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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)_图文

§ 1.4.2 正弦函数、 余弦函数的性质 (一)

引入
y

o

x

周期函数: 对于函数f(x),若存在一个非零常数 T ,使
得当x取定义域内的每一个值 时,都有 f ( x ? T ) ? f ( x)

称之, 非零常数T叫做这个函数的周期.

新课
若在周期函数 f(x)的所有周期中存 在一个最小的正数, 则这个最小正数就 叫做f(x)的最小正周期.

一、周期性 正弦函数是周期函数 ,2k?( k ? Z , k ? 0)都
是它的周期, 最小正周期是 2?; 余弦函数是周期函数 ,2k?( k ? Z , k ? 0)都 是它的周期, 最小正周期是 2? .

举例
例1、求下列函数的周 期:
若不加特别说明 , (1) y ? 3 cos x, x ? R; 都指最小正周期 . (2) y ? sin 2 x, x ? R; 1 ? (3) y ? 2 sin( x ? ), x ? R; 2 6 (4) y ? A sin( ?x ? ? ), x ? R.( A ? 0, ? ? 0)

解:(1)∵

3cos( x ? 2? ) ? 3cos x

∴自变量x只要并且至少要增加到x+2π ,函数
y ? 3 cos x, x ? R 的值才能重复出现.

所以,函数 y ? 3 cos x, x ? R 的周期是 2?
(2) sin(2 x ? 2? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x

∴自变量x只要并且至少要增加到x+π ,函数
y ? sin 2 x, x ? R 的值才能重复出现.

所以,函数 y ? sin 2 x, x ? R 的周期是

?

(3)

1 ? 1 ? 1 ? 2sin( x ? ? 2? ) ? 2sin[ ( x ? ? ) ? ] ? 2sin( x ? ) 2 6 2 6 2 6

∴自变量x只要并且至少要增加到x+π ,函数
1 ? y ? 2sin( x ? ) 2 6

的值才能重复出现. 的周期是π

所以,函数

1 ? y ? 2sin( x ? ), x ? R 2 6

思考(4)
y ? A sin( ?x ? ?), x ? R.( A ? 0, ? ? 0) y ? A cos(?x ? ?), x ? R.( A ? 0, ? ? 0)

2? T? ?

二、奇偶性
y

o

x

正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数.

三、最大值与最小值
y

o

x

正弦函数当且仅当x ? 2k? ? 且仅当x ? 2k? ?

?
2

, k ? Z时取得最大值1,当

?

2 余弦函数当且仅当x ? 2k? , k ? Z时取得最大值1,当且仅 当x ? 2k? ? ? , k ? Z时取得最小值 ? 1.

, k ? Z时取得最小值 ? 1;

例2、求下列函数的最 值,及取得最值时自 变量x的集合:

(1) y ? cos x ? 1, x ? R; (2) y ? ?3 sin 2 x, x ? R;

小结

1. 周期函数的定义,周期,最小正周期
2. 三角函数的奇、偶性

3. 三角函数的单调性;

作业


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