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浅谈圆锥曲线离心率的求法1


专题一:浅谈圆锥曲线离心率的求法
离心率是圆锥曲线的一个重要性质, 是刻画圆锥曲线形态特征的基本量。 我们知道椭圆 的离心率 ,双曲线的离心率 ,抛物线的离心率 。因此,求椭圆、双曲线

的离心率就成了历年高考的热点。 在此结合高考题, 介绍求圆锥曲线的离心率的几种常用方 法, 以便学生能更好地理解和掌握解此类题的技巧和规律, 提高分析问题和解决问题的能力。 c 一、求椭圆和双曲线的离心率 e(e= )的值; a 1. 直接根据条件分别求出 a、c,再求解 e. 例 1、(2007 安徽文卷)椭圆 x +4y =1 的离心率为(
2 2



(A)

3 2

(B)

3 4

(C)

2 2

(D)

2 3

分析:本题整理出椭圆的标准方程后可直接求出 a,c,再利用离心率公式来求解。

解:由

x +4y =1,得 a =1,b =

2

2

2

2

1 3 3 c 2 3 ,从而 c = ,故 a=1,c= ,e= = ,故选 A。 a 4 4 2 2
x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 16 9
.

例 2、(2013 陕西文卷)双曲线

解:

b2 9 c 2 25 5 5 2 ? ? e ? ? ? e ? , 所以离心率为 。 2 2 16 16 4 4 a a

【点评】此类题比较简单,属于最基础题型。 c 2.根据条件得出关于 a、b、c 间的一个齐次等式,再求 e= . a (1)条件直接给出等式求 e. 例 3、 (2007 全国文卷)已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍, 则椭圆的离心率等于 ( )

(A)

1 1 3 3 (B) (C) (D) 2 3 2 3

分析:求离心率 e 关键是将 a、b 间等式转化为 a、c 间等式。

解:∵2a=2(2b),∴a=2b,又∵在椭圆中 a =b +c ,∴c = 选 D.

2

2

2

2

3 2 3 c 2 3 2 a .∴e =( ) = .∴e= .故 a 4 4 2

【点评】此题属于基础题型,考查椭圆中 a、b、c 间关系式及其求离心率 e. (2)在焦点三角形中得出 a、b、c 间的一个齐次等式,求 e.

x2 y2 例 4、(2008 陕西文理卷)双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,过 a b
F1 作倾斜角为 30°的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离线率为( )

(A) 6 (B) 3 (C) 2 (D)

3 3

分析: 求离心率 e 关键是找 a、b、c 间一个等式。

解:在直角三角形 MF2F1 中,角 MF1F2 等于 30°,|F1F2|=2c,∴|MF2|=2ctan30°=

2 3 c, 3

|MF1|=2|MF2|=

4 3 2 3 c,又由双曲线定义知道右支上点 M 满足|MF1|-|MF2|=2a,∴ c=2a,∴ 3 3

e= 3 .故选 B. 例 5、(2013 全国新课标Ⅱ卷)、设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 a 2 b2


F1 , F2 , P 是 C 上的点, PF2 ? F1F2 , ?PF1F2 ? 30? ,则 C 的离心率为(
(A)

3 6

(B)

1 3

(C)

1 2
?

(D)

3 3

? 解:因为 PF 2 ? F 1F 2, ? PF 1F 2 ? 30 , 所以 PF2 ? 2c tan 30 ?

2 3 4 3 c, PF1 ? c 。又 3 3

PF1 ? PF2 ?

6 3 3 c 1 3 ,即椭圆的离心率为 ,选 D. c ? 2a ,所以 ? ? 3 3 a 3 3

【点评】在焦点三角形中,常根据条件将三边用 c 表示出来,再根据圆锥曲线定义找 出 a、c 间等式求出 e。 二、求椭圆和双曲线离心率 e 的取值范围。

求解此类题关键是找出关于 a、b、c 间的一个齐次不等式,从而求出离心率 e 的取值 范围。

x2 y2 例 6、(2008 福建文理卷)双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的两个焦点分别是 F1、F2,若 P a b
为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( ) (A)(1,3)(B)(1,3](C)(3,+∞)(D)[3,+∞) 分析:求离心率 e 的取值范围关键是找 a、b、c 间一个不等式。 解:∵|PF1|=2|PF2|,又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=4a,|PF2|=2a, 又∵|PF1|+|PF2|≥ |F1F2|(利用三角形三边之间关系找出不等式), ∴6a≥2c,∴e≤3, 又∵双曲线 e>1,∴1<e≤ 3.故选 B. 【点评】在焦点三角形中,求离心率 e 的取值范围常利用三角形三边之间关系找出不等式.

