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2015届高考数学总复习(人教A版,理科)配套题库: 数列的概念与简单表示法(含答案解析)]


第六章
第1讲
一、选择题

数 列

数列的概念与简单表示法

5 7 9 1.数列{an}:1,- , ,- ,…的一个通项公式是( 8 15 24 A.an=(-1)
n+1

)

2n-1 (n∈N+) n2+n 2n+1 (n∈N+) n3+3n 2n-1 (n∈N+) n2+2n 2n+1 (n∈N+) n2+2n 3 5 7 9 ,- , ,- ,故选 D. 1×3 2×4 3×5 4×6

B.an=(-1)n-1 C.an=(-1)n+1 D.an=(-1)n-1 解析 答案

观察数列{an}各项,可写成: D

2.把 1,3,6,10,15,21 这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以排成 一个正三角形(如图所示).

则第七个三角形数是( A.27 解析 B.28

). C.29 D.30

观察三角形数的增长规律, 可以发现每一项与它的前一项多的点数正好

是本身的序号, 所以根据这个规律计算即可. 根据三角形数的增长规律可知第 七个三角形数是 1+2+3+4+5+6+7=28. 答案 B

3.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1(n∈N*),则 a5= ( A.-16 B.16 C.31 ). D.32

解析

当 n=1 时,S1=a1=2a1-1,∴a1=1,

又 Sn-1=2an-1-1(n≥2),∴Sn-Sn-1=an=2(an-an-1). an ∴ =2.∴an=1×2n-1,∴a5=24=16. an-1 答案 B

4. 将石子摆成如图的梯形形状, 称数列 5,9,14,20, …为梯形数, 根据图形的构成, 此数列的第 2 014 项与 5 的差即 a2 014-5=( ).

A.2 020×2 012 C.1 010×2 012 解析

B.2 020×2 013 D.1 010×2 013
014

结合图形可知,该数列的第 n 项 an=2+3+4+…+(n+2).所以 a2 D ).

-5=4+5+…+2 016=2 013×1 010.故选 D. 答案 5.在数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是 ( A.103 解析 B. 865 8 C. 825 8

D.108

根 据 题 意 并 结 合 二 次 函 数 的 性 质 可 得 : an = - 2n2 + 29n + 3 = -

29? 841 ? 2 29 ? ? 2?n - n?+3=-2?n- ?2+3+ , 2 ? 4? 8 ? ? ∴n=7 时,an 取得最大值,最大项 a7 的值为 108. 答案 D

6. 定义运算“*”, 对任意 a, b∈R, 满足①a*b=b*a; ②a*0=a; (3)(a*b)*c=c*(ab) 1 +(a*c)+(c*b).设数列{an}的通项为 an=n*n*0,则数列{an}为( A.等差数列 C.递增数列 解析 B.等比数列 D.递减数列 ).

1 1 ?0]1? ? 1? ? ?)=1+n+ ,显然数列{an} 由题意知 an=?n*n?*0=0]n· + ( n *0) + n n ? ? ?n ?

1 既不是等差数列也不是等比数列;又函数 y=x+x在[1,+∞)上为增函数, 所以数列{an}为递增数列.

答案

C

二、填空题 7.在函数 f(x)= x中,令 x=1,2,3,…,得到一个数列,则这个数列的前 5 项 是________. 答案 1, 2, 3,2, 5

8.已知数列{an}满足 a1=1,且 an=n(an+1-an)(n∈N*),则 a2=________;an= ________. 解析 an+1 n+1 由 an=n(an+1-an),可得 a = n , n

n-1 n-2 an an-1 an-2 a2 n 2 则 an= · · · …· · a1= × × ×…×1×1=n,∴a2=2,an a an-1 an-2 an-3 n-1 n-2 n-3 1 =n. 答案 2 n

9.已知 f(x)为偶函数,f(2+x)=f(2-x),当-2≤x≤0 时,f(x)=2x,若 n∈N*, an=f(n),则 a2 013=________. 解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),

∴f(x+2)=f(2-x)=f(x-2). 故 f(x)周期为 4, 1 ∴a2 013=f(2 013)=f(1)=f(-1)=2-1=2. 答案 1 2

10.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 的值为 ________. 解析 ∵Sn=n2-9n,

∴n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-10,

a1=S1=-8 适合上式,∴an=2n-10(n∈N*),
∴5<2k-10<8,得 7.5<k<9.∴k=8. 答案 8

三、解答题 11.数列{an}的通项公式是 an=n2-7n+6.

(1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数? 解 (1)当 n=4 时,a4=42-4×7+6=-6.

(2)令 an=150,即 n2-7n+6=150,解得 n=16,即 150 是这个数列的第 16 项. (3)令 an=n2-7n+6>0,解得 n>6 或 n<1(舍), ∴从第 7 项起各项都是正数. 1 12.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=2.
?1? (1)求证:?S ?成等差数列; ? n?

(2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 当 n≥2 时,由 an+2SnSn-1=0,

1 1 得 Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以S - =2, n Sn-1
?1? 1 1 又S =a =2,故?S ?是首项为 2,公差为 2 的等差数列.
1 1

? n?

(2)解

1 1 由(1)可得S =2n,∴Sn=2n.
n

当 n≥2 时, 1 an=Sn-Sn-1=2n- n-1-n 1 1 = =- . 2?n-1? 2n?n-1? 2n?n-1?

1 当 n=1 时,a1=2不适合上式. 1 ? ?2,n=1, 故 an=? 1 - ? ? 2n?n-1?,n≥2. 13.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (2)若 an+1≥an,n∈N*,求 a 的取值范围.



(1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,

即 Sn+1=2Sn+3n,由此得 Sn+1-3n+1=2(Sn-3n), 又 S1-31=a-3(a≠3),故数列{Sn-3n}是首项为 a-3,公比为 2 的等比数列, 因此,所求通项公式为 bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*. (2)由(1)知 Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*, 于是,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1 +(a-3)2n-2, 当 n=1 时,a1=a 不适合上式, ?a,n=1, 故 an=? n-1 n-2 ?2×3 +?a-3?2 ,n≥2. an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2 ? ?3?n-2 ? ? ? +a-3?, =2n-2?12· ? ?2? ? ?3?n-2 ?2? +a-3≥0?a≥-9. 当 n≥2 时,an+1≥an?12· ? ? 又 a2=a1+3>a1. 综上,所求的 a 的取值范围是[-9,+∞). 14.在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意 m∈N*,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为 bm,求数 列{bm}的前 m 项和 Sm. 解 (1)因为{an}是一个等差数列,

所以 a3+a4+a5=3a4=84,即 a4=28. 设数列{an}的公差为 d,则 5d=a9-a4=73-28=45,故 d=9. 由 a4=a1+3d 得 28=a1+3×9,即 a1=1. 所以 an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8(n∈N*). (2)对 m∈N*,若 9m<an<92m, 则 9m+8<9n<92m+8,因此 9m-1+1≤n≤92m-1, 故得 bm=92m-1-9m-1. 于是 Sm=b1+b2+b3+…+bm =(9+93+…+92m-1)-(1+9+…+9m-1)

9×?1-81m? 1-9m = - 1-81 1-9 92m+1-10×9m+1 = . 80

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