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(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 第26课 导数的综合问题 文


第 26 课
3 2

导数的综合问题

1. (2012 福建高考)已知 f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x ? abc , a ? b ? c ,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0 .现给出 如下结论: ① f (0) f (1) ? 0 ;② f (0) f (1) ? 0 ;③ f (0) f (3) ? 0 ;④ f (0) f (3) ? 0 . 其中正确结论的序号是 A.①③ B.①④ 【答案】C. 【解析】∵ f ?( x) ? 3x ? 12 x ? 9 ,
2

C.②③

D.②④

令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? 3 , 当 x ? 1时, f ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 3 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 3 时, f ?( x) ? 0 , ∴ x ? 1 时, f (x) 有极大值,当 x ? 3 时, f (x) 有极小值, ∵函数 f (x) 有三个零点, ∴ f (1) ? 0, f (3) ? 0 ,且 a ? 1 ? b ? 3 ? c , 又∵ f (3) ? 27 ? 54 ? 27 ? abc ,∴ abc ? 0 ,即 a ? 0 , ∴ f (0) ? f (a) ? 0 ,∴ f (0) f (1) ? 0, f (0) f (3) ? 0 . 2. (2012 陕西高考)设函数 f ( x) ? ?

?ln x, x ? 0 , D 是由 x 轴和曲线 y ? f ( x) 及该曲线在点 (1, 0) 处 ??2 x ? 1, x ? 0
.

的切线所围成的封闭区域,则 z ? x ? 2 y 在 D 上的最大值为 【答案】2 【解析】函数 y ? f (x) 在点 (1,0) 处的切线为
1

y

y ? 0 ? f ' (1)( x ? 1) ,即 y ? x ? 1 .
1

O
1

1

2

x

∴D 表示的平面区域如图, 当目标函数直线经过点 M 时 z 有最大值, 最大值为 z ? 0 ? 2 ? (?1) ? 2 .

M

1

3. (2012 门头沟一模)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (1)当 0 ? a ?

1? a ?1 . x

1 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; 2 1 2 (2)设 g (x) ? x ? 2bx ? 4 ,当 a ? 时,若对任意 x1 ? (0, 2) ,当 x2 ? [1,2] 时, f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立, 4
求实数 b 的取值范围. 【解析】 (1) f ?( x) ?

1 1 ? a ?ax 2 ? x ? (1 ? a) ?a? 2 ? x x x2

[ax ? (1 ? a)]( x ? 1) ( x ? 0) , x2 1? a 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? 1 , a 1 当 a ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调减, 2 1 1? a 当 0 ? a ? 时, ? 1, 2 a 1? a 在 (0,1) 和 ( , ??) 上,有 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调减, a 1? a 在 (1, ) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调增. a 1 1? a 1 3 (2)当 a ? 时, ? 3 , f ( x) ? ln x ? x ? ?1 4 a 4 4x ??
由(1)知,函数 f ( x) 在 (0,1) 上是单减,在 (1, 2) 上单调增, ∴函数 f ( x) 在 (0, 2) 的最小值为 f (1) ? ?

1 , 2

若对任意 x1 ? (0, 2) ,当 x2 ? [1, 2] 时, f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立, 只需当 x ? [1, 2] 时, g max ( x) ? ?

1 即可 2

1 ? ? g (1) ? ? 2 ? ∴? , ? g (2) ? ? 1 ? ? 2
代入解得 b ?

11 , 4 11 , ??) . 4

∴实数 b 的取值范围是 [

2

a ? x ln x , g ( x) ? x3 ? x 2 ? 3 . x (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)如果存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整数 M ; 1 (3)如果对任意的 s, t ? [ , 2] 都有 f ( s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围. 2 2 【解析】 (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? ? x ln x , x 2 ∴ f ?( x) ? ? 2 ? ln x ? 1 , f (1) ? 2, f ?(1) ? ?1 , x ∴ y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ? x ? 3 . (2) ? x1 , x2 ? [1, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,
4. (2012 梅州一模)设函数 f ( x) ? 等价于 [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]ma x ? M , ∵ g ( x) ? x ? x ? 3 , g ?( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 3x( x ? ) ,
3 2

2 3

x
g ?( x) g ( x)

0 0 ?3

2 (0, ) 3


2 3 0
极小值

2 ( , 2) 3


2 1

2 85 , g ( x)ma x ? 1 , 3 27 112 ∴ [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]ma x ? , 27 ∴满足条件的最大整数 M ? 4 1 (3) 对任意的 s, t ? [ , 2] 都有 f ( s) ? g (t ) 成立,等价于: 2 1 在区间 [ , 2] 上,函数 f ( x) 的最小值不小于 g ( x) 的最大值. 2 1 有(2)知,在区间 [ , 2] 上, g ( x) 的最大值为 g (2) ? 1, 2 2 f ( x) ? ? x ln x ? 1 ,等价于 a ? x ? x 2 ln x 恒成立, x 2 记 h( x) ? x ? x ln x , h?( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x , h?(1) ? 0 , 记 m( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x , m?( x) ? ?3 ? 2ln x , 1 由于 x ? [ , 2] ,∴ m?( x) ? ?3 ? 2ln x ? 0 , 2 1 ∴ m( x) ? h?( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x 在 [ , 2] 上递减, 2 1 当 x ? [ ,1) 时, h?( x) ? 0 , x ? (1, 2] 时, h?( x) ? 0 , 2 1 2 即函数 h( x) ? x ? x ln x 在区间 [ ,1) 上递增,在 (1, 2] 上递减, 2 ∴ h( x) max ? h(1) ? 1,∴ a ? 1 .
由上表可知, g ( x)min ? g ( ) ? ?

