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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程 理


【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第九章 平面解析 几何 9.3 圆的方程 理

1.圆的定义 在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫圆. 2.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径. 3.圆的标准方程 (x-a) +(y-b) =r (r>0),其中(a,b)为圆心,r 为半径. 4.圆的一般方程
2 2 2

E? ? D x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是 D2+E2-4F>0,其中圆心为?- ,- ?,半径 r=

? 2

2?

D2+E2-4F
2

.

5.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D、E、F 的方程组; (3)解出 a、b、r 或 D、E、F 代入标准方程或一般方程. 6.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r ,点 M(x0,y0) (1)点在圆上:(x0-a) +(y0-b) =r ; (2)点在圆外:(x0-a) +(y0-b) >r ; (3)点在圆内:(x0-a) +(y0-b) <r . 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ ) (2)已知点 A(x1,y1),B(x2,y2),则以 AB 为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

y2)=0.( √ )
(3) 方程 Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 表示圆的充要条件是 A = C≠0, B = 0 , D + E - 4AF>0.( √
2 2 2 2 2

)
2

(4)方程 x +2ax+y =0 一定表示圆.( ? )

? 1? 2 2 (5)圆 x +2x+y +y=0 的圆心是?1, ?.( ? ) ? 2?
(6)若点 M(x0,y0)在圆 x +y +Dx+Ey+F=0 外,则 x0+y0+Dx0+Ey0+F>0.(
2 2 2 2

√ )

1.(教材改编)x +y -4x+6y=0 的圆心坐标是__________. 答案 (2,-3)

2

2

? ? 2 2 2 2 解析 圆 x +y +Dx+Ey+F=0 的圆心为?- ,- ?,∴圆 x +y -4x+6y=0 的圆心为(2, 2? ? 2
D E
-3). 2.方程 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是______________. 2 答案 -2<a< 3 解析 由题意知 a +4a -4(2a +a-1)>0, 2 解得-2<a< . 3 3.(2015?北京改编)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是__________________. 答案 (x-1) +(y-1) =2 解析 ∵圆的半径 r= 1 +1 = 2,∴圆的方程为(x-1) +(y-1) =2. 4.( 教材改编 ) 圆 C 的圆心在 x 轴上,并且过点 A( - 1,1) 和 B(1,3) ,则圆 C 的方程为 ______________. 答案 (x-2) +y =10 解析 设圆心坐标为 C(a,0), ∵点 A(-1,1)和 B(1,3)在圆 C 上,∴CA=CB, 即 ?a+1? +1= ?a-1? +9, 解得 a=2,∴圆心为 C(2,0), 半径 CA= ?2+1? +1= 10, ∴圆 C 的方程为(x-2) +y =10. 5.(2015?湖北)如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0),与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B 在 A 的上方),且 AB=2. (1)圆 C 的标准方程为__________________;
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为________.

答案 (1)(x-1) +(y- 2) =2 (2)- 2-1 解析 (1)由题意,设圆心 C(1,r)(r 为圆 C 的半径),则 r =? ? +1 =2,解得 r= 2.所 ?2?
2 2

2

2

?AB?2

以圆 C 的方程为(x-1) +(y- 2) =2. (2)方法一 令 x=0,得 y= 2±1,所以点 B(0, 2+1).又点 C(1, 2),所以直线 BC 的 斜率为 kBC=-1,所以过点 B 的切线方程为 y-( 2+1)=x-0,即 y=x+( 2+1). 令 y=0,得切线在 x 轴上的截距为- 2-1. 方法二 令 x=0,得 y= 2±1,所以点 B(0, 2+1).又点 C(1, 2),设过点 B 的切线方 程为 y-( 2+1)=kx,即 kx-y+( 2+1)=0.由题意,圆心 C(1, 2)到直线 kx-y+( 2 |k- 2+ 2+1| +1)=0 的距离 d= =r= 2,解得 k=1.故切线方程为 x-y+( 2+1)= k2+1 0.令 y=0,得切线在 x 轴上的截距为- 2-1.

