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盐城市2016届高三数学第一学期期中考试


盐城市 2016 届高三年级第一学期期中考试

数 学 试 题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟)
2015.11

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题 纸的指定位置上. 1.若集合 A ? (??, m] , B ? x ?2 ? x ? 2 ,且 B ? A ,则实数 m 的取值范围 是 ▲ .

?

?

2.命题“ ?x ? (0,

?
2

) , sin x ? 1 ”的否定是



命题.(填“真”或“假” )

3. 设点 P (m, 2) 是角 ? 终边上一点,若 cos ? ? 4.函数 f ( x) ? e ? x 的单调递增区间为
x

2 ,则 m ? 2
.



.



5.若函数 f ( x) ? cos x ? x 的零点在区间 (k ? 1, k ) ( k ? Z )内,则 k = 6.设函数 f ( x) ? lg( x ? 1 ? mx ) 是奇函数,则实数 m 的值为
2

▲ .

.



7.已知直线 x ? 则 f(

?
3

过函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (其中 ? ▲ .

?
2

?? ?

?
2

)图象上的一个最高点,

5? ) 的值为 6

8.在锐角 ?ABC 中, AB ? 2 , BC ? 3 , ?ABC 的面积为

3 3 ,则 AC 的长为 2
▲ P



.

9.设向量 OA ? (5 ? cos ? , 4 ? sin ? ) , OB ? (2, 0) ,则 | AB | 的取值范围是 10.如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? 6 , AD ? 4 , D

??? ?

??? ?

??? ?

. C

??? ? ??? ? 点 P 是 DC 边的中点,则 PA ? PB 的值为
11.若函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (a ? 2) x 在 x ?
2



. A
第 10 题图

1 处取得极 2

B

大值,则正数 a 的取值范围是



.

12.设 S n 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和, S3 , S9 , S6 成等差数列,且 a2 ? a5 ? 2am , 则m ? ▲ .

13.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? (?1) n ? 成立,则实数 p 的取值范围是 ▲

1 ,若存在正整数 n ,使得 (an ?1 ? p ) ? ( an ? p ) ? 0 n
.

第 1 页 共 10 页

14. 设函数 f ( x) ?| e ? e
x

2a

| ,若 f ( x) 在区间 (?1,3 ? a) 内的图象上存在两点,在这两点处的
▲ .

切线相互垂直,则实数 a 的取值范围是

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x . (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)若 f ( x) ? ?1 ,求 cos(

2? ? 2 x) 的值. 3

16.(本小题满分 14 分) 设集合 A ? x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,集合 B ? ? x || x ? a |? 1? . (1)若 a ? 3 ,求 A ? B ; (2)设命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B ,若 p 是 q 成立的必要不充分条件,求实数 a 的取 值范围.

?

?

第 2 页 共 10 页

17. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,已知 A ?

?
4

,a ? 3.

3 ,求边 c 的长; 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)若 | CA ? CB |? 6 ,求 CA ? CB 的值.
(1)若 sin B ?

18.(本小题满分 16 分) 如图, 河的两岸分别有生活小区 ABC 和 DEF , 其中 AB ? BC , EF ? DF , DF ? AB ,

C , E , F 三点共线, FD 与 BA 的延长线交于点 O ,测得 AB ? 3km , BC ? 4km ,

DF ?

9 3 km , FE ? 3km , EC ? km . 若以 OA, OD 所在直线分别为 x, y 轴建立平面 4 2
y

直角坐标系 xOy , 则河岸 DE 可看成是曲

x?b 线y? (其中 a, b 为常数) 的一部分, F x?a
河岸 AC 可看成是直线 y ? kx ? m (其中 M D

E

C

k , m 为常数)的一部分.
(1)求 a, b, k , m 的值; (2) 现准备建一座桥 MN , 其中 M , N 分 别在 DE , AC 上, 且 MN ? AC , 设点 M 的横坐标为 t .

N

O

A
第 18 题图

B

x

①请写出桥 MN 的长 l 关于 t 的函数关系式 l ? f (t ) ,并注明定义域; ②当 t 为何值时, l 取得最小值?最小值是多少?

