,

∴ g(t) 在 [-1,1] 上为减函数.

∴ g(t)max = g(-1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8, ∴ c=3

∴ b = -c-1 = -4.

9.(北师大版第 54 页 B 组第 1 题)根与系数关系

变式 1: 解:二次函数 y ? ax2 ? b 与一次函数图象 y ? ax ? b 交于两点 (o, b) 、

(1, a ? b) ,由二次函

数图象知 a, b 同号,而由 B,C 中一次函数图象知 a, b 异号,互相矛盾,故舍去 B,C .
又由 a ? b 知,当 a ? b ? 0 时, ? b ? ?1,此时与 A 中图形不符,当 0 ? a ? b 时, a
? b ? ?1,与 D 中图形相符. a
变 式 2 : 解 : 原 命 题 可 变 为 : 求 方 程 mx ? 3 ? x2 ? 5mx ? 4m ,

mx ? 3 ? x2 ? (2m ?1)x ? m2 ? 3 ,

mx ? 3 ? x2 ? 3mx ? 2m ? 3中至少有一个方程有实数解,而此命题的反面是:“三个方程

均无实数解”,于是,从全体实数中除去三个方程均无实数解的 m 的值,即得所求.

?(4m)2 ? 4(?4m ? 3) ? 0,

解不等式组

? ?(m

?

1)

2

?

4m 2

?

0,

??4m2 ? 4(?2m) ? 0,

得 ? 3 ? m ? ?1, 2

故符合条件的 m 取值范围是 m ? ? 3 或 m ? ?1. 2

变式 3: 解:(I) 由 f (x) 表达式得 m = -2ba ,

∵ g(x) = f (x)-x = a x 2 + (b-1) x + 1,a > 0, 由 x1,x2 是方程 f (x) = x 的两相异根,且 x1 < 1 < x2,



g(1) < 0 ? a + b < 0 ?

-ba

>1?

-2ba

>

1 2

,即

m>

1 2



(II) △= (b-1) 2-4a > 0 ? (b-1) 2 > 4a,

x1 + x2 =

1-b a

,x1x2 =

1 a





|

x1-x2

|

2

=

(x1

+

x2)

2-4x1x2

=

1-b (a

) 2-4a

= 2 2,

∴ (b-1) 2 = 4a + 4a 2 (*)

又 | x1-x2 | = 2,



x1、x2



g(x)

对称轴

x=

1-b 2a

的距离都为 1,

要 g(x) = 0 有一根属于 (-2,2),



g(x)

对称轴

x=

1-b 2a

? (-3,3),



-3 <

b-1 2a

<3?a>

1 6

| b-1 |,

把代入

(*)

得:(b-1) 2 >

2 3

| b-1 | +

1 9

(b-1) 2,

解得:b <

1 4



b>

7 4





b

的取值范围是:(-?,

1 4

)∪(

7 4

,+?).

10.(北师大版第 52 页例 3)应用 变式 1: 解:设矩形 ABCD 在 x 轴上的边是 BC,BC 的长是 x(0<x<a),



B

点的坐标为

? ??

a

? 2

x

,

0

? ??

,A

点的坐标为

? ? ?

a

? 2

x

,

a2

? 4

x2

? ? ?



设矩形 ABCD 的周长为 P,



? P=2 ? x ?
?

a2

? 4

x2

? ? ?

?

?1 2

x2

? 2x ?

a2 2

?

?

1 ?x ? 2?2
2

?

a2 2

? 2 (0<x<a).

① 若 a>2,则当 x=2 时,矩形的周长 P 有最大值,这时矩形两边的长分别为 2 和 a2 ? x2 , 4

? ? 两边之比为 8: a2 ? 4 ;

②若 0 <a≤2,此时函数 P= ? 1 ? x ? 2?2 ? a2 ? 2 无最大值,也就是说周长最大的内接

2

2

矩形不存在.