3

5. (2012 陕西高考)设函数 f n ( x) ? x ? bx ? c (n ? N , b , c ? R ) .
n *

(1)设 n ? 2, b ? 1, c ? ?1 ,证明: f n ( x) 在区间 ( ,1) 内存在唯一的零点; (2)设 n 为偶数, f (?1) ? 1, f (1) ? 1 ,求 b ? 3c 的最小值和最大值; (3)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,有 f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) ? 4 ,求 b 的取值范围. 【解析】(1)当 n ? 2, b ? 1, c ? ?1 时, f n ( x) ? x ? x ? 1 ,
n

1 2

∵ f n ( ) ? f n (1) ? (( ) n ? ) ?1 ? 0 , ∴ f n ( x) 在区间 ( ,1) 内存在零点. 又∵ x ? ( ,1) , f n? ( x ) ? nx

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

n ?1

?1 ? 0 ,

1 2 1 ∴ f n ( x) 在区间 ( ,1) 内存在唯一的零点. 2 ? f (?1) ? 1 ? b ? c (2)由题意,知 ? , ? f (1) ? 1 ? b ? c f (1) ? f (?1) f (1) ? f (?1) ∴b ? ,c ? ?1 , 2 2 ∴ b ? 3c ? 2 f (1) ? f (?1) ? 3 , ∵ ?1 ? f (1) ? 1, ?1 ? f (?1) ? 1 , ∴ ?6 ? b ? 3c ? 0 , ∴ b ? 3c 的最小值为 ?6 ,最大值为 0 . 2 (3)当 n ? 2 时, f 2 ( x) ? x ? bx ? c .
∴ f n ( x) 在区间 ( ,1) 上是单调的, 对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,有 f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) ? 4 , 等价于 f 2 ( x) 在 [?1,1] 上的最大值与最小值之差 M ? 4 , 据此分类讨论如下:

b ? 1 ,即 b ? 2 时, M ? f 2 (1) ? f 2 (?1) ? 2 b ? 4 ,与题设矛盾; 2 b (ⅱ)当 ?1 ? ? ? 0 ,即 0 ? b ? 2 时, 2 b b M ? f 2 (1) ? f 2 (? ) ? ( ? 1)2 ? 4 恒成立; 2 2 b (ⅲ)当 0 ? ? ? 1 ,即 ?2 ? b ? 0 时, 2 b b M ? f 2 (?1) ? f 2 (? ) ? ( ? 1) 2 ? 4 恒成立; 2 2
(ⅰ)当 综上可知, ?2 ? b ? 2 .
4

6. (2012 汕头二模)设函数 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? (a 2 ? 1) x .其中 a ? 0 . (1)若函数 y ? f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值,求 a 的值; (2)已知函数 f ( x) 有三个不同的零点,分别为 0 , x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,若对任意的 x ? [ x1 , x2 ] ,

1 3

f ( x) ? f (1) 恒成立,求 a 的取值范围. 1 【解析】 (1)∵ f ( x) ? ? x3 ? x 2 ? (a 2 ? 1) x , 3
∴ f ?( x) ? ? x ? 2 x ? a ? 1 ,
2 2

∵函数 y ? f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值, ∴ f ?(?1) ? a ? 4 ? 0 ,解得 a ? ?2 .
2

(2)设 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? (a 2 ? 1) x 3 1 ? ? x( x 2 ? 3x ? 3a 2 ? 3) 3 1 ? ? x( x ? x1 )( x ? x2 ) , 3
2

∴ x ? 3x ? 3a ? 3 ? 0 有两相异实根 x1 , x2 ,
2

∴ x1 ? x2 ? 3 ,且 ? ? 3 ? 4(?3a ? 3) ? 0 ,
2 2

∴a ? ?

1 1 (舍去) ,或 a ? . 2 2
3 ?1, 2

∵ x1 ? x2 ,∴ 2 x2 ? x1 ? x2 ? 3 ,∴ x2 ?

若 x1 ? 1 ? x2 ,则 f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 , 而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意; 若 1 ? x1 ? x2 ,则对任意的 x ? [ x1 , x2 ] ,有 x ? x1 ? 0 , x ? x2 ? 0 , 则 f ( x) ? ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0 ,又 f ( x1 ) ? 0 , ∴ f ( x) 在 x ? [ x1 , x2 ] 的最小值为 0, 于是对任意的 x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立的充要条件是

1 3

1 3

3 3 1 ?a? , f (1) ? a 2 ? ? 0 ,解得 ? 3 3 3

5

综上, a 的取值范围是 ( ,

1 3 ). 2 3

6


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