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高中数学集合与函数试题

一、集合与函数
命题人:广东广雅中学 吴新华 付院花
1.(人教版第 14 页 B 组第 1 题)
已知集合 A ? ?1, 2?,集合 B 满足 A B ? ?1, 2?,则集合 B 有 个.

变式 1:已知集合 A ? ?1, 2?,集合 B 满足 A B ? A ,集合 B 与集合 A 之间满足的关

系是
解: B ? A 变式 2:已知集合 A 有 n 个元素,则集合 A 的子集个数有

个,真子集个数有 个

解:子集个数有 2n 个,真子集个数有 2n ?1个

变式 3:满足条件?1, 2? A ? ?1, 2,3?的所有集合 A 的个数是 个

解:3 必须在集合 A 里面, A 的个数相当于 2 元素集合的子集个数,所以有 4 个.
设计意图:考察集合的运算与集合之间的关系 2.(人教版第 14 页 A 组第 10 题)
已 知 集 合 A ? ? x| 3 ? x ? 7? , B ? ?x | 2 ? x ?10? , 求 CR ( A B) , CR ( A B) ,

(CR A) B , A (CR B)
? ? ? ? 变式 1:已知全集U ? R, 且 A ? x | x ?1 ? 2 , B ? x | x2 ? 6x ? 8 ? 0 , 则 (CU A) B

等于 A.[?1, 4)

B (2,3)

C (2,3]

D (?1, 4)

解:答案为 C,集合 A ? ?x || x ?1|? 2? ? ?x | x ? 3或x ? ?1? ,

? ? 所以 CU A ? ?x | ?1? x ? 3?,集合 B ? x | x2 ? 6x ? 8 ? 0 ? ?x | 2 ? x ? 4? ,

所以 (CU A) B 为 (2,3]

? ? ? ? 变式 2:设集合 A ? x x ? 2 ? 2, x ? R ,B ? y | y ? ?x2, ?1 ? x ? 2 ,则 CR ?A B ?

等于( )

A. R

B.?x x ? R, x ? 0? C.?0?

D. ?

解: A ? [0, 4] , B ? [?4, 0],所以 CR ? A B? ? CR{0},故选 B。

? ? 变式 3.已知集合 P ? ?x? N |1? x ?10?, 集合 Q ? x ? R | x2 ? x ? 6 ? 0 , 则 P Q

等于
(A)?1, 2,3?

(B) ?2, 3?

(C) ?1, 2?

(D)?2?

? ? 解:集合 Q ? x ? R | x2 ? x ? 6 ? 0 ? ??3, 2?,所以答案为 D.

设计意图:结合不等式考察集合的运算

? ? 3.(北师大版第 21 页 B 组第 2 题)已知集合 A ? 1,3, ?a3 , B ? ?1, a ? 2?,是否存

在实数 a ,使得 B ? A ,若存在,求集合 A 和 B ,若不存在,请说明理由.

变式 1:已知集合 A={ -1,3,2 m -1} ,集合 B={ 3,m2 } .若 B ? A ,则实数 m





解:由已知 m2 ? 2m ?1? m2 ? 2m ?1 ? 0 ? m ? 1
? ? 变式 2: A ? x | x2 ? x ? 6 ? 0 , B ? ?x | mx ?1 ? 0? ,且 A B ? A ,则 m 的取值范

围是______

.

? ? 解:A ? x ? R | x2 ? x ? 6 ? 0 ? ??3, 2? ,当 B ? ? 时,m ? 0,当 m ? 0 时,x ? ? 1 , m

所以

?

1 m

?

2



?

1 m

?

?3

,所以

m

?

?

1 2



m

?

?

1 3

,所以

m

?

??0, ?

?

1 2

,

1?

3

? ?

? ? ? ? 变式 3:设 A ? x | x2 ? 4x ? 0 , B ? x | x2 ? 2(a ?1)x ? a2 ?1 ? 0 且 A B ? B ,

求实数 a 的值.

