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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 4.1抛物线的标准方程 苏教版选修2-1


§2.4 2.4.1

抛物线

抛物线的标准方程

课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及 对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程.

1.抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离________的点的轨迹叫做抛物线, 点 F 叫做抛物线的________,直线 l 叫做抛物线的________. 2.抛物线的标准方程 2 2 (1)方程 y =±2px,x =±2py(p>0)叫做抛物线的________方程. 2 (2)抛物线 y = 2px(p>0)的焦点坐标是 __________,准线方程是 __________,开口方向 ________. 2 (3)抛物线 y =-2px(p>0)的焦点坐标是________,准线方程是__________,开口方向 ________. 2 (4) 抛物线 x = 2py(p>0) 的焦点坐标是 ________ ,准线方程是 __________ ,开口方向 ________. 2 (5)抛物线 x =-2py(p>0)的焦点坐标是___________,准线方程是__________,开口方 向________.

一、填空题 2 1.抛物线 y =ax(a≠0)的焦点到其准线的距离为________. 2 2 x y 2.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在曲线 - =1 上,则抛物线方程为 4 2 ______________. 1 2 3.与抛物线 y = x 关于直线 x-y=0 对称的抛物线的焦点坐标是________. 4 4.设抛物线 y =2x 的焦点为 F,过点 M( 3,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与抛 S△BCF 物线的准线相交于点 C,BF=2,则△BCF 与△ACF 的面积之比 为________. S△ACF 2 5.抛物线 x +12y=0 的准线方程为__________. 2 6.若动点 P 在 y=2x +1 上,则点 P 与点 Q(0,-1)连线中点的轨迹方程是__________. 2 7.已知抛物线 x =y+1 上一定点 A(-1,0)和两动点 P,Q,当 PA⊥PQ 时,点 Q 的横坐标 的取值范围是______________. 二、解答题 8.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离等 于 5,求抛物线的方程和 m 的值,并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.
2

-1-

-2-

9.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔,已知上部呈抛物线形,跨度为 20 米,拱顶距 水面 6 米,桥墩高出水面 4 米.现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不超过 18 米,目 前吃水线上部分中央船体高 5 米,宽 16 米,且该货船在现在状况下还可多装 1000 吨货 物,但每多装 150 吨货物,船体吃水线就要上升 0.04 米,若不考虑水下深度,问:该货 船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔?为什么?

能力提升 2 2 2 10.已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x-3) +y =16 相切,则 p 的值为________. 2 11.已知抛物线 y =2x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A(3,2),求 PA+PF 的最小值,并求出取最小值时 P 点的坐标.

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1.四个标准方程的区分:焦点在一次项字母对应的坐标轴上,开口方向由一次项系数的 符号确定.当系数为正时,开口方向为坐标轴的正方向;系数为负时,开口方向为坐标 轴的负方向. 2 2 2.焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程 x =2py 通常又可以写成 y=ax ,这与以前学习的 2 二次函数的解析式是完全一致的,但需要注意的是,由方程 y=ax 来求其焦点和准线时, 必须先化成标准形式. §2.4 抛物线 2.4.1 抛物线的标准方程 知识梳理 1.相等 焦点 准线 2.(1)标准 (2)( ,0) x=- 2 2 (3)(- ,0) x= 2 2 (4)(0, ) 2 (5)(0,- ) 2 作业设计 |a| 1. 2

p p

p

向右

p

向左

p

p y=- 向上
2 2

p

p y= 向下

|a| |a| 2 解析 因为 y =ax,所以 p= ,即该抛物线的焦点到其准线的距离为 . 2 2 2 2.y =±8x 解析 由题意知抛物线的焦点为双曲线 - =1 的顶点,即为(-2,0)或(2,0),所以抛 4 2 2 2 物线的方程为 y =8x 或 y =-8x. 1 3.(0, ) 16 1 2 解析 两抛物线关于 x-y=0 对称,其焦点也关于 x-y=0 对称,y = x 的焦点坐标为 4 ? 1 ,0?,故所求抛物线焦点为?0, 1 ?. ?16 ? ? 16? ? ? ? ? 4 4. 5 解析

x2 y2

-4-

如图所示,设过点 M( 3,0)的直线方程为 y=k(x- 3),代入 y =2x 并整理, 2 2 2 2 得 k x -(2 3k +2)x+3k =0, 2 2 3k +2 则 x1+x2= . 2

