甘肃省民乐一中2014-2015学年第一学期第一次月考高二数学(理)试题

民乐一中 2014-2015 学年高二第一次月考 数学理科试卷
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个选项符合要求） 1．已知集合 M ? {x | ?4 ? x ? 7}, N ? {x | x2 ? x ?12 ? 0} ，则 M ? N 为( ) A {x | ?4 ? x ? ?3 或 4 ?x ? 7} C {x | x ? ?3 或 x ? 4 } B {x | ?4 ? x ? ?3 或 4 ? x ? 7} D {x | x ? ?3 或 x ? 4} )

2.已知△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，且 B＝30°，则△ABC 的面积等于( 3 3 3 3 3 A B C 或 3 D 或 2 4 2 4 2

y≤2x， ? ? 3．若变量 x，y 满足约束条件?x＋y≤1， ? ?y≥－1.

则 x＋2y 的最大值是(

)

5 5 5 A － B 0 C D 2 3 2 4．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前 8 项和等于( A 3 B 4 C 5 D 6 5．平面区域如图所示，若使目标函数 z ? x ? ay(a ? 0) 取得 y 最大值的最优解有无穷多个，则 a 的值是（ ） D 4

)

A(1,3)

3 A 2

B 1

2 C 3

B(4,1) x 6．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S3＝a2＋10a1，a5＝9，则 a1 等于（ A 1 3 1 B － 3 C 1 9 1 D － 9 ） ）

7． 在 200 米高的山顶上， 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°、 60°， 则塔高为 （ ?A

400 米? 3

B

400 3 米 3
? ?

C 200 3 米?
? ?

D 200 米

8．在 ?ABC 中，若 AB ? 2, AC ? 3, AB? AC ? ?3, 则 ?ABC 的面积 S 等于（ ）

A 3

B

3

C

3 2

D

3 3 2

9．设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ，若 S 3 ? 9, S 6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? （ ）

A 63

B 45

C 36

D 27

10．对于函数 y ? f ( x) ，部分 x 与 y 的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 4 5 8 1 3 5 2 6 数列 {x n } 满足 x1 ? 2 ，且对任意 n ? N* ，点 ( x n , x n ?1 ) 都在函数 y ? f ( x) 的图象上，则

x y

x1 ? x2 ? x3 ? ? ? x9 ? x10 的值为
A 42 B 44 C 46 D 48 11.已知等差数列｛an｝中，a2=6,a5=15.若 bn=a2n,则数列｛bn｝的前 5 项和等于（ A 30 B 45 C 90 D 186 12．下列命题中，正确命题的个数是 （ ）
2 2 2 2 ① a ? b ? ac ? bc ② a ? b ? ac ? bc ③ a ? b ? ac ? bc

）

c

c

④ a ? b ? ac ? bc
c c

⑤ a ? b且ac ? bc ? c ? 0 ⑥ a ? b且ac ? bc ? c ? 0 A 2 B 3 C 4 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）

D 5

x＋y－2≥0， ? ? 13.设 z＝kx＋y，其中实数 x，y 满足?x－2y＋4≥0， ? ?2x－y－4≤0.
________.

若 z 的最大值为 12，则实数 k＝

π π 14.若角 α ，β 满足－ ＜α ＜β ＜ ，则 2α －β 的取值范围是________． 2 2 2 15.已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 2a2－a7＋2a12＝0，数列{bn}是等比数列，且 b7＝a7， 则 b3b11 等于 . 16.在△ABC 中， | AB |＝3， | AC |＝2，AB 与 AC 的夹角为 60°， 则| AB - AC |＝________. 三、简答题（第 17 题 10 分，其余每题 12 分） 17. 在 ?ABC 中， 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? （1）求 sin C 的值； （2）求 ?ABC 的面积.

?
3

cos A ? ，

4 , b ? 3 . w.w.w..c.o.m 5

18.正项数列 ?an ? 满足 an 2 ? (2n ?1)an ? 2n ? 0 ． (1) 求数列 ?an ? 的通项公式 an ； (2) 令 bn ?