? ? 综上所述,当 a>2 时,周长最大的内接矩形两边之比为 8: a2 ? 4 ;当 0 <a≤2 时,周

长最大的内接矩形不存在. 变式 2: 解:(I) 依题意设 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式分别为 f (x) = kx,g(x) = m x ,



f (1) = k = 0.25,

g(4) = 2m = 2.5 ? m =

5 4





f (x) =

1 4

x(x≥0),g(x) =

5 4

x.

(II) 设企业在 B 产品投资 x 万元,则在 A 产品投资 10-x 万元,



企业的利润

y=

1 4

(10-x) +

5 4

x

=

1 4

[-(

x

-52

)2 +

65 4

](0≤x≤10),



x

=

5 2

,即

x = 6.25

万元时,企业获得最大利润

65 16

≈4

万元.

答:在 A 产品投资 3.75 万元,在 B 产品投资 6.25 万元,企业获得最大利润约 4 万 元.

变式 3: 解:设 t ? 1 ? x ? 1 ? x ,要使 t 有意义,必须1? x ? 0 且1? x ? 0 ,即 ?1? x ?1,
∵ t 2 ? 2 ? 2 1? x2 ?[2,4] ,且 t ? 0 ……①

∴ t 的取值范围是[ 2,2] .

由①得: 1 ? x2 ? 1 t 2 ?1, 2

不妨设 m(t) ? a(1 t 2 ?1) ? t ? 1 at 2 ? t ? a , t ? [ 2,2] .

2

2

(I)由题意知 g(a) 即为函数 m(t) ? 1 at 2 ? t ? a , t ? [ 2,2] 的最大值, 2

当 a ? 0 时, m(t) ? t , t ? [ 2,2] ,有 g(a) =2;

当 a ? 0 时,此时直线 t ? ? 1 是抛物线 m(t) ? 1 at 2 ? t ? a 的对称轴,

a

2

∴可分以下几种情况进行讨论:

(1)当 a ? 0 时,函数 y ? m(t) , t ? [ 2,2] 的图象是开口向上的抛物线的一段,

由 t ? ? 1 ? 0 知 m(t) 在 t ? [ 2,2] 上单调递增,故 g(a) ? m(2) ? a ? 2; a

(2)当 a ? 0时,,函数 y ? m(t) , t ? [ 2,2] 的图象是开口向下的抛物线的一段,

若 t ? ? 1 ? (0, 2] 即 a ? ? 2 时, g(a) ? m( 2) ? 2 ,

a

2

若 t ? ? 1 ? ( 2,2] 即 a ? (? 2 ,? 1 ] 时, g(a) ? m(? 1 ) ? ?a ? 1 ,

a

22

a

2a

若 t ? ? 1 ? (2,??) 即 a ? (? 1 ,0) 时, g(a) ? m(2) ? a ? 2.

a

2

? ?

a?2

综上所述,有

g(a)

=

???? ?

a

?

1 2a

? ??

2

(a ? ? 1) 2

, (? 2 ? a ? ? 1) .

2

2

(a ? ? 2 ) 2

(II)若 a>0,则1a

>0,此时 g(a)=g(

1 a

) ? a+2=

1 a

+2 ? a =

1 a

?a =1(舍去 a=-1);

若-12

<a<0,则1a

<-2,此时 g(a)=g(

1 a

) ? a+2=

2 ? a=-2+

2 <-12 (舍去);

若-

2 2

<a≤-12 ,则-2≤1a <- 2 ,

此时 g(a)=g(

1 a

)?

-a-21a

=

2 ? a=-

2 2

(舍去);

若-

2 ≤a≤-

2 2

,则-

2 ≤1a ≤-

2 2



此时 g(a)=g(

1 a

)?

2 = 2 恒成立;

若-2≤a<-

2 ,则-

2 2

1 <a

≤-12



此时 g(a)=g(

1 a

)?

2 =-a-21a ? a=-

2 2

(舍去);

若 a<-2,则-12

1 <a

<0,

此时 g(a)=g(

1 a

)?

2 = a+2? a=-2+ 2 >-2 (舍去) .

综上所述,满足 g(a) ? g(1 ) 的所有实数 a 为: ? 2 ? a ? ? 2 或 a ? 1 .

a

2


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