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2.3.1 抛物线及其标准方程(第一课时)


问题、情景
椭圆、双曲线的第二定义: 平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是 常数e的点的轨迹…… 当0<e <1时
l 当e>1时 M l F 当e=1时 l M

M
F ·

·
e>1
双曲线

·

· F

0<e <1
椭圆

e=1
什么曲线?

l
M


N

· · · · · F
· ·

· P

·

∟ ∟

这是一条什么曲线? 是双曲线的一支吗? ·

·

一、定义
前提:

1.平面内
2.定点不在定直线上 平面内到一个定点F和一条定直线 l(l不经 N 过点F) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。

l
M

· F ·

定直线l 叫做抛物线的准线。 MF ︳ ︳ 即:若 ? 1, 则点 M 的轨迹是抛物线。 MN ︳ ︳

二、标准方程

思考
椭圆和双曲线都有两条对称轴,我们以 这两条对称轴为坐标轴,可以建立平面直角

l N
M

坐标系。而抛物线只有一条对称轴,我们以
这条对称轴作为一条坐标轴,那么另一条坐 标轴如何选择才使方程最简?

· · F

如图,建立直角坐标系: 设︱KF︱= p (p>0) p 则F( ,0),l:x = 2 设点M的坐标为(x,y), 由定义可知,|MF|=|MN|
(x ? p 2 p 2 ) ? y ?|x? | 2 2

l
p 2

y
M

N K o

· · F

x

化简得 y2 = 2px(p>0)

方程 y2 = 2px(p>0) 叫做抛物线的标准方程。
它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半 x ? ? p 轴上,坐标是 ( p ,) ,它的准线方程是 0 2 其中p为正常数,它的几何意义是: 焦点到准线的距离
2

y

l
N
M

o

· · F

x

图 形

焦 点
p 2

准 线
x ? ? p 2

标准方程
y
2

﹒ ﹒
y

o

x

F(

, 0)

? 2 px

( p ? 0) y
2

y

o

x

F( ?

p 2

, 0)

x ?

p 2

? ? 2 px

( p ? 0)


y

图 形

焦 点
p 2
p

准 线
p 2 p 2

标准方程
x
2

o

x
y

F (0,



y ? ?

? 2 py

( p ? 0) x
2


o

x F ( 0,? 2 )

y ?

? ? 2 py

( p ? 0)

练习:画出下列抛物线的草图并求焦点坐标和准线方程: (1)y2 = 20x (2)x2= y

(3)2y2 +5x =0

(4)x2 +8y =0
焦点坐标 准线方程 x= -5 1 y= - — 8 5 x= — 8 y=2

(1) (2)

(5,0) 1 (0,—) 8 5 (- —,0) 8 (0,-2)

(3)
(4)

例1(1)已知抛物线的标准方程是 y2 = 6x,求它的焦点坐标和 准线方程; (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程。

(3)已知抛物线的标准方程是 y= 6x2,求它的焦点坐标和准线
方程. 解: ( 3) 由 x 2 ? 1 y 知: 2 p ? 1 ,? p ? 1
6
6

12

? 此抛物线的焦点坐标是

(0 ,1 ) , 24

准线方程是

y ? ? 1 . 24

例2 求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程。 解:当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时,把A(-3,2) 代入x2 =2py,得p =
9 4

当焦点在x轴的负半轴上时, 把A(-3,2)代入y2 = 得p =
2 3
9 2
?

-2px,


A
y或y2 =
4 3

y

O
x 。

x

∴抛物线的标准方程为x2 =

实战演练
1.根据下列条件,写出抛物线的标准方程: (1)焦点是F(3,0); (2)准线方程 是x = ?
1 4

y2 =12x ; y2 =x

(3)焦点到准线的距离是2。 y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y

练习:抛物线焦点在直线x-2y-4=0上,求此

时的标准方程。

例3 M是抛物线y2 = 2px(P>0)上一点,

若点M 的横坐标为X0,则点M到焦点的
距离是:

X0 +


2

p

y

O F 抛物线的焦半径长

. .
M

发 散 探 究

x

例4 点M与点F(4,0)的距离比它到直线L: x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程。

小结 1.椭圆、双曲线与抛物线的定义的联系及其区别; 2.会运用抛物线的定义、标准方程求它的焦点、准线 方程;

3.充分体现数形结合的思想。

巩固提高 1.已知抛物线的方程,求它的焦点坐标和准线方程: (1) y2=ax(a≠0)

(2)(y-1)2=4(x-1)[2001上海文· 8]
y2 - =1 的右顶点为顶点,左顶点 2.求以双曲线 9 16 为焦点的抛物线的方程。[2003北京理· 12] x2


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