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人教版高中数学必修二2.3.4_平面与平面垂直的性质ppt模板_图文

2.3.4 平面与平面垂直的性质 提出问题: 1、平面与平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就 说这两个平面互相垂直。 2、平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两 个平面垂直。 符号表示: 该命题正确吗? ? b b ? ?? ? ? ? ? ? b ??? ? 平面与平面垂直的性质定理 Ⅰ. 观察实验 ,则一个平面内垂 两个平面垂直 观察两垂直平面中,一个平面 直于交线的直线与另一个平面垂 内的直线与另一个平面的有 直 . 哪些位置关系 ? 符号表示: ? b l ? ? ?? ?l ? b?l ? ? ? ? ? ? ? ?? ? b? ? ? ? b? ? ? b 简述为: ?b ? ? 面面垂直 Ⅱ.概括结论 ? 该命题正确吗? 线面垂直 Ⅲ.严格证明 已知? ? ? , ? ? ? ? CD, AB ? ? , AB ? CD于B 求证 : AB ? ? . ? A D 证明:在平面 内作 ? BE⊥CD, 垂足为B. 则∠ABE就是二面角 -CD- ? 的平面角 ? ? B E C ∵ ∴AB⊥BE(平面与平面垂直的定义) ? ? ,? 又由题意知AB⊥CD,且BE CD=B ? ∴AB⊥ ? (直线与平面垂直的判定定理) 预习自测 1、已知:两个平面?与? 互相垂直,判断下列命题是否正确: × (1)若b ? ? ,则b ? ?。 (2)若? × ? =l,b ? l则b ? ?。 (3)若b ? ? ,则b垂直于平面?内的无数条直线。 (4) 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线 必垂直于另一个平面。 × ? √ l ? 例 1 如图,已知平面 ?,β ,?⊥β ,直线 a 满足 a⊥β , a??, 试判断直线 a 与平面 ? 的位置关系. α b l β A a ? ? ?l 解:设 在α内作直线b ⊥l ? ?? ? ? ? ? ? l? ? ?b??? b?? ? 又a ? ? ? ? ? b?l ? ? a // b b ?? a ?? ? ? ?? ? ? a // ? [例2] 已知:α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l 求证:l⊥γ [解析] 证法1:在 γ内取一点P,作PA垂直α与γ的交线于A, 作 PB垂直β与γ的交线于 B,则PA⊥α,PB⊥β,∵l=α∩β , ∴l⊥PA,l⊥PB,∵PA与PB相交,又PA?γ,PB?γ,∴l⊥γ. 证法 2:在 α内作直线 m垂直于 α与 γ的交线,在 β 内作直线 n 垂 直于 β 与 γ 的交线, ∵ α⊥γ , β⊥γ , ∴ m⊥γ , n⊥γ , ∴ m∥n , 又n?β,∴m∥β,又m?α,α∩β=l,∴m∥l,∴l⊥γ. 变式:如图所示,在三棱锥P-ABC中, PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC. 求证:BC⊥AC. [精解详析] 在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D. ∵平面 PAC⊥平面 PBC ,AD ?平面PAC ,且AD ⊥PC ,平面PAC∩平 [思路点拨 ] 若BC ⊥AC ,则会有 BC⊥平面 PAC ,故只要在平面 PAC内再找 面PBC =PC, 一线与 BC垂直.由已知平面PAC⊥平面PBC,故由两平面垂直的性质在面 ∴ AD⊥平面 PBC . 的垂线可证. PAC 中作交线 PC 又∵BC?平面PBC, ∴有AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC, ∴PA⊥BC.∵AD∩PA=A,∴BC⊥平面PAC. ∵AC?平面PAC,∴BC⊥AC. 1、平面与平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 2..空间垂直关系有那些? 如何实现空间垂直关系的相互转化? 请指出下图中空间垂直关系转化的定理依据? ① ③ 线线垂直 ② 线面垂直 ④ 面面垂直 ①线面垂直的判定定理 ③面面垂直的判定定理 ②线面垂直的定义 ④面面垂直的性质定理 【反馈检测】 1.已知平面α ,β 和直线 m,l,则下列命题中正确的是 ( ) A.若α ⊥β ,α ∩β =m,l⊥m,则 l⊥β B.若α ∩β =m, l?α ,l⊥m,则 l⊥β C.若α ⊥β ,l?α ,则 l⊥β D.若α ⊥β ,α ∩β =m,l?α ,l⊥m,则 l⊥β 2.在空间中,用 x、y、z 表示不同的直线或平面,若命题 “x⊥y,x⊥z,则 y∥z”成立,则 x、y、z 分别表示的元素是( ) A.x、 y、z 都是直线 B. x、y、z 都是平面 C.x、 y 是平面,z 是直线 D. x 是直线,y、z 是平面 D D 3.如图,在四棱锥 PABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD, ∠BAD=60° ,E, F 分别是 AP,AD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD. (1) 在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点, 所以 EF∥PD.又因为 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD, 所以直线 EF∥平面 PCD. (2)如图,连结 BD. 因为 AB=AD,∠BAD=60° , 所以△ABD 为正三角形. 因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF?平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD. 4.如图所示,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形, E、F 分别为 PC、BD 的中点,侧面 PAD⊥底面 ABCD, 2 且 PA= PD= AD. 2 (1)求证: EF∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PCD. (3)求三棱锥

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