2

2

题型一 求圆的方程 例 1 根据下列条件,求圆的方程. (1)经过 P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在 x 轴上截得的弦长等于 6; (2)圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2). 解 (1)设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0, 将 P、Q 两点的坐标分别代入得
?2D-4E-F=20, ? ? ? ?3D-E+F=-10.
2 2

① ② 又令 y=0,得 x +Dx+F=0. 设 x1,x2 是方程③的两根, 由|x1-x2|=6 有 D -4F=36,
2 2




3

由①②④解得 D=-2,E=-4,F=-8,或 D=-6,E=-8,F=0. 故所求圆的方程为 x +y -2x-4y-8=0,或 x +y -6x-8y=0.
2 2 2 2

(2)方法一

4x0-2 如图,设圆心(x0,-4x0),依题意得 =1, 3-x0 ∴x0=1,即圆心坐标为(1,-4),半径 r=2 2, 故圆的方程为(x-1) +(y+4) =8. 方法二 设所求方程为(x-x0) +(y-y0) =r ,
2 2 2 2 2

y =-4x , ? ??3-x ? +?-2-y ? =r , 根据已知条件得? |x +y -1| =r, ? ? 2
0 0 2 2 2 0 0 0 0

=1, ?x 解得?y =-4, ?r=2 2.
0 0

因此所求圆的方程为(x-1) +(y+4) =8. 思维升华 (1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程. (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a,b)和半径 r 有关,则设圆的标准方程依据已知条件列出关于 a,b,

2

2

r 的方程组,从而求出 a,b,r 的值;
②若已知条件没有明确给出圆心或半径, 则选择圆的一般方程, 依据已知条件列出关于 D、 E、

F 的方程组,进而求出 D、E、F 的值.
(1)(2014?陕西)若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,则 圆 C 的标准方程为____________. (2) 过 点 A(4,1) 的 圆 C 与 直 线 x - y - 1 = 0 相 切 于 点 B(2 , 1) , 则 圆 C 的 方 程 为 ________________. 答案 (1)x +(y-1) =1 (2)(x-3) +y =2 解析 (1)由题意知圆 C 的圆心为(0,1),半径为 1,所以圆 C 的标准方程为 x +(y-1) =1.
4
2 2 2 2 2 2

(2)由已知 kAB=0, 所以 AB 的中垂线方程为 x=3.① 过 B 点且垂直于直线 x-y-1=0 的直线方程为 y-1=-(x-2),即 x+y-3=0,② 联立①②, 解得?
? ?x=3, ? ?y=0,

所以圆心坐标为(3,0), 半径 r= ?4-3? +?1-0? = 2, 所以圆 C 的方程为(x-3) +y =2. 题型二 与圆有关的最值问题 命题点 1 斜率型最值问题 例 2 已知实数 x 、 y 满足方程 x + y - 4x + 1 = 0 ,则 的最大值为 ________ ,最小值为
2 2 2 2 2 2

y x

________. 答案 解析 3 - 3

如图,方程 x +y -4x+1=0 表示以点(2,0)为圆心,以 3为半径的圆. 设 =k,即 y=kx, 则圆心(2,0)到直线 y=kx 的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值. 由 |2k-0| 2 = 3,解得 k =3, 2 k +1

2

2

y x

∴kmax= 3,kmin=- 3. (也可由平面几何知识,得 OC=2,CP= 3,∠POC=60°,直线 OP 的倾斜角为 60°,直线

OP′的倾斜角为 120°)
命题点 2 截距型最值问题 例 3 在例 2 条件下,求 y-x 的最小值和最大值. 解 设 y-x=b,则 y=x+b,仅当直线 y=x+b 与圆切于第四象限时,截距 b 取最小值,由