解:A ? ??4,0? ,因为 A B ? B ,所以 B ? A ,所以 B ? ? 或 B ? ??4? 或 B ? ?0? 或

B ? ??4,0? ,当 B ? ? 时, ? ? 4(a ?1)2 ? 4(a2 ?1) ? 0 ? a ? ?1 ,当 B ? ??4? 或

B ? ?0? 时 , ? ? 0 ? a ? ?1 , B ? ?0? 符 合 题 意 , 当 B ? ??4 , ?0 时 ,

??4 ? 0 ? ?2a ( ?1 )

???4 ? 0 ?a2

?a ?1 ?1

所以 a ? ?1 或 a ?1

设计意图:结合参数讨论考察集合运算

4.(北师大版第 38 页 B 组第 1 题)设函数 f (x) ? 3 3x ? 2 , g(x) ? 1 ,求函数 2x ?3

f (x) g(x) 的定义域.

变式 1: 函数 f (x) ? 3x2 ? lg(3x ?1) 的定义域是 1? x

A. (? 1 ,??) 3

B. (? 1 ,1) 3

C. (? 1 , 1) 33

解:由

?1 ? ??3x

x?0 ?1? 0

?

?

1 3

?

x

?

1,故选

B.

D. (??,? 1) 3

变式 2:设 f ?x? ? lg 2 ? x ,则 f ?? x ?? ? f ?? 2 ?? 的定义域为

2? x

?2? ?x?

A. ?? 4,0?? ?0,4?

B. ?? 4,?1?? ?1,4?

C. ?? 2,?1?? ?1,2?

D. ?? 4,?2?? ?2,4?

解:选

C.由 2 ? x 2?x

? 0 得,

f

(x)

的定义域为

?x

|

?2

?

x

?

2?

。故

????2 ?

?

??2 ?

x 2 2

? 2,
,解得
? 2.

?? x

x???4,?1? ?1,4? 。故 f ?? x ?? ? f ?? 2 ?? 的定义域为 ??4, ?1? ?1, 4?
?2? ?x?
设计意图:考察函数的定义域 5.(人教版第 84 页 B 组第 4 题)
已知函数 f (x) ? loga (x ?1) , g(x) ? loga (1? x)(a ? 0 ,且 a ? 1) (1) 求函数 f (x) ? g(x) 定义域

(2) 判断函数 f (x) ? g(x) 的奇偶性,并说明理由.

变式 1:已知 f (x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是偶函数,定义域为[a ?1, 2a] .则 a ? ,

解:函数是偶函数,所以定义域关于原点对称.∴ a ?1 ? ?2a ? a ? 1 , b ? 0 3

变式 2:函数 y ?

9? x2

的图象关于

| x?4|?| x?3|

()

A. x 轴对称

B. y 轴对称 C.原点对称 D.直线 x ? y ? 0 对称

解:函数定义域为 9 ? x2 ? 0 ? ?3 ? x ? 3 ,所以 y ? 9 ? x2 ? 9 ? x2 ,所以函 4? x?3?x 7
数为偶函数,图像关于 y 轴对称.

变式 3:若函数 f (x) ? loga (x ? x2 ? 2a2 ) 是奇函数,则 a ? 解:由于 f (x) ? loga (x ? x2 ? 2a2 ) 是奇函数,∴ f (?x) ? f (x) ? 0 ,
即 loga (x ? x2 ? 2a2 ) ? loga (?x ? x2 ? 2a2 ) ? 0 ,

∴ loga 2a2 ? 0 ? 2a2 ? 1 ? a ? ?

2 ,又 a ? 0 ,∴ a ? 2

2 2

设计意图:考察定义域与奇偶性

6.(人教版 83 页 B 组第 2 题)



loga

3 4

? 1(a

?

0

,且

a

? 1)

,求实数

a

的取值范围.

变式 1:若 log 2a

1? a2 1? a

?

0 ,则 a 的取值范围是





A. (1 ,??) 2

B. (1,??)

C. ( 1 ,1) 2

D. (0, 1 ) 2

解:当 2a ? 1 ? a ?

1 2

时,若

log

2a

1? a2 1? a

? 0 ,则 0 ? 1? a2 1? a

? 1 ? 0 ? a ?1 ,∴ 1 ? a ? 1 2

当1 ? 2a ? 0 ? 0 ? a ?

1 2

时,若

log

2a

1? a2 1? a

? 0 ,则 1? a2 1? a

? 1 ? a ?1,此时无解!

所以选 C

变式 2:设 0 ? a ? 1,函数 f (x) ? log a (a 2x ? 2a x ? 2) ,则使 f (x) ? 0 的 x 的取值范围是

(A) (??,0)

(B) (0,??) (C) (??, log a 3) (D) (log a 3,??)

解:要使 f (x) ? 0 ,且 0 ? a ? 1,所以 a2x ? 2ax ? 2 ? 1 ? a2x ? 2ax ? 3 ? 0 ?