2

k

因为 BF=2,所以 BB′=2. 1 3 不妨设 x2=2- = 是方程的一个根, 2 2 3 2 可得 k = ,所以 x1=2. 3 ? - 3?2 ?2 ? ? ? 1 BC·d S△BCF 2 BC BB′ 2 4 = = = = = . S△ACF 1 AC AA′ 1 5 AC·d 2+ 2 2 5.y=3 2 2 解析 抛物线 x +12y=0,即 x =-12y,故其准线方程是 y=3. 2 6.y=4x 解析 设 PQ 中点坐标为(x,y),则 P 点坐标为(2x,2y+1). 2 2 又∵点 P 在 y=2x +1 上,∴2y+1=8x +1, 2 即 y=4x . 7.(-∞,-3]∪[1,+∞) 2 2 解析 由题意知,设 P(x1,x1-1),Q(x2,x2-1), → → 又 A(-1,0) ,PA ? PQ,∴PA·PQ=0, 2 2 2 即(-1-x1,1-x1)·(x2-x1,x2-x1)=0, 2 2 2 也就是(-1-x1)·(x2-x1)+(1-x1)·(x2-x1)=0. ∵x1≠x2,且 x1≠-1, 1 1 ∴上式化简得 x2= -x1= +(1-x1)-1,由基本不等式可得 x2≥1 或 x2≤-3. 1-x1 1-x1 2 8.解 设抛物线方程为 y =-2px (p>0),

? ? 则焦点 F?- ,0?,由题意, ? 2 ?
p m =6p, ? ? 得?p -(-3)=5 ? ?2
解得?
2

?p=4, ?m=2 6,

或?

?p=4, ?m=-2 6.
2

故所求的抛物线方程为 y =-8x,m=±2 6. 抛物线的焦点坐标为(-2,0),准线方程为 x=2. 9.解

如图所示,建立直角坐标系,设抛物线方程为 y=ax , 则 A(10,-2)在抛物线上, 1 2 即-2=a×10 ,a=- , 50

2

-5-

1 2 方程即为 y=- x . 50 让货船沿正中央航行,船宽 16 米, 1 2 而当 x=8 时,y=- ×8 =-1.28(米). 50 又船体在 x=±8 之间通过,即 B(8,-1.28),此时 B 点离水面高度为 6+(-1.28)= 4.72(米), 而船体水面高度为 5 米, 所以无法直接通过; 又 5-4.72=0.28(米), 0.28÷0.04 =7,而 150×7=1050(吨). ∴用多装货物的方法也无法通过,只好等待水位下降. 10.2 解析 由抛物线的标准方程得准线方程为 x=- . 2 2 2 ∵准线与圆相切,圆的方程为(x-3) +y =16, ∴3+ =4,∴p=2. 2 11.解

p

p

由定义知,抛物线上点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线 l 的距离 d,由图可知,求 PA +PF 的问题可转化为求 PA+d 的问题. 2 将 x=3 代入抛物线方程 y =2x,得 y=± 6. ∵ 6>2,∴A 在抛物线内部. 1 设抛物线上点 P 到准线 l:x=- 的距离为 d, 2 由定义知 PA+PF=PA+d, 7 7 由图可知,当 PA⊥l 时,PA+d 最小,最小值为 ,即 PA+PF 的最小值为 , 2 2 2 此时 P 点纵坐标为 2,代入 y =2x,得 x=2. ∴点 P 坐标为(2,2). 7 故 PA+PF 的最小值为 ,且取最小值时 P 点坐标为(2,2). 2

-6-


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