专题二:圆锥曲线中的三类最值问题
一、圆锥曲线上一动点到一定点与到一焦点的距离和求最值 方法:利用圆锥曲线的定义转化求最值法.根据圆锥曲线的定义,把所求的最值转化为 平面上两点之间的距离、点线之间的距离等.

x2 y2 例 1:已知点 F1 、F2 是椭圆 + =1 的左右焦点,定点 A(1,1) ,P 是椭圆上动点, 12 3
则|PA|+|PF2|的最小值、最大值分别为 分析: 根据椭圆定义: |PF1|+|PF2|=2a,∴|PF2|=2a-|PF1|,∴|PA|+|PF2|=|PA|-|PF1|+2a, 这样求|PA|+|PF2|最值问题就转化为求|PA|-|PF1|的最值问题.画出图知道当点 P、A、F1 三 点共线时取得最值 .|PA|-|PF1|的最小值为-|AF1|,最大值为|AF1|,∴|PA|+|PF2|的最小值 为 2a-|AF1|、最大值为 2a+|AF1|. 解:由椭圆定义知:|PA|+|PF2|=|PA|-|PF1|+2a 而-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|,又由椭

x2 y2 圆方程 + =1, ∴a= 2 3 ,c=3,∴F1(-3,0),∴|AF1|= 17 ,∴ 4 3 ― 17 ≤|PA|+|PF2| 12 3
≤ 4 3 + 17 【点评】 此类问题一般先利用圆锥曲线的定义转化, 再结合三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边易知在共线处取得最值. 请同学们动手做做一下几个题:

x2 y2 1、已知点 F1 F2 是双曲线 ― =1 的左右焦点,定点 A(3,2) ,P 是双曲线上动 4 12
点,则|PA|+|PF2|的最小值为 . (提示: 由题意可知点 P 在双曲线右支, 根据定义可知|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=|PF1|-2a, ∴|PA|+|PF2|=|PA|+|PF1|-2a,∴求|PA|+|PF2|最小值转化为求|PA|+|PF1|的最小值。 ∵ 两点 之间线段最短,∴|PA|+|PF1|的最小值为|AF1|,∴|PA|+|PF2|最小值为|AF1|-2a.) 2、已知 P 点为抛物线 y2=4x 上的点,那么 P 点到点 Q(2,-1)的距离与 P 点到抛物线 焦点 F 的距离之和的最小值为 _ __. (提示:过 P 点作准线 x=-1 的垂线,垂足为 K, 根据抛物线定义可知 |PF|=|PK|,∴ |PF|+|PQ|=|PK|+|PQ|,易知当 P、 K、 Q 三点共线时距离最小, 即最小值为点 Q 到准线的距离.) 二、曲线上一动点到一定点距离求最值 方法:转化成二次函数求最值。即把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数,通过 研究这个函数求最值,是求各类最值最为普遍的方法.在此处主要转化为二次函数求最值. 例 2:已知椭圆

x2 y2 + =1 内一点 A(0, 2 ) ,点 M 为椭圆上一动点,求|AM| 2 3

最大值. 2 2 分析:设出点 M 坐标,由椭圆方程及|AM| 消去 x 或 y,将|AM| 转化为二次函数后 求最值. 解:设点 M(x,y),∴

x2 y2 3y 2 2 + =1,∴x2=3― ,∴ |AM| =(y― 2 )2+x2=(y― 2 2 3

2 )2+3―
2

1 2 1 3y 2 =- y ―2 2 y+5 =- (y+2 2 )2+9 (- 2 ≤y< 2 ),∴当 y=- 2 时, 2 2 2

|AM| 取得最大值 8,|AM|取得最大值 2 2 . 【点评】此类问题转化成关于 x 或 y 的二次函数后,需注意变量 x 或 y 的取值范围. 同理,同学们动手做做下题: 1、已知一定点 A(3,0),P 是双曲线

x2 2 -y =1 上任意一点,求|PA|最小值. 4

2、:若点 P 在抛物线 y2 =x 上,点 Q 在圆(x-3)2 +y2 =1 上 ,求|PQ|最小值. (提示:求两动点距离问题可转化为先求抛物线上一动点 P 到一定点圆心 A(3,0)距离 的最小值问题,再将|PA|的最小值减去圆的半径即为|PQ|最小值.) 三、曲线上一动点到一定直线距离求最值 方法:常用切线法.当所求的最值是圆锥曲线上点到某条定直线距离的最值时,可以通 过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线, 则两平行线间的距离就是所求的最值, 切点就是曲 线上取得最值时的点. 例 3、求椭圆 x2 +8y2 =8 上的点到直线 x-y+4=0 的距离的最大值和最小值. 分析: 先求与直线 x-y+4=0 平行的椭圆的切线, 切线与直线 x-y+4=0 的距离即为为最值.