(ax ? 3)(ax ?1) ? 0 ? ax ? 3 ,又 0 ? a ? 1,∴ x ? loga 3 ,故选 C.
设计意图:考察对数函数的单调性 7.(人教 A 版 126 页 B 组第 1 题) 经济学家在研究供求关系时,一般用纵轴表示产品价格(自变量),而用横轴来表示产品数 量(因变量),下列供求曲线,哪条表示厂商希望的供应曲线,哪条表示客户希望的需求曲

线?为什么?(图略)

变式 1:某地一年的气温 Q(t)(单位:℃)与时间 t(月份)之间的关系如图(1)所示,

已 G(t) G 10oc

知该年的平均气温为 10℃,令 G(t)表示时间段〔0,t〕的平均气温,

G(t)

G(t)

(t)与 t 之间的函数关系用下列图象表示,则正10确oc的应该是

10oc

()

O

6

t 12

6 O

12 t

t

O

6

12

图(1)

B A
G(t)

答案:A G(t)

变1式0oc2:为了稳定市场,确保农民增收,某农1产0o品c 的市场收购价格 a 与其前三个月的市场收

购价格有关,且使 a12与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小.若下表列出的是

该O产品前 6 个6月的市场收t购价格: O

月份

1

2

3

4

t

6

12

5

6

7

价格C(元/担) 68

78

67

71

72D 70

则 7 月份该产品的市场收购价格应为

()

A.69 元

B.70 元

C.71 元

D.72 元

答案:C

设计意图:考察学生读图、读表的能力

8.(人教版 43 页 B 组第 3 题)

已知函数 f (x) 是偶函数,而且在 (0, ??) 上是减函数,判断 f (x) 在 (??, 0) 上是增函数

还是减函数,并证明你的判断.

变式 1:下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A. y ? ?x3 , x ? R

B. y ? sin x, x ? R

C. y ? x, x ? R

D. y ? (1) x , x ? R 2

解:B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D

在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选 A.

变式 2:函数 y ? f (x) 是 R 上的偶函数,且在 (??, 0] 上是增函数,若 f (a) ? f (2) ,则

实数 a 的取值范围是 ( ) A. a ? 2 B. a ? ?2 C. ?2 ? a ? 2

D. a ? ?2 或 a ? 2

解:当 a ? 0 时,∵函数 y ? f (x) 是 R 上的偶函数,且在 (??, 0] 上是增函数,∴ y ? f (x)

在 (0, ??) 上是减函数,所以若 f (a) ? f (2) ,则 a ? 2 ,当 a ? 0 时,函数 y ? f (x) 是

R 上的偶函数,且在 (??, 0] 上是增函数,且 f (?2) ? f (2) ,∴ a ? ?2 ,故选 D

设计意图:考察函数奇偶性与单调性的关系 9.(人教版第 49 页 B 组第 4 题)

已知函数

f

(x)

?

?x(x ? ??x(x ?

4), x 4), x

? ?

0 0

,求

f

(1) ,

f

(?3)

, (a

?1)

的值

变式

1:设

g

(

x)

?

? ex, x ? ?lnx, x

? 0. ? 0.



g

(

g

(

1 2

))

?

__________

解:

g ( g ( 1 ))

?

g (ln

1)

?

ln 1
e2

?

1

.

2

2

2

变式

2:已知

f

(x)

?

?(3a ? ?

?1)x ? loga x,

4a, x x ?1

?1


(??, ??)

上的减函数,那么 a

的取值范围



A. (0,1) C.[1 , 1)
73

B. (0, 1) 3
D.[ 1 ,1) 7

解:分段函数的单调性需分段处理.答案选 C

变式

3:设函数

f(x)=

??( x ?

?

1) 2

??4 ? x ? 1

x ? 1 则使得 f(x)≥1 的自变量 x 的取值范围 x ?1



A.(-∞,-2]∪[0,10]

B.(-∞,-2]∪[0,1]

C.(-∞,-2]∪[1,10]

D.[-2,0]∪[1,10]

解:当 x<1 时,f(x)≥1 ? (x+1)2≥1 ? x≤-2 或 x≥0,∴x≤-2 或 0≤x<1.

当 x≥1 时,f(x)≥1 ? 4- x ? 1 ≥1 ? x ? 1 ≤3 ? 1≤x≤10.