1 ，求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ． (n ? 1)an

19.a，b，c 为△ABC 的三边，其面积 S△ABC＝12 3 ，bc＝48，b-c＝2， 求 角 A 和边 a 20．已知不等式 ax －3x＋6＞4 的解集为{x|x＜1 或 x＞b}． (1)求 a，b 的值； 2 (2)解不等式 ax －(ac＋b)x＋bc＜0.
2

x－4y＋3≤0， ? ? 21.变量 x，y 满足?3x＋5y－25≤0， ? ?x≥1.
(1)设 z＝ ，求 z 的最小值； (2) 设 z＝x ＋y ＋6x－4y＋13，求 z 的取值范围． 22.已知等差数列 ?an ? 的公差大于 0,且 a3 , a5 是方程 x ? 14x ? 45 ? 0 的两根,数列 ?bn ? 的前
2
2 2

y x

n 项的和为 S n ，且 S n ? 1 ?

1 bn . 2

（1） 求数列 ?an ? ， ?bn ? 的通项公式； （2） 记 cn ? an ? bn ,求证： cn?1 ? cn .

高二理科数学参考答案
一、选择题 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 B 5 A 6 C 7 A 8 D 9 B 10 B 11 C 12 D

13 17

2

14

?－3π ，π ? ? 2 2? ? ?

15 16

16

7

18、 解：（1）由an ? (2n ?1)an ? 2n ? 0得（an -2n)(an +1）=0
2

由于｛an｝是正项数列，则 an ? 2n 。 （2）由（1）知 an ? 2n ，故 bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (n ? 1)an (n ? 1)(2n) 2 n (n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 n ?Tn ? (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? )? 2 2 2 3 n n ?1 2 n ? 1 2n ? 2

19、解：由 S△ABC＝

1 1 bcsinA，得 12 3 ＝ ×48×sinA 2 2

∴ sinA＝

3 2

∴ A＝60°或 A＝120° a2＝b2＋c2-2bccosA 2 ＝(b-c) ＋2bc(1-cosA) ＝4＋2×48×(1-cosA) 当 A＝60°时，a ＝52，a＝2 13
2

当 A＝120°时，a ＝148，a＝2 37
2

20、解：(1)因为不等式 ax －3x＋6＞4 的解集为{x|x＜1 或 x＞b}，所以 x1＝1 与 x2＝b 是方 2 程 ax －3x＋2＝0 的两个实数根，b＞1 且 a＞0.由根与系数的关系，得 3 1＋b＝ ， a ?a＝1， ? 解得? ?b＝2. 2 ? 1×b＝ .

2

? ? ? ? ?

a

(2)不等式 ax －(ac＋b)x＋bc＜0， 2 即 x －(2＋c)x＋2c＜0， 即(x－2)(x－c)＜0.5 分 当 c＞2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|2＜x＜c}； 当 c＜2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|c＜x＜2}； 当 c＝2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为?. 21、解 由约束条件

2

x－4y＋3≤0， ? ? ?3x＋5y－25≤0， ? ?x≥1.

作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示．

由? 由?

? ?x＝1， ?3x＋5y－25＝0， ? ? ?x＝1， ?x－4y＋3＝0， ?

? 22? 解得 A?1， ?. 5? ?
解得 C(1,1)．

由?

?x－4y＋3＝0， ? ?3x＋5y－25＝0， ?

解得 B(5,2)．

y y－0 2 .∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率． 观察图形可知 zmin＝kOB＝ . x x－0 5 2 2 2 2 (2)z＝x ＋y ＋6x－4y＋13＝(x＋3) ＋(y－2) 的几何意义是可行域上的点到点 (－3,2)的距 离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，dmin＝4，dmax＝8. 故 z 的取值范围是.
(1)∵z＝ ＝ 22、解： （1）∵a3，a5 是方程 x ? 14x ? 45 ? 0 的两根，且数列 {an } 的公差 d>0，
2

∴a3=5，a5=9，公差 d ?

a5 ? a3 ? 2. 5?3

∴ an ? a5 ? (n ? 5)d ? 2n ? 1. 又当 n=1 时，有 b1=S1=1－

1 2 b1 ,? b1 ? . 2 3

当 n ? 2时, 有bn ? S n ? S n ?1 ? ∴数列{bn}是等比数列， b1 ? ∴ bn ? b1 q （ 2 ）
n ?1

b 1 1 (bn?1 ? bn ),? n ? (n ? 2). 2 bn?1 3

2 1 ,q ? . 3 3

?

2 . 3n
（ 1 ） 知

由

c n ? a n bn ?

c n ?1 ? c n ?

2(2n ? 1) 2(2n ? 1) 8(1 ? n) ? ? ? 0. 3 n ?1 3n 3 n ?1

2(2n ? 1) 2(2n ? 1) , c n ?1 ? , n 3 3 n ?1

∴

∴ cn?1 ? cn .