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【金版新学案】2014-2015学年高二数学人教A版选修2-3模块综合测评B Word版含解析

模块综合测评(B)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.6 名同学安排到 3 个社区 A,B,C 参加志愿者服务,每个社区安排两名同学,其中 甲同学必须到 A 社区,乙和丙同学均不能到 C 社区,则不同的安排方法种数为( A.12 C.6 B .9 D.5 )

2 解析: 从甲、乙、丙以外的 3 人中选 2 人到 C 社区,共 C3 种,剩余的 4 人中除去甲 2 后任选一人到 A 社区共 C1 C1 3种,剩余 2 人到 B 社区,共有 C3· 3=9 种.

答案: B 1 1 2.在一段时间内,甲去某地的概率是 ,乙去此地的概率是 ,假定两人的行动相互之 4 5 间没有影响,那么在这段时间内至少有 1 人去此地的概率是( 2 A. 5 3 C. 20 1 B. 5 9 D. 20 )

3 4 解析: 甲不去某地的概率是 ,乙不去此地的概率是 ,则在这段时间内至少有 1 人去 4 5 3 4 2 此地的概率是 1- × = . 4 5 5 答案: A
7 2 3.方程:3Cx x-3=5Ax-4的根为(


) B .9 D.11

A.8 C.10

3?x-3?! 5?x-4?! 解析: 原方程可化为 = , ?x-7?!4! ?x-6?! 整理得 x2-9x-22=0,所以 x1=11,x2=-2. 经检验,x=11 是方程的根,x=-2 是方程的增根. 所以原方程的解是 x=11. 答案: D 4.(1+x)7 的展开式中 x2 的系数是( A.42 ) B.35

C.28 解析: 利用二项展开式的通项求解.

D.21

2 ∵Tr+1=Cr 17-r· xr=Cr xr,令 r=2,则 T3=C2 7· 7· 7x ,

即展开式中 x2 的系数为 C2 7=21. 答案: D 5. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后, 在生产 A 产品过程中记录的产量 x(吨)与相应 的生产能耗 y(吨)的几组对应数据: x y 3 2.5 4 t 5 4 6 4.5


根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为y =0.7x+0.35,那么表中 t 的值 为( ) A.3 C.3.5 解析: x= 3+4+5+6 9 = , 4 2 B.3.15 D.4.5

y=

2.5+t+4+4.5 11+t = , 4 4

又∵样本点中点( x , y )在回归方程上, 11+t 9 ∴ =0.7× +0.35,解得 t=3. 4 2 答案: A 6.抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数的样本空间为 S={1,2,3,4,5,6}.令事件 A= {2,3,5},事件 B={1,2,4,5,6},则 P(A|B)的值为( )

3 A. 5 2 C. 5 解析: P(A|B)= 答案: C n?AB? 2 = . n?B? 5

1 B. 2 1 D. 5

7.已知两个随机变量 X,Y,且 X+Y=8,若 X~B(10,0.6),则 E(X)和 D(Y)分别为( A.2 和 2.4 B.6 和 2.4

)

C.2 和 5.6

D.6 和 5.6

解析: 由 X~B(10,0.6),易得 E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=2.4. 又 X+Y=8,则 Y=8-X,所以 D(Y)=D(8-X)=D(X)=2.4. 答案: B 8.方程 ay=b2x2+c 中的 a,b,c∈{-3,-2,0,1,2,3},且 a,b,c 互不相同,在所有 这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( A.60 条 C.71 条 ) B.62 条 D.80 条

解析: 利用计数原理结合分类讨论思想求解. 当 a=1 时,若 c=0,则 b2 有 4,9 两个取值,共 2 条抛物线; 若 c≠0,则 c 有 4 种取值,b2 有两种,共有 2×4=8(条)抛物线; 当 a=2 时,若 c=0,b2 取 1,4,9 三种取值,共有 3 条抛物线; 若 c≠0,c 取 1 时,b2 有 2 个取值,共有 2 条抛物线, c 取-2 时,b2 有 2 个取值,共有 2 条抛物线, c 取 3 时,b2 有 3 个取值,共有 3 条抛物线, c 取-3 时,b2 有 3 个取值,共有 3 条抛物线, ∴共有 3+2+2+3+3=13(条)抛物线. 同理,a=-2,-3,3 时,共有抛物线 3×13=39(条). 由分类加法计数原理知,共有抛物线 39+13+8+2=62(条). 答案: B 9.为了调查西瓜爆炸与使用膨大剂的关系,调查人员得到了如下表的数据 使用膨大剂 爆炸瓜 没爆炸瓜 合计 根据以上数据,则( ) 35 71 106 未使用膨大剂 98 203 301 合计 133 274 407