综上,知 x≤-2 或 0≤x≤10. 答案:A 设计意图:考察分段函数的概念和性质 10.(北师大版 54 页 A 组第 5 题)
对于下列函数,试求它们在指定区间上的最大值或最小值,并指出这时的 x 值 (2) y ? ?2x2 ? x ?1, x ?[?3,1]

变式 1:函数 y ? ax 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则 a 的值为( )

A. 1

B.2

C.4

1
D.

2

4

解:当 a ?1或 0 ? a ? 1时,函数 y ? ax 都是定义域上的单调函数,

∴ a0 ? a1 ? 3 ? a ? 2 ,故选 C.

变式 2:若函数 f (x) ? log a x(0 ? a ? 1) 在区间[a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a
的值为( )

A. 2 4

B. 2 2

C. 1 4

D. 1 2

解 : ∵ 0 ? a ? 1 , ∴ f (x) 是 定 义 域 上 的 减 函 数 , 所 以 f (x)max ? loga a ? 1 ,

f (x)min ? loga 2a ,∴1 ? 3loga 2a ? a ? (2a)3 ? 8a2 ? 1 ? a ?

2 ,故选 A 4

设计意图:考察函数的最值

11.(人教版 65 页第 8 题)

已知下列等式,比较 m , n 的大小

(1) 2m ? 2n

(2) 0.2m ? 0.2n

变式 1:设 1 ? (1)b ? (1)a ? 1,那么 ( 22 2

A.a a <a b <b a

) B.a a < b a <a b

C.a b <a a <b a

D.a b <b a <a a

解:由 1 ? (1)b ? (1)a ? 1 ? 1 ? b ? a ? 0 ,在 A 和 B 中, y ? ax (0 ? a ? 1) 在定义域 22 2

内是单调递减的,∴ aa ? ab ,所以结论不成立.在 C 中, y ? xn (n ? 0) 在 (0, ??) 内是

单调递增的,又 a ? b ? aa ? ba ,所以答案为 C.

变式 2:已知 log 1 b ? log 1 a ? log 1 c ,则 ( )

2

2

2

A. 2b ? 2a ? 2c

B. 2a ? 2b ? 2c

B. 2c ? 2b ? 2a

D. 2c ? 2a ? 2b

解:由已知 b ? a ? c ,因为 y ? 2x 在定义域内是单调递增的,所以 2b ? 2a ? 2c

答案为 A.
变式 3:已知函数 y ? f (x) 的图象与函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1)的图象关于直线 y ? x

对称,记 g(x) ? f (x)[ f (x) ? 2 f (2) ?1] .若 y ? g(x) 在区间[ 1 ,2] 上是增函数,则实数 a 2
的取值范围是( )

A.[2,??)

B. (0,1) ? (1,2)

C.[1 ,1) 2

D. (0, 1 ] 2

分析:本题根据反函数的定义求出 f (x) 的解析式,再用换元法判断 g(x) 的单调性,结合条

件 y ? g(x) 在区间[ 1 ,2] 上是增函数,求出实数 a 的取值范围是,答案为 D 2
设计意图:考察指、对数函数的单调性
12.(人教版 48 页 A 组第 8 题)



f

(x)

1? x2 ? 1? x2

,求证:(1)

f

(?x) ?

f

(x)

(2) f (1) ? ? f (x) x

变式

1:函数

f ?x? 对于任意实数 x 满足条件

f ?x ? 2? ?

1 ,若
f ?x?

f ?1? ? ?5,则

f ? f ?5?? ? __________.

解: f (3) ? f (1? 2) ? 1 ? ? 1 , f (5) ? f (3 ? 2) ? 1 ? ?5 ,又

f (1) 5

f (3)

f

?x ? 2? ?

f

1 ,∴
?x?

f (x) ?

1, f (x ? 2)

∴ f (?5) ? 1 ? 1 ? f (?1) ? 1 ? ? 1

f (?5 ? 2) f (?3)

f (1) 5

变式 2:若奇函数 f ? x? (x ? R) 满足 f (2) ?1, f (x ? 2) ? f (x) ? f (2) ,则 f (5) ?