第 3 页 共 10 页

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x . (1)求函数 f ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线方程;

k 1 在 [ 2 , ??) 上有两个不同的零点,求实数 k 的取值范围; x e 1 k ( 3 )是否存在实数 k ,使得对任意的 x ? ( , ??) ,都有函数 y ? f ( x ) ? 的图象在 2 x
(2)若函数 y ? f ( x ) ?

ex g ( x) ? 的图象的下方?若存在,请求出最大整数 k 的值;若不存在,请说理由. x
(参考数据: ln 2 ? 0.6931 , e 2 ? 1.6487 ).
1

20. (本小题满分 16 分) 设各项均为正数的数列 ?an ? 满足 项和. (1)若 p ? 1 , r ? 0 ,求证: ?an ? 是等差数列; (2)若 p ?

Sn ,其中 S n 为数列 ?an ? 的前 n ? pn ? r ( p, r 为常数) an

1 , a1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式; 3

(3)若 a2015 ? 2015a1 ,求 p ? r 的值.

第 4 页 共 10 页

盐城市 2016 届高三年级第一学期期中考试

数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1. [2, ??) -1 8. 2. 假 3.

2

4. (0, ??)

5. 1

6. 1

7.

7
1 1 (? , ) 2 2

9. [4, 6]

10. 7

11. (0, 2)

12. 8

13. (?1, )

3 2

14.

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.解: (1)因为 f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2

????2 分

?

3 cos 2 x 1 ? 1 sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? , 2 2 2 6 2

????6 分

2? ????8 分 ?? . 2 ? 1 ? 1 (2)因为 f ( x) ? ?1 ,所以 sin(2 x ? ) ? ? ?1 ,即 sin(2 x ? ) ? ? ,????10 分 6 2 6 2
所以 f ( x) 的最小正周期为 T ?

所以 cos ?

? ? ? 1 ? 2? ? ?? ? 2 x ? ? cos ? ? (2 x ? ) ? ? sin(2 x ? ) ? ? . 6 ? 6 2 ? 3 ? ?2

????14 分

16.解: (1)解不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 ?3 ? x ? 1 ,即 A ? ? ?3,1? ,

...........2 分

当 a ? 3 时,由 x ? 3 ? 1 ,解得 ?4 ? x ? ?2 ,即集合 B ? ? ?4, ?2 ? ,............4 分 所以 A ? B ? ? ?4,1? ; ..............6 分 .......8 分

(2)因为 p 是 q 成立的必要不充分条件,所以集合 B 是集合 A 的真子集. 又集合 A ? ? ?3,1? , B ? (? a ? 1, ? a ? 1) , 所以 ? ..............10 分

? ? a ? 1 ? ? 3 ? ? a ? 1 ? ?3 或? , ??a ? 1 ? 1 ??a ? 1 ? 1

..............12 分 ...............14 分

解得 0 ? a ? 2 ,即实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 2 .

第 5 页 共 10 页

17.解: (1)在 ?ABC 中,因为 sin B ? 所以 cos B ?

3 2 ? ,所以 B ? A ? , ? sin A ? 5 2 4
...............2 分

4 , 5

所以 sin C ? sin( A ? B ) ?

2 4 2 3 7 2 , ? ? ? ? 2 5 2 5 10

...............4 分

7 3 a c 3 c ,得 ,所以 c ? . ...............6 分 ? ? 5 sin A sin C 2 7 2 2 10 ??? ? ??? ? 2 (2)因 CA ? CB ? 6 ,得 b ? 3 ? 2 3b cos C ? 6 ①, ...............8 分
由正弦定理 由余弦定理,有 b ? 3 ? 2 3b cos C ? c
2 2

②, ...............10 分

①+②,得 c ?

2b ,
2 2

再由余弦定理,有 b ? c ? 2bc ? 3 ,解得 b ? 3, c ? 所以 a 2 ? b 2 ? c 2 ,即 C ?

6 , ...............12 分
?????14 分

?
2

,所以 CA ? CB ? 0 .

??? ? ??? ?

(说明:其它方法类似给分) 18 . 解 : ( 1 ) 将 D (0, ), E (3, 4) 两 点 坐 标 代 入 到 y ?

7 4

x?b 中 , 得 x?a

? 7 b ? ? ? 4 a , ? ?4 ? 3 ? b ? 3? a ?
解得 ?

