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【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固:第11章 第1节 两个计数原理(理)


第十一章

第一节

一、选择题 1.5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名 方法共有( A.10 种 C.25 种 [答案] D [解析] 因为每人均有两种选择方法,所以不同的报名方法有 25=32 种. 2. 从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持本班的某次主题班会, 则不同的选法为( A.6 种 C .3 种 [答案] B [解析] 有 3+2=5 种. 3.6 位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序 共有( ) B.360 种 D.720 种 B.5 种 D.2 种 ) ) B.20 种 D.32 种

A.240 种 C.480 种 [答案] C

[解析] 本题考查了排列问题的应用.由题意,甲可从 4 个位置选择一个,其余元素不限
5 制,所以所有不同次序共有 A1 4A5=480.利用特殊元素优先安排的原则分步完成得到结论.

4.某银行储蓄卡的密码是一个 4 位数码,某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、 个位上的数字(如 2 816)的方法设计密码,当积为一位数时,十位上数字选 0,千位、百位上都 能取 0.这样设计出来的密码共有( A.90 个 C.100 个 [答案] C [解析] 由于千位、百位确定下来后十位、个位就随之确定,则只考虑千位、百位即可, 千位、百位各有 10 种选择,所以有 10×10=100(个). 5.某单位有 7 个连在一起的车位,现有 3 辆不同型号的车需停放,如果要求剩余的 4 个 车位连在一起,则不同的停放方法的种数为( A.16 C.24 ) B.18 D.32
-1-

) B.99 个 D.112 个

[答案] C [解析] 若将 7 个车位从左向右按 1~7 进行编号, 则该 3 辆车有 4 种不同的停放方法: (1) 停放在 1~3 号车位; (2)停放在 5~7 号车位; (3)停放在 1,2,7 号车位; (4)停放在 1,6,7 号车位. 每 一种停放方法均有 A3 3=6 种,故共有 24 种不同的停放方法. 6.某化工厂生产中需依次投放 2 种化工原料,现已知有 5 种原料可用,但甲、乙两种原 料不能同时使用, 且依次投料时, 若使用甲原料, 则甲必须先投放, 则不同的投放方案有( A.10 种 C.15 种 [答案] C [解析] 依题意,可将所有的投放方案分成三类,①使用甲原料,有 C1 1=3 种投放方案; 3·
2 ②使用乙原料,有 C1 A2 =6 种投放方案;③甲、乙原料都不使用,有 A2 3· 3=6 中投放方案,所

)

B.12 种 D.16 种

以共有 3+6+6=15 种投放方案. 二、填空题 7.(原创题)美女换装游戏中,有 5 套裙子,4 双鞋子,3 顶帽子,要求裙、鞋、帽必须且 只能各选择一件,则有________种装扮方案. [答案] 60 [解析] 根据分步计数原理知,有 5×4×3=60 种. 8.8 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各 4 人,分别进行单循环赛, 每组决出前两名,再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠、亚军, 败者角逐第 3,4 名,大师赛共有________场比赛. [答案] 16 [解析] 小组赛共有 2C2 4场比赛;半决赛和决赛共有 2+2=4 场比赛;根据分类加法计数 原理共有 2C2 4+4=16 场比赛. 9.农科院小李在做某项试验中,计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这 6 种 种子中选出 4 种,分别种植在 4 块不同的空地上(1 块空地只能种 1 种作物),若小李已决定在 第 1 块空地上种玉米或高粱,则不同的种植方案有________种.(用数字作答) [答案] 120
3 [解析] 由已知条件可得第 1 块地有 C1 2种种植方法,则第 2~4 块地共有 A5种种植方法, 3 由分步乘法计数原理可得,不同的种植方案有 C1 2A5=120 种.

三、解答题 10.一个口袋里有 5 封信,另一个口袋里有 4 封信,各封信内容均不相同. (1)从两个口袋里任取一封信,有多少种不同的取法? (2)从两个口袋里各取一封信,有多少种不同的取法? (3)把这两个口袋里的 9 封信,分别投入 4 个邮筒,有多少种不同的投法?
-2-

[解析] (1)任取一封信,不论从哪个口袋里取,都能单独完成这件事,因此是两类办法. 用分类加法计数原理,共有 5+4=9(种). (2)各取一封信,不论从哪个口袋中取,都不能算完成了这件事,因此应分两步骤完成. 由分步乘法计数原理,共有 5×4=20(种). (3)第一封建信投入邮筒有 4 种可能,第二封建信仍有 4 种可能,?,第九封建信还有 4 种可能.由分步乘法计数原理可知,共有 49=262144 种不同的投法.