解:由已知 f (5) ? f (3) ? f (2) ? f (3) ?1 ? f (1) ? f (2) ?1 ? f (1) ? 2 ,令 x ? ?1 ,则

f (1) ? f( ?1) ?1 ,又∵ f ? x? 是奇函数,所以 f (?1) ? ? f (1) ,

∴ f (1) ? ? f (1) ?1 ? f (1) ? 1 ,∴ f (5) ? 2 1

2

2

变式 3:函数 f (x) 是一个偶函数,g(x) 是一个奇函数,且 f (x) ? g(x) ? 1 ,则 f (x) 等 x ?1



1 A.
x2 ?1

2x 2 B.
x2 ?1

2 C.
x2 ?1

2x D.
x2 ?1

解析:由题知 f (x) ? g(x) ? 1 x ?1

以 ?x 代 x ,①式得 f (?x) ? g(?x) ? 1 ,即 f (x) ? g(x) ? 1

?x ?1

?x ?1

①+②得

f

(x)

?

1 x2 ?1

答案:A

① ②

设计意图:考察函数的抽象运算与综合性质

13.(人教版第 49 页 B 组第 5 题)

证明:

(1)若 f (x) ? ax ? b ,则 f ( x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2 )

2

2

(2)若 g(x) ? x2 ? ax ? b ,则 g( x1 ? x2 ) ? g(x1) ? g(x2 )

2

2

变式 1:如图所示, fi (x)(i ? 1, 2, 3, 4) 是定义在[0,1]上的四个函数,其中满足性质:“对

[0,1]中任意的 x1 和 x2 ,任意 ? ?[0,1], f [? x1 ? (1? ?)x2 ] ? ? f (x1) ? (1? ?) f (x2 ) 恒成

立”的只有

()

A. f1(x) 和 f3 (x) B. f2 (x)

C. f2 (x) 和 f3 (x) D. f4 (x)

解:当 ?

?

1 2

时,符合条件的函数是凹函数,从图像可看出有

f1(x) 和

f3 ( x)

,选择

A.

变式 2:.设函数 f (x) = ax ? b 的图象如下图所示,则 a、b、c 的大小关系是 x2 ? c

A.a>b>c

B.a>c>b

C.b>a>c

D.c>a>b

解析:f(0)= b =0,∴b=0.f(1)=1,∴ a =1.

c

1? c

∴a=c+1.由图象看出 x>0 时,f(x)>0,即 x>0 时,有 ax >0, x2 ? c

∴a>0.又 f(x)= a , x? c x

当 x>0 时,要使 f(x)在 x=1 时取最大值 1,需 x+ c ≥2 c , x

当且仅当 x= c =1 时.∴c=1,此时应有 f(x)= a =1.∴a=2. 2

答案:B

变式 3:如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x, f (x) 表示弧 AB 与弦 AB

所围成的弓形面积的2倍,则函数 y ? f (x) 的图象是

答案:( D )

设计意图:考察图象与式子运算的能力

14:(北师大版 136 页 B 组第 1 题)

判断下列方程在(0,10)内是否存在实数解,并说明理由.

(1) 1 x ? ln x ? 0 (2) x2 ? lg x ? 0 2

变式 1:设二次函数 f ? x? ? ax 2 ? bx ? c?a ? 0? ,方程 f ? x? ? x ? 0 的两个根 x1, x2 满足

? ? 1
0 ? x1 ? x2 ? a .

当 x ? 0, x1 时,证明 x ? f ? x? ? x1 .

分析:在已知方程 f ? x? ? x ? 0 两根的情况下,根据函数与方程根的关系,可以写出函

数 f ?x? ? x 的表达式,从而得到函数 f (x) 的表达式.

证明:由题意可知 f (x) ? x ? a(x ? x1)( x ? x2 ) .

?

0

?

x

?

x1

?

x2

?

1 a

,

∴ a(x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0 ,

? ? ∴ 当 x ? 0, x1 时, f (x) ? x .

又 f (x) ? x1 ? a(x ? x1)(x ? x2 ) ? x ? x1 ? (x ? x1)(ax ? ax2 ?1) ,

∴ f (x) ? x1 ,

综上可知,所给问题获证.

变式 2:已知二次函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c .

(1)若 a>b>c, 且 f(1)=0,证明 f(x)的图象与 x 轴有 2 个交点; (2)在(1)的条件下,是否存在 m∈R,使得 f(m)=- a 成立时,f(m+3)为正数,

若存在,证明你的结论,若不存在,说明理由;

(3)若对 x1, x2

? R,且x1

?

x2 ,

f (x1 )

?

f (x2 ) ,方程

f (x)

?