解:设与 x-y+4=0 平行的椭圆切线方程为 y=x+b

?b ? ? 3 6 1)当b ? 3时, 代入(1)得d min ? ; 2 3 6 2)当b ? ? 3时, 代入(1)得d max ? . 2
【点评】此题还可转化为三角函数求最值,但切线法更直观明了. 同理,同学们动手做做下题:已知动点 P 在抛物线 y2 =2x 上,求点 P 到直线 x-y+3=0 的最 短距离,并求出此时 P 点的坐标..

?y ? x ?b ? ? ? x2 (1) 2 ? y ? 1 ? ?2

? 3x 2 ? 4bx ? 2b 2 ? 2 ? 0 ? ? (4b) 2 ? 4 ? 3 ? (2b 2 ? 2) ? 0

专题三:如何减少解析几何中的计算量 在解析几何的学习中,因为计算量大,运算复杂,使得很多的学生 大伤脑筋,甚至望而却步.每年高考中因此失分的也不少 ,在解题中,尽 量减少计算则成为迅速、准确地解题的关键.现举数例,指出如何在解 题中减少计算量的一些途径. 一、利用有关定义 例 1、如图所示,长度为 2 的线段 AB 的两个端点 A, B 在 抛物线 y = x 上移动,求线段 AB 的中点 P 到 x 轴的最小距离.
2

解:设点 P 的纵坐标为 y0 ,由抛物线的定义知 AM = AF , BN = BF , 由梯形位线性质得 PQ = 1 ( AM + BF ),即
2

y P A F x B

1 1 1 y 0 ? ? ( AF ? BF ) ? AM ? 1 4 2 2

所以 y0 的最小值为 1 ?

1 3 ? 4 4

(当且仅当线段 AB 过双曲线的焦点 F 时取到最小值).
M Q N

二、利用设而不求,点坐标代入法
x2 y2 例 2、 过椭圆 16 ? 4 ? 1 内一点 M (2,1) 引一条弦,使弦被 M 点平分

求这条弦所在直线的方程. 解:设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 )

? M (2,1)为AB的中点, ? x1 ? x 2 ? 4, y1 ? y 2 ? 2
2 2 2 2 又 A, B 在椭圆上,则 x1 ? 4 y1 ? 16, x2 ? 4 y 2 ? 16 .

2 2 2 2 以上两式相减得 ( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y 2 ) ? 0 .

于是 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? 4( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0 .
? y1 ? y 2 x ? x2 4 1 ?? 1 ?? ?? x1 ? x 2 4 ( y1 ? y 2 ) 4? 2 2

即 k AB ? ?

1 1 .故所求直线的方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 2) 2 2

即 x ? 2y ? 4 ? 0 . 三、利用曲线的参数方程.
y2 x2 例 3、已知 P( x, y ) 是椭圆 144 ? 25 ? 1 上的点,试求 x ? y 的取值范

围是多少?
? x ? 12 cos? 2? ?) 解:设椭圆的参数方程 ? y ? 5 sin? (?是参数, 且? ? ?0, ?

12 5 ? x ? y ? 12cos? ? 5 sin? ? 13( cos? ? sin? ) 13 13
5 ? 13(sin? cos? ? cos? sin?(其中 ) sin? ? 12 , cos? ? ) 13 13

? 13sin( ? ??)

? ?1 ? sin( ? ??) ?1
? x ? y 的取值范围为 ( ?1 3,1 3)
四、利用曲线的极坐标方程 例 4、 A, B 为椭圆 b x ? a y ? a b (a ? b ? 0) 上的两点,O 为 原点,若 OA ? OB ,求证:
2 2 2 2 2 2

1 OA2

?

1 OB2

为定值.

证明:将椭圆方程化为极坐标方程得

??

a 2b 2 b 2 cos2 ? ? a 2 sin2 ?
? , 2 所以

设 ?xoA ? ?1 , ?xoB ? ? 2 ,? 2? ?1 , 则? 2 ? ?1 ?
OA ?
2
2

b 2 cos2 ?1 ? a 2 sin2 ?1 ,

a 2b 2

OB ?

b 2 cos2 (?1 ?
a 2b 2

?

a 2b 2 ) ? a 2 sin2 (?1 ?

?
2

2

)

?

b 2 sin2 ?1 ? a 2 cos2 ?1 ,

故 所以

1 1 a2 ? b2 ? ? OA2 OB2 a 2b 2 ,

1 OA2

?

1 OB2

为一定值.


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