A.西瓜爆炸与是否使用膨大剂有关 B.西瓜爆炸与是否使用膨大剂无关 C.西瓜是否使用膨大剂决定是否爆炸

D.以上都是错误的 解析: 依题中数据计算得 407×?35×203-98×71?2 k= ≈0.008, 133×274×106×301 因为 k=0.008<2.706, 所以西瓜爆炸与是否使用膨大剂无关. 答案: B 10.袋中有 4 只红球,3 只黑球,从袋中任取 4 只球,取到 1 只红球得 1 分,取到 1 只 黑球得 3 分,设得分为随机变量 X,则 P(X≤7)的值为( 11 A. 30 16 C. 35 13 B. 35 7 D. 26 )

解析: 4 只球中黑球个数可能为 0,1,2,3,相应得分依次为 4,6,8,10.P(X≤7)=P(X=4)
1 C4 C3 1 12 13 4 4C3 +P(X=6)= 4+ 4 = + = . C7 C7 35 35 35

答案: B 11.某次我市高二教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图 如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由如图 曲线可得下列说法中正确的是( A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同 解析: 由图形可知 μ 甲=μ 乙=μ 丙,可知甲、乙、丙的总体的平均数相同;由 σ 甲<σ
乙<σ 丙可知甲科总体的标准差最小.

)

答案: A a2 a3 a10 12.设(1-2x)10=a0+a1x+a2x2+?+a10x10,则 a1+ + 2+?+ 9 的值为( 2 2 2 A.2 C.2 043 解析: 令 x=0 得 a0=1; 1 a1 a2 a10 令 x= 得 a0+ + 2+?+ 10=0, 2 2 2 2 B.2 046 D.-2 )

a2 a3 a10 所以 a1+ + 2+?+ 9 =-2a0=-2. 2 2 2 答案: D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确的答案填在题中的横线 上) 13.乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员,要派 5 名队员参加比赛,其中 3 名主力 队员安排在第一、第三、第五位置,其余 7 名队员选 2 名安排在第二、第四位置,那么不同 的出场安排共有________种.(用数字作答) 解析: 3 名主力队员安排在第一、第三、第五位置,有 A3 3种排法,其余 7 名队员选 2
3 2 名安排在第二、第四位置,有 A2 7种排法.那么不同的排法共有 A3A7=252 种.

答案: 252 14.(a+x)4 的展开式中 x3 的系数等于 8,则实数 a=________.
4-r r 解析: (a+x)4 的展开式中的通项 Tr+1=Cr x ,当 r=3 时,有 C3 a=8,所以 a= 4a 4·

2. 答案: 2 15.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且 元件 3 正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分 布 N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1 000 小 时的概率为________.

解析: 利用独立事件和对立事件的概率公式求解. 设元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件分别记为 A,B,C,显然 P(A)=P(B)= 1 P(C)= , 2 ∴该部件的使用寿命超过 1 000 小时的事件为(A B + A B+AB)C, ∴该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率 1 1 1 1 1 1? 1 3 P=? ?2×2+2×2+2×2?×2=8. 答案: 3 8

16.下列说法:①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;



②设有一个回归方程y =3-5x,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 5 个单位;③线性回归
∧ ∧ ∧

方程y =bx+a必过( x , y ); ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系; ⑤在一个 2×2 列联表中,由计算得 K2=13.079,则其两个变量之间有关系的可能性是 90%. 其中错误的是________. 解析: 由方差的性质知①正确;由线性回归方程的特点知③正确;②④⑤均错误. 答案: ②④⑤ 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤)
2 1?n 7 17. (本小题满分 12 分)已知? ?x -x? 展开式中的二项式系数的和比(3a+2b) 展开式的二 2 1?n 项式系数的和大 128,求? ?x -x? 展开式中的系数最大的项和系数最小的项.

解析: 由题意知 2n-27=128, 1?8 2 所以 n=8,? ?x -x? 的通项 1?r 2 8-r? r r 16-3r Tr+1=Cr . 8(x ) ?-x? =(-1) C8x 当 r=4 时,展开式中的项的系数最大,即 T5=70x4. 当 r=3 或 5 时,展开式中的项的系数最小,即 T4=-56x7,T6=-56x. 18.(本小题满分 12 分)为了考察某种新药的副作用,给 50 位患者服用此新药,另外 50 位患者服用安慰剂(一种和新药外形完全相同,但无任何药效的东西),得到如下观测数据: 副作用 药物 新药 安慰剂 总计 有 15 4 19 无 35 46 81 总计 50 50 100

由以上数据,你认为服用新药会产生副作用吗? 解析: 由表中数据得 K2 的观测值 100×?15×46-35×4?2 k= ≈7.862. 50×50×19×81 因为 7.862>6.635, 所以在犯错的概率不超过 0.01 的前提下认为新药会产生副作用.