1 2

[

f

(

x1

)

?

f (x2 )]有

2 个不等实根, 证明必有一个根属于 (x1, x2 )

解: (1)

的图象与 x 轴有两个交点.
(2) f (1) ? 0 ,∴1 是 f (x) ? 0 的一个根,由韦达定理知另一根为 c , a
∴ a ? 0且c ? 0,? c ? 0 ?1,又a ? b ? c,b ? ?a ? c, a
? f (x) 在(1,+∞)单调递增,? f (m ? 3) ? f (1) ? 0 ,即存在这样的 m 使

(3)令 g(x) ?

f (x) ?

1 2

[

f

(

x1

)

?

f (x2 )],则 g(x) 是二次函数.

又 f (x1) ? f (x2 ), g(x1) ? g(x2 ) ? 0,? g(x) ? 0 有两个不等实根,且方程 g(x) ? 0 的

根必有一个属于 (x1, x2 ) .
设计意图:考察函数的零点 15.(北师大版第 66 页 B 组第 3 题)
求二次函数 f (x) ? x2 ? 2(2a ?1)x ? 5a2 ? 4a ? 2 在区间【0,1】上的最小值 g(a) 的表达
式. 变式 1:设 a 为实数,记函数 f (x) ? a 1 ? x2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a).

(Ⅰ)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) (Ⅱ)求 g(a) (Ⅲ)试求满足 g(a) ? g( 1 ) 的所有实数 a
a
解:(I)∵ t ? 1 ? x ? 1 ? x , ∴要使 t 有意义,必须1? x ? 0且1? x ? 0,即 ?1 ? x ? 1

∵ t 2 ? 2 ? 2 1? x2 ?[2,4] ,且 t ? 0 ……① ∴ t 的取值范围是[ 2,2] 。

由①得: 1 ? x2 ? 1 t 2 ?1,∴ m(t) ? a(1 t 2 ?1) ? t ? 1 at 2 ? t ? a , t ? [ 2,2] 。

2

2

2

(II)由题意知 g(a) 即为函数 m(t) ? 1 at 2 ? t ? a , t ? [ 2,2] 的最大值, 2

∵直线 t ? ? 1 是抛物线 m(t) ? 1 at 2 ? t ? a 的对称轴,∴可分以下几种情况进行讨论:

a

2

(1)当 a ? 0 时,函数 y ? m(t) , t ? [ 2,2] 的图象是开口向上的抛物线的一段,

由 t ? ? 1 ? 0 知 m(t) 在 t ? [ 2,2] 上单调递增,故 g(a) ? m(2) ? a ? 2; a

(2)当 a ? 0 时, m(t) ? t , t ? [ 2,2] ,有 g(a) =2;

(3)当 a ? 0时,,函数 y ? m(t) , t ? [ 2,2] 的图象是开口向下的抛物线的一段,

若 t ? ? 1 ? (0, 2] 即 a ? ? 2 时, g(a) ? m( 2) ? 2 ,

a

2

若 t ? ? 1 ? ( 2,2] 即 a ? (? 2 ,? 1 ] 时, g(a) ? m(? 1 ) ? ?a ? 1 ,

a

22

a

2a

若 t ? ? 1 ? (2,??) 即 a ? (? 1 ,0) 时, g(a) ? m(2) ? a ? 2。

a

2

? ?

a?2

综上所述,有

g(a)

=

???? ?

a

?

1 2a

? ??

2

(a ? ? 1) 2

, (? 2 ? a ? ? 1) 。

2

2

(a ? ? 2 ) 2

(III)当 a ? ? 1 时, g(a) ? a ? 2 ? 3 ? 2 ;

2

2

当 ? 2 ? a ? ? 1 时, ? a ?[1 , 2 ) , ? 1 ? ( 2 ,1] ,∴ ? a ? ? 1 ,

2

2

22

2a 2

2a

g(a) ? ?a ? 1 ? 2 (?a) ? (? 1 ) ? 2 ,故当 a ? ? 2 时, g(a) ? 2 ;