一、选择题 1.如图,A、B、C、D 为四个村庄,要修筑三条公路,将这四个村庄连起来,则不同的 修筑方法共有( )

A.8 种 C.16 种 [答案] C

B.12 种 D.20 种

[解析] 修筑方案可分为两类,一类是“折线型”,用三条公路把四个村庄连在一条曲线 1 上(如图(1),A-B-C-D),有 A4 种方法;另一类是“星型”,以某一个村庄为中心,用三 2 4 条公路发散状连接其他三个村庄(如图(2),A-B,A-C,A-D),有 4 种方法.共有 12+4= 16 种方法.

2.如图,用 6 种不同的颜色把图中 A、B、C、D 四块区域分开,若相邻区域不能涂同一 种颜色,则不同的涂色共有( )

A.400 种 C.480 种 [答案] C

B.460 种 D.496 种

[解析] 从 A 开始, 有 6 种方法, B 有 5 种, C 有 4 种, D 有 4 种, ∴不同涂法有 6×5×4×4

-3-

=480(种),故选 C. 二、填空题 3.用数字 2、3 组成四位数,且数字 2、3 至少都出现一次,这样的四位数共有________ 个.(用数字作答) [答案] 14 [解析] 数字 2,3 至少都出现一次,包括以下情况: “2”出现 1 次,“3”出现 3 次,共可组成 C1 4=4(个)四位数. “2”出现 2 次,“3”出现 2 次,共可组成 C2 4=6(个)四位数. “2”出现 3 次,“3”出现 1 次,共可组成 C3 4=4(个)四位数. 综上所述,共可组成 14 个这样的四位数. 4.江西省某中学,为了满足新课改的需要,要开设 9 门课程共学生选修,其中 A、B、C 三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定,每位同学选修 4 门,共有________种不同 的选修方案.(用数值作答) [答案] 75 [解析] 第一类,若从 A、B、C 三门选一门有 C1 C3 3· 6=60(种),第二类,若从其他六门中 选 4 门有 C4 6=15(种), ∴共有 60+15=75 种不同的方法. 三、解答题 5.已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问 (1)P 可表示平面上多少个不同的点? (2)P 可表示平面上多少个第二象限的点? (3)P 可表示多少个不在直线 y=x 上的点? [分析] 完成“确定点 P”这件事需依次确定横、纵坐标,应用分步乘法计数原理. [解析] (1)确定平面上的点 P(a,b)可分两步完成:第一步确定 a 的值,共有 6 种确定方 法; 第二步确定 b 的值, 也有 6 种确定方法. 根据分步乘法计数原理, 得到平面上的点数是 6×6 =36 个. (2)确定第二象限的点,可分两步完成:第一步确定 a,由于 a<0,所以有 3 种确定方法; 第二步确定 b,由于 b>0,所以有 2 种确定方法. 由分步乘法计数原理,得到第二象限点的个数是 3×2=6. (3)点 P(a, b)在直线 y=x 上的充要条件是 a=B. 因此 a 和 b 必须在集合 M 中取同一元素, 共有 6 种取法,即在直线 y=x 上的点有 6 个. 由(1)得不在直线 y=x 上的点共有 36-6=30 个. [点评] 利用分步乘法计数原理解决问题:①要按事件发生的过程合理分步,即分步是有
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先后顺序的;②各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各个步骤都完成才算完成这件事. 6.编号为 A,B,C,D,E 的五个小球放在如图所示的五个盒子里,要求每个盒子只能 放一个小球,且 A 球不能放在 1,2 号,B 球必须放在与 A 球相邻的盒子中,则不同的放法有多 少种?

[分析] 根据 A 球、B 球所在位置进行分类讨论. [解析] 根据 A 球所在位置分三类: (1)若 A 球放在 3 号盒子内,则 B 球只能放在 4 号盒子内,余下的三个盒子放球 C,D,E
3 有 A3 3=6 种不同的放法,则根据分步计数原理,此时有 A3=6 种不同的放法;

(2)若 A 球放在 5 号盒子内,则 B 球只能放在 4 号盒子内,余下的三个盒子放球 C,D,E
3 有 A3 3=6 种不同的放法,则根据分步计数原理,此时有 A3=6 种不同的放法;

(3)若 A 球放在 4 号盒子内,则 B 球可以放在 2 号,3 号,5 号盒子中的任何一个,余下的
1 3 三个盒子放球 C,D,E 有 A3 3种不同的放法,根据分步计数原理,此时有 A3A3=18 种不同的

放法. 综上所述,由分类计数原理得不同的放法共有 6+6+18=30 种.

-5-


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