5

|2-0+b| 点到直线的距离公式,得 = 3,即 b=-2± 6, 2 故(y-x)min=-2- 6, (y-x)max=-2+ 6. 命题点 3 距离型最值问题 例 4 在例 2 条件下,求 x +y 的最大值和最小值.
2 2



x2+y2 表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两
个交点处取得最大值和最小值(如图). 又因为圆心到原点的距离为 ?2-0? +?0-0? =2, 所以 x +y 的最大值是(2+ 3) =7+4 3,
2 2 2 2 2

x2+y2 的最小值为(2- 3)2=7-4 3.
思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几 何性质数形结合求解. (2)与圆上点(x,y)有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如 u=

y-b 型的最值问题,可 x-a

转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题;②形如 t=ax+by 型的最值问题, 可转化为动直线的截距的最值问题;③形如(x-a) +(y-b) 型的最值问题,可转化为动点 到定点(a,b)的距离平方的最值问题. (1)设 P 是圆(x-3) +(y+1) =4 上的动点,Q 是直线 x=-3 上的动点,则 PQ 的最小值为 ________. 答案 4 解析 PQ 的最小值为圆心到直线的距离减去半径.因为圆的圆心为(3,-1),半径为 2,所以
2 2 2 2

PQ 的最小值 d=3-(-3)-2=4.
(2)已知 M 为圆 C:x +y -4x-14y+45=0 上任意一点,且点 Q(-2,3). ①求 MQ 的最大值和最小值; ②若 M(m,n),求
2 2

n-3 的最大值和最小值. m+2

6

解 ①由圆 C:x +y -4x-14y+45=0, 可得(x-2) +(y-7) =8, 所以圆心 C 的坐标为(2,7), 半径 r=2 2. 又 QC= ?2+2? +?7-3? =4 2. 所以 MQmax=4 2+2 2=6 2,
2 2 2 2

2

2

MQmin=4 2-2 2=2 2.
②可知

n-3 表示直线 MQ 的斜率, m+2

设直线 MQ 的方程为 y-3=k(x+2), 即 kx-y+2k+3=0,则

n-3 =k. m+2

由直线 MQ 与圆 C 有交点, |2k-7+2k+3| 所以 ≤2 2, 2 1+k 可得 2- 3≤k≤2+ 3, 所以

n-3 的最大值为 2+ 3,最小值为 2- 3. m+2

题型三 与圆有关的轨迹问题 例 5 设定点 M(-3,4), 动点 N 在圆 x +y =4 上运动, 以 OM、 ON 为两边作平行四边形 MONP, 求点 P 的轨迹. 解
2 2

? ? 如图所示,设 P(x,y),N(x0,y0),则线段 OP 的中点坐标为? , ?,线段 MN 的中点坐标为 ?2 2?
x y

?x0-3,y0+4?.由于平行四边形的对角线互相平分, ? 2 2 ? ? ?
?x0=x+3, ? x x0-3 y y0+4 故 = , = .从而? 2 2 2 2 ? ?y0=y-4.

又 N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3) +(y-4) =4. 因此所求轨迹为圆:(x+3) +(y-4) =4,
2 2

2

2

? 9 12? ? 21 28? 但应除去两点?- , ?和?- , ?(点 P 在直线 OM 上的情况). ? 5 5? ? 5 5?
7

思维升华 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法: ①直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. ②定义法:根据圆、直线等定义列方程. ③几何法:利用圆的几何性质列方程. ④代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等. 已知圆 x +y =4 上一定点 A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q 为圆上的动点. (1)求线段 AP 中点的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90°,求线段 PQ 中点的轨迹方程. 解 (1)设 AP 的中点为 M(x,y),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x-2,2y). 因为 P 点在圆 x +y =4 上, 所以(2x-2) +(2y) =4, 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x-1) +y =1. (2)设 PQ 的中点为 N(x,y),连结 BN. 在 Rt△PBQ 中,PN=BN. 设 O 为坐标原点,连结 ON,则 ON⊥PQ, 所以 OP =ON +PN =ON +BN , 所以 x +y +(x-1) +(y-1) =4. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x +y -x-y-1=0.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

19.利用几何性质巧设方程求半径

典例 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x -6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上,求圆 C 的 方程. 思维点拨 本题可采用两种方法解答,即代数法和几何法. 规范解答 解 一般解法 (代数法)曲线 y=x -6x+1 与 y 轴的交点为(0,1), 与 x 轴的交点为(3+2 2, 0),(3-2 2,0),设圆的方程是 x +y +Dx+Ey+F=0 (D +E -4F>0),
2 2 2 2 2

2

?1+E+F=0, 则有??3+2 2? +D?3+2 ??3-2 2? +D?3-2
2 2 2 2 2

2?+F=0, 2?+F=0,

D=-6, ? ? 解得?E=-2, ? ?F=1,

故圆的方程是 x +y -6x-2y+1=0. 巧妙解法 (几何法)曲线 y=x -6x+1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交点为(3+2 2, 0),(3-2 2,0).