2a

2a

2

当 a ? 0 时, 1 ? 0 ,由 g(a) ? g( 1 ) 知: a ? 2 ? 1 ? 2 ,故 a ? 1 ;

a

a

a

当 a ? 0时, a ? 1 ? 1 ,故 a ? ?1或 1 ? ?1,从而有 g(a) ? 2 或 g( 1 ) ? 2 ,

a

a

a

要使 g(a) ? g( 1 ) ,必须有 a ? ? 2 , 1 ? ? 2 ,即 ? 2 ? a ? ? 2 ,

a

2a 2

2

此时, g(a) ? 2 ? g( 1 ) 。 a

综上所述,满足 g(a) ? g(1 ) 的所有实数 a 为: ? 2 ? a ? ? 2 或 a ? 1 。

a

2

设计意图:考察二次函数的最值与分类讨论的思想

16.(人教版 84 页 B 组第 5 题)

试着举几个满足“对定义域内任意实数 a ,b ,都有 f (a ? b) ? f (a) f (b) ”的函数例

子.
变式 1:设函数 f(x)的定义域是 N*,且 f (x ?y ) ?f (x ) ?f (y ) ?xy , f (1) ? 1,则 f(25)

= ___________________.
解析:由 f (x ? y) ? f (x) ? f ( y) ? xy ? f (2) ? f (1) ? f (1) ?1 ? 3

∴ f (2) ? f (1) ? 2

同理,f(3)-f(2)=3.

……

f(25)-f(24)=25.

∴f(25)=1+2+3+…+25=325.

答案:325

变式

2:设

f

(x)

是定义在

R

上的偶函数,其图象关于直线

x

?1 对称,对任意

x1,

x2

?[0,

1], 2

都有 f (x1 ? x2 ) ? f (x1) f (x2 )

(1)设 f (1) ? 2 ,求 f (1), f (1) 24

(2)证明 f (x) 是周期函数.

(1)解:由

f (x1 ? x2 ) ?

f (x1) f (x2 ) 知

f (x) ?

f (x) f (x) ? 22

f

2(x) ? 0 , 2

x∈[0,1].

因为

f(1)=f(

1

)·f(

1

)=[f(

1

)]2,及

f(1)=2,所以

f(

1

)=2

1 2

.

2

2

2

2

因为

f(

1

)=f(

1

)·f(

1

)=[f(

1

)]2,及

f(

1

)=2

1 2

,所以

f(

1

)=2

1 4

.

2

4

4

4

2

4

(2)证明:依题设 y ? f (x) 关于直线 x=1 对称,故 f(x)=f(1+1-x) ? f(x)=f(2

-x),x∈R. 又由 f(x)是偶函数知 f(-x)=f(x),x∈R,所以 f(-x)=f(2-x),x∈R.将上式
中-x 以 x 代换,得 f(x)=f(x+2),x∈R.

这表明 f (x) 是 R 上的周期函数,且 2 是它的一个周期.

变式 3:设函数 y ? f (x) 定义在 R 上,对任意实数 m、n,恒有 f (m ? n) ? f (m) f (n) 且当

x ? 0,0 ? f (x) ?1

(1)求证:f(0)=1,且当 x<0 时,f(x)>1; (2)求证:f(x)在 R 上递减; (3)设集合 A={(x,y)|f(x2)·f(y2)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,
a∈R},若 A∩B= ? ,求 a 的取值范围.
(1)证明:在 f(m+n)=f(m)f(n)中, 令 m=1,n=0,得 f(1)=f(1)f(0). ∵0<f(1)<1,∴f(0)=1. 设 x<0,则-x>0.令 m=x,n=-x,代入条件式有 f(0)=f(x)·f(-x),而 f(0)=1,

∴f(x)= 1 >1. f (?x)

(2)证明:设 x1<x2,则 x2-x1>0,∴0<f(x2-x1)<1. 令 m=x1,m+n=x2,则 n=x2-x1,代入条件式,得 f(x2)=f(x1)·f(x2-x1),

即 0<

f f

(x2 ( x1

) )

<1.∴f(x2)<f(x1).

∴f(x)在 R 上单调递减.

(3) 解:由 f (x2 ) f ( y2 ) ? f (1) ? f (x2 ? y2 ) ? f (1)

又由(2)知 f(x)为 R 上的减函数,∴ x2 ? y2 ? 1 ? 点集 A 表示圆 x2 ? y2 ? 1的内
部.由 f(ax-y+2)=1 得 ax-y+2=0 ? 点集 B 表示直线 ax-y+2=0.

∵A∩B= ? ,∴直线 ax-y+2=0 与圆 x2 ? y2 ? 1相离或相切。 于是 2 ? 1 ? ? 3 ? a ? 3
a2 ?1
设计意图:考察抽象函数的性质及抽象运算的能力和数形结合的思想。


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