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湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考数学(理)试题 Word版(

湖北省部分重点中学 2017 届高三上学期第二次联考数学(理)试题 Word 版(最后三题更正版)
一、选择题 1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 试题分析:根据三视图可知该几何体为底面为等腰直角三角形,一条长为 的侧棱垂直于底 面的三棱锥,如下图,可把该几何体还原为直三棱柱(或长方体),从而得到几何体的外接 球的半径 ,所以该几何体的外接球的表面积为 ,故选 B.

考点:三视图与几何体的表面积. 【方法点睛】本题主要考查了几何体的三视图与几何体的表面积,考查考生的空间想象能力, 属于基础题.解答本题的关键根据给出的三视图还原出几何体,再由三视图的特征得到几何体 的结构特征,同时本题考查了几何体外接球的表面积,需要把几何体补形为三棱柱或长方体, 从而得到外接球的直径于几何体棱长之间的关系. 2.已知集合 A. B. C. ,集合 D. ,则 ()

【答案】A 【解析】 解析:因 或 ,故 ,应选答案 A。 ( 是虚数单位),则 的共轭复数 () ,所以

3.复数 满足

A. 【答案】C 【解析】 解析:因

B.

C.

D.

,故

,应选答案 C。

4.已知双曲线 C 的中心在原点,焦点在 轴上,若双曲线 C 的一条渐近线与直线 平行,则双曲线 C 的离心率为( ) A. B. C. D.

【答案】A 【解析】 解析:设双曲线的方程为 5.已知 成立,则 A. B. C. D. ,由题意 ,则 ,应选答案 A。 使得对任意实数 总有

的最大值为 ,若存在实数 的最小值为( )

【答案】B 【解析】 解析:因 时, 6.若等边 A. B. ,故 的边长为 3,平面内一点 M 满足 C. D. ,则 ,应选答案 A。 ,则 的值为( ) ;当

【答案】A 【解析】 解析:因 ,则 ,应选答案 A。 7.已知 A. B. C. D. ,则 的最小值为( ) ,即

【答案】B 【解析】 解析:设 ,则问题化为求平面上两动点 之间距离的平方的最小 值的问题,也即求曲线 上的点到直线 的点的距离最小值问题。因 ,设 切点 ,则切线的斜率 ,由题设当 ,即 时,点 到直线 的距离最近, 其最小值为 ,所以所求 的最小值为 ,应选答案 B。

8.如图所示,在四边形 使得平面 平面

中, ,构成四面体

,将 沿 折起, ,则在四面体中,下列说法正确的是( )

A.平面 B.平面 C.平面 D.平面 【答案】D

平面 平面 平面 平面

【解析】解析:因 以 平面 面 ,应选答案 D。 9.若抛物线 A. B.

,则 ,结合 可得

,又平面 平面 平面 ,故平面

,所 平

上有一条长为 6 的动弦 AB,则 AB 的中点到 轴的最短距离为 C.1 D.2

【答案】D 【解析】解析:设抛物线的焦点为 的距离 的最短距离 二、解答题 1.在 中,角 的对边分别是 ,若 . ,即点 的中点为 ,准线方程为 ,则点 ,所以点 到准线 到 轴

到准线的距离的最小值为

,应选答案 D。

(1)求角 ; (2)若 【答案】(1) 【解析】 试题分析:(1)由正弦定理得: 简得 结合 试题解析: ,所以 , ;(2)由余弦定理得: ,可求得 ,进而求得面积 . ,利用三角形内角和定理消去 ,化 , , ,求 的面积 . .

;(2)

(1)由正弦定理得: 又∵ 即 又∵ ∴ 又 A 是内角 ∴ ∴

(2)由余弦定理得: ∴ ∴ 考点:解三角形,正余弦定理. 2.已知等差数列 (1)求数列 (2)求数列 【答案】(1) 【解析】 (1)设等差数列 即 所以 所以 (2)由(1)得, 所以 ,① ,② 得: 所以 . 中,平面 ; 侧面 ,且 . 的公差为 ,由已知得 解得 满足 的通项公式; 的前 项和 . (2) 得: ∴

3.如图,在直三棱柱 (1)求证:

(2)若直线

与平面

所成的角为 ,请问在线段

上是否存在点 ,使得二面角

的大小为 ,请说明理由.