8

故可设 C 的圆心为(3,t),则有 3 +(t-1) =(2 2) +t ,解得 t=1. 则圆 C 的半径为 3 +?t-1? =3, 所以圆 C 的方程为(x-3) +(y-1) =9. 温馨提醒 (1)一般解法(代数法):可以求出曲线 y=x -6x+1 与坐标轴的三个交点,设圆 的方程为一般式,代入点的坐标求解析式. (2)巧妙解法(几何法):利用圆的性质,知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上,从而 设圆的方程为标准式, 简化计算.显然几何法比代数法的计算量小, 因此平时训练多采用几何 法解题.
2 2 2 2 2

2

2

2

2

[方法与技巧] 1.确定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法,是 指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式,进而确定其中的三个参数. 2.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算. [失误与防范] 1.求圆的方程需要三个独立条件,所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方 程. 2.过圆外一定点,求圆的切线,应该有两个结果,若只求出一个结果,应该考虑切线斜率不 存在的情况.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.已知点 A(1,-1),B(-1,1),则以线段 AB 为直径的圆的方程是____________. 答案 x +y =2 解析 AB 的中点坐标为(0,0),
2 2

AB= [1-?-1?]2+?-1-1?2=2 2,
∴圆的方程为 x +y =2. 2. 设圆的方程是 x + y + 2ax + 2y + (a - 1) = 0 ,若 0 < a < 1 ,则原点与圆的位置关系是 ______. 答案 原点在圆外 解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x+a) +(y+1) =2a, 因为 0<a<1,
9
2 2 2 2 2 2 2

所以(0+a) +(0+1) -2a=(a-1) >0, 即 ?0+a? +?0+1? > 2a, 所以原点在圆外. 3.已知圆 M 的圆心在 x 轴上,且圆心在直线 l1:x=-2 的右侧,若圆 M 截直线 l1 所得的弦长 为 2 3,且与直线 l2:2x- 5y-4=0 相切,则圆 M 的方程为______________. 答案 (x+1) +y =4 解析 由 已 知 , 可 设 圆 M 的 圆 心 坐 标 为 (a,0) , a > - 2 , 半 径 为 r , 得
2 2 2 2

2

2

2

??a+2?2+? 3?2=r2, ? ?|2a-4| =r, ? ? 4+5
解得满足条件的一组解为?
2

? ?a=-1, ?r=2, ?
2

所以圆 M 的方程为(x+1) +y =4. 4.点 P(4,-2)与圆 x +y =4 上任一点连线的中点的轨迹方程是______________. 答案 (x-2) +(y+1) =1 解析 设圆上任一点坐标为(x0,y0),
2 x2 0+y0=4,连线中点坐标为(x,y), 2 2 2 2

? ?2x=x0+4 则? ?2y=y0-2 ?
2 2

??

? ?x0=2x-4, ?y0=2y+2, ?
2 2

代入 x0+y0=4 中得(x-2) +(y+1) =1. 2 5. 圆心在曲线 y = (x > 0) 上,且与直线 2x + y + 1 = 0 相切的面积最小的圆的方程为

x

______________. 答案 (x-1) +(y-2) =5 2 解析 由圆心在曲线 y= (x>0)上,
2 2

x

? 2? 设圆心坐标为?a, ?,a>0. ?
a?
又圆与直线 2x+y+1=0 相切, 2 2a+ +1 a 4+1 所以圆心到直线的距离 d= ≥ = 5, 5 5 2 当且仅当 2a= ,即 a=1 时取等号,

a

所以圆心坐标为(1,2),

10

圆的半径的最小值为 5, 则所求圆的方程为(x-1) +(y-2) =5. 6.若圆 C 经过坐标原点和点(4,0), 且与直线 y=1 相切, 则圆 C 的方程是__________________.
2 2