?????2 分

?a ? ?4 . ?b ? ?7

????3 分

3 ? 0? k ?m ? 3 9 ? 2 再将 A( , 0), C ( , 4) 两点坐标代入到 y ? kx ? m 中,得 ? , ????5 分 2 2 ?4 ? 9 k ? m ? ? 2
4 ? ?k ? 解得 ? 3. ? ?b ? ?2
(2)①由(1)知直线 AC 的方程为 y ?

????6 分

4 x ? 2 ,即 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 . 3

????7 分

第 6 页 共 10 页

设点 M 的坐标分别为 M (t ,

t ?7 ) ,则利用点到直线的距离公式, t ?4

得l ?

| 4t ? 3 ?

t ?7 ?6| 1 9 t ?4 ? | 4t ? ? 9 |, 5 t ?4 42 ? 32

????9 分

又由点 D, E 向直线 AC 作垂线时,垂足都在线段 AC 上,所以 0 ? t ? 3 , 所以 l ? f (t ) ?

1 9 | 4t ? ?9 | ,0 ? t ? 3. 5 t ?4

????10 分

② 方法一:令 g (t ) ? 4t ?

(2t ? 5)(2t ? 11) 9 , ? 9, 0 ? t ? 3 ,因为 g ?(t ) ? t ?4 (t ? 4) 2
5 11 或t ? (舍) , 2 2 5 2
????12 分

所以由 g ?(t ) ? 0 ,解得 t ?

所以当 t ? (0, ) 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调递增;当 t ? ( ,3) 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调 递减. 从而当 t ? 即当 t ?

5 2

5 5 时, g (t ) 取得最大值为 g ( ) ? ?5 , 2 2

????14 分 ????16 分

5 时, l 取得最小值,最小值为 1km . 2 方法二:因为 0 ? t ? 3 ,所以 1 ? 4 ? t ? 4 , 9 9 9 则 4t ? ? 9 ? 4(t ? 4) ? ? 7 ? 7 ? [4(4 ? t ) ? ] t ?4 t ?4 4?t

????12 分

? 7 ? 2 4(4 ? t ) ?
当 号, 即当 t ? 且 仅

9 ? 7 ? 2 ? 6 ? ?5 , 4?t


4(4 ? t ) ?

9 4?t





t?

5 2







????14 分

5 时, l 取得最小值,最小值为 1km . 2 9 ?9 ? 0, t ?4

????16 分

方法三:因为点 M 在直线 AC 的上方,所以 4t ? 所以 l ? f (t ) ? ? (4t ?

1 5

9 ? 9) , 0 ? t ? 3 , t ?4

????12 分 ????16 分

以下用导数法或基本不等式求其最小值(此略,类似给分). 方法四:平移直线 AC 至 A1C1 ,使得 A1C1 与曲线 DE 相切, 则切点即为 l 取得最小值时的 M 点. 由 y?

????12 分

3 3 4 x?7 , 得 y? ? ,则由 k? ? , 且 0?t ?3 , 解 得 2 2 x?4 ( x ? 4) (t ? 4) 3

第 7 页 共 10 页

5 , ????14 分 2 5 故当 t ? 时, l 取得最小值,最小值为 1km . ????16 分 2 1 19. 解: (1)因为 f ?( x) ? ,所以 f ?(1) ? 1 ,则所求切线的斜率为 1 , ?????2 分 x t?
又 f (1) ? ln1 ? 0 ,故所求切线的方程为 y ? x . (2)因为 f ( x) ? 的根. 由 ln x ? ................4 分

k k k ?1 ? ? ln x ? ,则由题意知方程 ln x ? ? 0 在 ? 2 , ?? ? 上有两个不同 x x x ?e ?

k ? 0 ,得 ?k ? x ln x , x

?????6 分

令 g ( x) ? x ln x ,则 g ?( x) ? ln x ? 1 ,由 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 当 x?? 调递增,

1 . e

? 1 1? ?1 ? , ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减;当 x ? ? , ?? ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单 2 ?e e ? ?e ?
y

1 1 1 1 时, g ( x) 取得最小值为 g ( ) ? ? . ?????8 分 e e e O e 2 ? 1 2 e 1 又 g ( 2 ) ? ? 2 , g (1) ? 0 (图象如右图所示) , 1 ? e e 1e 1 2 2 1 所以 ? ? ? k ? ? 2 ,解得 2 ? k ? . ?????10 分 1 e e e e
所以当 x ?
2