【答案】(1)详见解析, (2) 【解析】 (1)证明:连接 因 由平面 得 三棱柱 又 ,则 侧面 ,又 ,且平面 平面 侧面 , 所以 . ,所以 ,又 直线 侧面 与平面 ,故 所成的角 . . , 交 于点 ,

是直三棱柱,则 ,从而 侧面 ,则 ,所以

(2)由(1) 所以 假设在线段 由 角坐标系 所以 设平面 ,又

上是否存在一点 ,使得二面角 是直三棱柱,所以以点 为原点,以 ,如图所示,且设 ,

的大小为 所在直线分别为 ,则由 , 轴建立空间直 ,得

的一个法向量 ,取

,由



得:

由(1)知 所以 ∴点 为线段

,所以平面

的一个法向量

,解得 中点时,二面角 的大小为 相切,且与圆 相内切,记圆心 的轨迹

4.已知动圆 与圆 为曲线 (1)求曲线 的方程; (2)直线 与曲线 交于点

,点 M 为线段

的中点,若

,求

面积的最大值.

【答案】(1)

(2)1

【解析】试题分析:(1)(2) 试题解析:(1)设动圆 的半径为 ,则 所以圆心 的轨迹 为以 与 为焦点的椭圆, 设椭圆 则 (2)设直线 由方程组 . , ,所以曲线 的方程: , ①

②,

设直线 与 轴的交点为

,则



令 设 ,









时,即

时,

的面积取得最大值 1 在其定义域内有两个不同的极值点.

5.已知函数 (1)求 的取值范围. (2)设 的两个极值点为

,证明

【答案】(1)

(2)见解析 在 有两个不同根.变 上单调增,根据趋

【解析】试题分析:(1)极值点转化为导函数零点,即 量分离为 ,利用导数可得函数 在 上单调减,在

势可得函数 需



上范围为

,在

上范围为

,因此要有两解, 等价于 ,令 ,由于 ,则 ,所

,(2)利用导数证明不等式关键是构造恰当的函数: ,而由零点可得 ,因此构造函数 .代入化简得 ,利用导数求其最小值为

以命题得证. 试题解析:(1)依题意,函数 的定义域为 同根.即方程 在 有两个不同根. 转化为,函数 又 所以 又 在 ,即 与函数 时, 的图象在 , 时, ,所以方程 在 有两个不

上有两个不同交点 , . ,在 的图象在 时, ,

上单调增,在

上单调减,从而 时, 与函数

有且只有一个零点是 1,且在 的图象,要想函数 ,即 分别是方程 ,即

所以由 需

上有两个不同交点,只

(2)由(1)可知 设 ,作差得,

的两个根,即





.

原不等式

等价于



,则





设 ∴函数 即不等式 在





, , 成立.

上单调递增,∴ 成立,故所证不等式

点睛:利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据差函数 导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.(2)根据条 件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、 等量代换将多元函数转化为一元函数.

三、填空题 1.已知向量 【答案】2 【解析】 解析:因 ,故 ,即 ,则 ,应填答案 2。 满足 , 与 的夹角为 ,则 ________________.

2.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长一 尺。蒲生日自半。莞生日自倍。问几何日而长等?”意思是“今有蒲草第一天长高 3 尺,菀草 第一天长高 1 尺。以后蒲草每天长高前一天的一半,而菀草每天长高前一天的 2 倍,问多少 天蒲草和菀草高度相同?”根据上述已知条件,可求得第________________天,蒲草和菀草高 度相同.(已知 ,结果精确到 ) 【答案】2.6 【解析】 解析:由题意可知蒲草与菀草的生长规律都是成等比数列的,且 故由题意 3.已知函数 ________________. 【答案】1 【解析】 解析:因 ,故由题设可得 时,即 ,则 ,应填答案 1。 的最大值为________________. ,解之得 ,则 ,若正实数 满足 ,则 ,应填答案 , 。

的最小值为

4.在直径 AB=4 的圆上有长度为 2 的动弦 CD,则 【答案】2 三、解答题 【解析】 解析:因 设可得 则当 三、解答题 ,故 ,设 时, 取最大值为

,由题 ,所以 ,即 ,应填答案 。 ,


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