? 3?2 25 2 答案 (x-2) +?y+ ? = ? 2? 4
解析

如图,设圆心坐标为(2,y0),半径为 r,则
?y0+4=r , ? ? ? ?|1-y0|=r,
2 2

3 5 解得 y0=- ,r= , 2 2

? 3?2 25 2 ∴圆 C 的方程为(x-2) +?y+ ? = . ? 2? 4
7.已知圆 O:x +y =1,直线 x-2y+5=0 上动点 P,过点 P 作圆 O 的一条切线,切点为 A, → → 则PO?PA的最小值为________. 答案 4 解析 圆心 O 到直线 x-2y+5=0 的距离为 → 即|PO|min= 5. → → ∵PA 与圆 O 相切,∴PA⊥OA,即PA?AO=0, → → → → → →2 → 2 → 2 ∴PO?PA=(PA+AO)?PA=PA =|PO| -|AO| ≥5-1=4. 8.(2014?湖北)已知圆 O: x +y =1 和点 A(-2,0), 若定点 B(b,0)(b≠-2)和常数 λ 满足: 对圆 O 上任意一点 M,都有 MB=λ MA,则 (1)b=________; (2)λ =________. 1 答案 (1)- 2 1 (2) 2
2 2 2 2

5

= 5, 5

解析 (1)因为点 M 为圆 O 上任意一点,所以不妨取圆 O 与 x 轴的两个交点(-1,0)和(1,0). 当 M 点取(-1,0)时,由 MB=λ MA,得|b+1|=λ ; 当 M 点取(1,0)时,由 MB=λ MA,得|b-1|=3λ .
11

消去 λ ,得|b-1|=3|b+1|. 两边平方,化简得 2b +5b+2=0, 1 解得 b=- 或 b=-2(舍去). 2 1 (2)由|b+1|=λ ,得 λ = . 2 9.一圆经过 A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为 2,求此圆的方程. 解 设所求圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0. 令 y=0,得 x +Dx+F=0,所以 x1+x2=-D. 令 x=0,得 y +Ey+F=0,所以 y1+y2=-E. 由题意知-D-E=2,即 D+E+2=0. 又因为圆过点 A、B,所以 16+4+4D+2E+F=0. 1+9-D+3E+F=0. 解①②③组成的方程组得 D=-2,E=0,F=-12. 故所求圆的方程为 x +y -2x-12=0. 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2,在 y 轴上截得线段长 为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 2 ,求圆 P 的方程. 2
2 2 2 2 2 2 2

① ② ③

解 (1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 则 y +2=r ,x +3=r . ∴y +2=x +3,即 y -x =1. ∴P 点的轨迹方程为 y -x =1. (2)设 P 的坐标为(x0,y0), 则 |x0-y0| 2 = ,即|x0-y0|=1. 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴y0-x0=±1,即 y0=x0±1. ①当 y0=x0+1 时,由 y0-x0=1 得(x0+1) -x0=1. ∴?
? ?x0=0, ?y0=1, ?
2 2 2 2

∴r =3.
2 2

2

∴圆 P 的方程为 x +(y-1) =3. ②当 y0=x0-1 时,由 y0-x0=1 得(x0-1) -x0=1. ∴?
? ?x0=0, ?y0=-1, ?
2 2 2 2

∴r =3.
12

2

∴圆 P 的方程为 x +(y+1) =3. 综上所述,圆 P 的方程为 x +(y±1) =3. B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 11.(2014?山东)圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦的 长为 2 3,则圆 C 的标准方程为______________________. 答案 (x-2) +(y-1) =4 解析 设圆 C 的圆心为(a,b)(b>0), 由题意得 a=2b>0,且 a =( 3) +b , 解得 a=2,b=1. ∴所求圆的标准方程为(x-2) +(y-1) =4. 12.设 P 为直线 3x+4y+3=0 上的动点,过点 P 作圆 C:x +y -2x-2y+1=0 的两条切线, 切点分别为 A,B,则四边形 PACB 的面积的最小值为________. 答案 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