2

1 e

1

x

(3)假设存在实数 k 满足题意,则不等式 ln x ? 即 k ? e x ? x ln x 对 x ? ( , ??) 恒成立.

k ex 1 ? 对 x ? ( , ??) 恒成立. x x 2

1 2

令 h( x) ? e ? x ln x ,则 h?( x) ? e ? ln x ? 1 ,
x x

?????12 分

令 r ( x) ? e ? ln x ? 1 ,则 r ?( x) ? e x ?
x

1 , x

因为 r ?( x) 在 ( , ??) 上单调递增, r ?( ) ? e 2 ? 2 ? 0 , r ?(1) ? e ? 1 ? 0 ,且 r ?( x) 的图

1 2

1 2

1

象 在 ( ,1) 上 不 间 断 , 所 以 存 在 x0 ? ( ,1) , 使 得 r ?( x0 ) ? 0 , 即 e 0 ?
x

1 2

1 2

1 ? 0 ,则 x0

x0 ? ? ln x0 ,

第 8 页 共 10 页

所以当 x ? ( , x0 ) 时, r ( x) 单调递减;当 x ? ( x0 , ??) 时, r ( x) 单调递增, 则 r ( x) 取到最小值 r ( x0 ) ? e 0 ? ln x0 ? 1 ? x0 ?
x

1 2

1 1 ??14 分 ? 1 ? 2 x0 ? ? 1 ? 1 ? 0 , x0 x0

所以 h?( x) ? 0 ,即 h( x) 在区间 ( , ??) 内单调递增.
1 1 1 1 1 1 2 所以 k ? h( ) ? e ? ln ? e 2 ? ln 2 ? 1.99525 , 2 2 2 2

1 2

所以存在实数 k 满足题意,且最大整数 k 的值为 1 .

?????16 分

20.解: (1)证明:由 p ? 1 , r ? 0 ,得 S n ? nan ,所以 S n ?1 ? (n ? 1)an ?1 (n ? 2) , 两式相减,得 an ? an ?1 ? 0(n ? 2) ,所以 ?an ? 是等差数列. (2)令 n ? 1 ,得 p ? r ? 1 ,所以 r ? ?????4 分

2 , ?????5 分 3 1 2 1 1 则 S n ? ( n ? )an ,所以 S n ?1 ? ( n ? )an ?1 (n ? 2) ,两式相减, 3 3 3 3


an n ?1 ? (n ? 2) , an ?1 n ? 1

?????7 分

所以

a a a2 a3 a4 3 4 5 n ?1 n(n ? 1) ,化简得 n ? ? ? ? n ? ? ? ? (n ? 2) , a1 a2 a3 an ?1 1 2 3 n ? 1 a1 1? 2
?????9 分 ?????10 分

所以 an ? n 2 ? n(n ? 2) , 又 a1 ? 2 适合 an ? n 2 ? n(n ? 2) ,所以 an ? n 2 ? n .

(3)由(2)知 r ? 1 ? p ,所以 S n ? ( pn ? 1 ? p )an ,得 S n ?1 ? ( pn ? 1 ? 2 p )an ?1 (n ? 2) , 两式相减,得 p (n ? 1)an ? ( pn ? 1 ? 2 p )an ?1 (n ? 2) , 易知 p ? 0 ,所以 ①当 p ?

an an ?1 ? (n ? 2) . pn ? 1 ? 2 p p (n ? 1)

?????12 分

a a a a a 1 时,得 n ? n ?1 (n ? 2) ,所以 2015 ? 2014 ? ? ? 1 , 2 n n ?1 2015 2014 1
?????14 分

满足 a2015 ? 2015a1 ; ②当 p ?

1 时,由 p (n ? 1)an ? ( pn ? 1 ? 2 p )an ?1 (n ? 2) ,又 an ? 0 , 2

第 9 页 共 10 页

所 以 p (n ? 1)an ? pnan ?1 (n ? 2) , 即

an an ?1 a a ? (n ? 2) , 所 以 2015 ? 1 , 不 满 足 n n ?1 2015 1

a2015 ? 2015a1 ;
1 且 p ? 0 时,类似可以证明 a2015 ? 2015a1 也不成立; 2 1 1 1 综上所述, p ? , r ? ,所以 pr ? . ?????16 分 2 2 4
③当 p ?

第 10 页 共 10 页


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