19.(本小题满分 12 分)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中 1 者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 , 3 1 乙每次投篮投中的概率为 ,且各次投篮互不影响. 2 (1)求乙获胜的概率; (2)求投篮结束时乙只投了 2 个球的概率. 解析: 设 Ak,Bk 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中, 1 1 则 P(Ak)= ,P(Bk)= (k=1,2,3). 3 2 (1)记“乙获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的 概率计算公式知 P(C)=P( A1 B1)+P( A1 B1 A2 B2)+P( A1 B1 A2 B2 A3 B3)

=P( A1 )P(B1)+P( A1 )P( B1 )P( A2 )P(B2)+P( A1 )P( B1 )P( A2 )P( B2 )P( A3 )P(B3) 2 1 2?2 ?1?2 ?2?3 ?1?3 13 = × +? × + × = . 3 2 ?3? ?2? ?3? ?2? 27 (2)记“投篮结束时乙只投了 2 个球”为事件 D,则由互斥事件有一个发生的概率与相 互独立事件同时发生的概率计算公式知 P(D)=P( A1 B1 A2 B2)+P( A1 B1 A2 B2 A3)

=P( A1 )P( B1 )P( A2 )P(B2)+P( A1 )P( B1 )P( A2 )P( B2 )P(A3) 2?2?1?2 ?2?2?1?2 1 4 =? ?3? ?2? +?3? ?2? ×3=27. 20.(本小题满分 12 分)有一台机床可以按各种不同的速度运转,其加工的零件有一些 是二级品,每小时生产的二级品零件的数量随机床运转的速度而变化.下面是试验的结果: 机床运转速度 (转/秒) 8 12 14 16 (1)作出散点图; (2)求出机床运转的速度 x 与每小时生产二级品数量 y 的回归直线方程; (3)若实际生产中所允许的二级品不超过 10 个,那么机床的运转速度不得超过多少转/ 每小时生产 二级品数量(个) 5 8 9 11

秒? 解析: (1)散点图如下图所示:

(2)易求得 x =12.5, y =8.25,

?xiyi-4 x
∴b=
∧ i=1

4

y ≈0.728 6,

x2 i -4 i=1
∧ ∧

?

4

x 2

a= y -b x =-0.857 5, 即所求回归直线的方程为: y=0.728 6x-0.857 5. (3)根据公式,要使y≤10, 只要 0.728 6x-0.857 5≤10, 解得 x≤14.901 9, 即机床的运转速度不能超过 14.901 9 转/秒. 21.(本小题满分 13 分)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间 互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 频率 从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2)X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望. 解析: 设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布列如下: Y P 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1
∧ ∧

(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”,则事件 A 对应三种情形:

①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟; ②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟; ③第一个、第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟. 所以 P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1×0.3+0.3×0.1+ 0.4×0.4=0.22. (2)方法一:X 所有可能的取值为 0,1,2. X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟. 所以 P(X=0)=P(Y>2)=0.5; X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间 超过 1 分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟, 所以 P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)=0.1×0.9+0.4=0.49; X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟, 所以 P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01. 所以 X 的分布列为: X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51. 方法二:X 所有可能的取值为 0,1,2. X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟, 所以 P(X=0)=P(Y>2)=0.5; X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟, 所以 P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01; P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=0.49. 所以 X 的分布列为: X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.

22.(本小题满分 13 分)(2013· 福建卷)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名. 为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关, 现采用分层抽样的方法, 从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周 岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布 直方图.

(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人, 求至少抽到 1 名“25 周 岁以下组”工人的概率; (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 2×2 列联表,并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”? P(?2≥k) k n?n11n22-n12n21?2 附:?2= n1+n2+n+1n+2 n?ad-bc? ?注:此公式也可以写成K2= ? ? ?a+b??c+d??a+c??b+d?? ? ? 解析: (1)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名,25 周岁以下组工人 40 名. 所以,样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上组工人有 60×0.05= 3(人),记为 A1,A2,A3;25 周岁以下组工人有 40×0.05=2(人),记为 B1,B2. 从中随机抽取 2 名工人,所有的可能结果共有 10 种,它们是:(A1,A2),(A1,A3),(A2, A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2). 其中, 至少有 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种, 它们是: (A1, B1), (A1, 7 B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率 P= . 10 (2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,“25 周岁以上组”中的生产能手 有 60×0.25=15(人), “25 周岁以下组”中的生产能手有 40×0.375=15(人), 据此可得 2×2 列联表如下:
2

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

生产能手 25 周岁以上组 25 周岁以下组 合计 n?ad-bc?2 所以得 K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? 100×?15×25-15×45?2 25 = = ≈1.79. 14 60×40×30×70 因为 1.79<2.706, 15 15 30

非生产能手 45 25 70

合计 60 40 100

所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.


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