解析 依题意,圆 C:(x-1) +(y-1) =1 的圆心是点 C(1,1),半径是 1, 10 易知 PC 的最小值等于圆心 C(1,1)到直线 3x+4y+3=0 的距离,即 =2, 5 而四边形 PACB 的面积等于 1 2S△PAC=2?( PA?AC) 2 =PA?AC=PA= PC -1= 2 -1= 3, 因此四边形 PACB 的面积的最小值是 3. 13.过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x +y ≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之 差最大,则该直线的方程为________. 答案 x+y-2=0 解析 当圆心与 P 的连线和过点 P 的直线垂直时, 符合条件.圆心 O 与 P 点连线的斜率 k=1, 所求直线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0. 14.已知点 A(-3,0),B(3,0),动点 P 满足 PA=2PB. (1)若点 P 的轨迹为曲线 C,求此曲线的方程; (2)若点 Q 在直线 l1:x+y+3=0 上,直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M,求 QM 的最小值. 解 (1)设点 P 的坐标为(x,y), 则 ?x+3? +y =2 ?x-3? +y . 化简可得(x-5) +y =16,此即为所求.
13
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(2)曲线 C 是以点(5,0)为圆心,4 为半径的圆,如图,

由直线 l2 是此圆的切线,连结 CQ,CM, 则 QM= CQ -CM = CQ -16, 当 CQ⊥l1 时,CQ 取最小值,
2 2 2

CQ=

|5+3| =4 2, 2

此时 QM 的最小值为 32-16=4. 15.如图,已知圆 O 的直径 AB=4,定直线 l 到圆心的距离为 4,且直线 l 垂直于直线 AB.点 P 是圆 O 上异于 A,B 的任意一点,直线 PA,PB 分别交 l 于 M,N 两点.

(1)若∠PAB=30°,求以 MN 为直径的圆的方程; (2)当点 P 变化时,求证:以 MN 为直径的圆必过圆 O 内的一定点. (1)解 如图,建立直角坐标系,得⊙O 的方程为 x +y =4,直线 l 的方程为 x=4.
2 2

当点 P 在 x 轴上方时, 因为∠PAB=30°, 所以点 P 的坐标为(1, 3), 所以 lAP:y= 3 (x+2), 3

14

lBP:y=- 3(x-2).
将 x=4 分别代入, 得 M(4,2 3),N(4,-2 3), 所以线段 MN 的中点坐标为(4,0),MN=4 3. 所以以 MN 为直径的圆的方程为(x-4) +y =12. 同理,当点 P 在 x 轴下方时, 所求圆的方程仍是(x-4) +y =12. 综上,以 MN 为直径的圆的方程为(x-4) +y =12. (2)证明 设点 P 的坐标为(x0,y0),则 y0≠0, 所以 x0+y0=4(y0≠0), 所以 y0=4-x0. 因为 lPA:y=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y0 (x+2), x0+2

y0 lPB:y= (x-2), x0-2
将 x=4 分别代入, 得 yM= 6y0 , x0+2

2y0 yN= , x0-2 所以 M?4,

? ?

6y0 ? ? 2y0 ? ,N?4, ?, x0+2? x 0-2? ? ?

所以 MN=?

? 6y0 - 2y0 ?=4|x0-4|, ? |y0| ?x0+2 x0-2? ?
y0

4?x0-1?? ? 线段 MN 的中点坐标为?4,- ?,

?

以 MN 为直径的圆 O′截 x 轴所得的线段长度为 2 = = 4?x0-4?
2

y2 0
4 2 12-3x0 |y0| 4 3 2 4-x0 |y0|

16?x0-1? - 2

2

y0

=4 3. 则圆 O′与 x 轴的两交点坐标分别为(4-2 3,0),(4+2 3,0). 又(4-2 3) +0 =28-16 3<4,
15
2 2

(4+2 3) +0 =28+16 3>4, 所以圆 O′必过圆 O 内定点(4-2 3,0).

2

2

16


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