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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第1篇 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件 理


第3节

简单的逻辑联结词、全称量词与 存在量词

2.理解全称量词与存在量 最新考纲 词的意义. 1.了解逻辑联结词 “或” “且” 3.能正确地对含有一个量 “非”的含义. 词的命题进行否定.

编写意图

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词在高考中

的考查以选择、填空题为主.本节围绕着高考命题的规律设置了三

? p∧q, ? p的真值判断,以及含有一 个考点、重点突出训练p∨q,
个量词的命题的否定.主要体现在考点一和三上,思想方法栏目突出 了分类讨论思想的应用,在作业设计中注重了基础知识与基本方法, 把高考题与最新的模拟题融入其中,强化实战演练.

夯基固本

考点突破 思想方法

夯基固本
知识梳理
1.简单的逻辑联结词

抓主干

固双基

(1)常用的简单的逻辑联结词有“ 且 ”“ 或 ”“ 非 ”.

(2)命题 p∧q、p∨q、 ? p 的真假判断
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假

?p
假 假 真 真

质疑探究:一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗?

(提示:不是,一个命题的否命题是既否定该命题的条件,又否定
该命题的结论,而这个命题的否定仅是否定它的结论)

2.量词与含有一个量词的命题的否定 (1)全称量词和存在量词
量词名称 全称量词 存在量词 任给等 存在一个、至少一个、有些、某些等 常见量词 所有、一切、任意、全部、每一个、 表示符号

?
?

(2)全称命题和特称命题
命题名称 全称命题 特称命题 命题结构 对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立 存在 M 中的一个 x0,使 p(x0)成立 命题简记 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,p(x0)

(3)全称命题和特称命题的否定
命题 命题的否定

? x∈M,p(x)

?x0 ? M , ?p ? x0 ? ?x ? M , ?p ? x ?

? x ∈M,p(x )
0 0

基础自测
2 1.(2014 高考湖南卷)设命题 p: ? x∈R,x +1>0,则 ? p 为( B )

(A)? x0∈R, x 02 +1>0 (B)? x0∈R, x 02 +1≤0 (C)? x0∈R, x 02 +1<0 (D)? x∈R,x +1≤0
2

解析:全称命题的否定,要对结论进行否定,同时要把全称 量词换成存在量词,故命题 p 的否定为 “? x0∈R, x 02 +1≤0” , 故选 B.

2.(2014 高考辽宁卷)设 a,b,c 是非零向量.已知命题 p:若 a·b=0,b·c=0,则 a·c=0;命题 q:若 a∥b,b∥c,则 a∥c.则 下列命题中真命题是( A (A)p∨q (C)( ? p)∧( ? q) ) (B)p∧q (D)p∨( ? q)

解析:对于命题 p:因为 a·b=0,b·c=0,所以 a,b 与 b,c 的夹角都为 90°,但 a,c 的夹角可以为 0°或 180°,故 a·c≠0,所以命题 p 是假命题;对于命题 q:a∥b,b∥c,可 以得到 a,c 的方向相同或相反,故 a∥c,所以命题 q 是真 命题.p∨q 是真命题,其他都是假命题.故选 A.

3.(2014 江西师大附中模拟)下列命题中是假命题的是( B (A)? x∈(0,
π ),x>sin x 2

)

(B)? x0∈R,sin x0+cos x0=2 (C)? x∈R,3 >0
x

(D)? x0∈R,lg x0=0

π 解析:≧sin x+cos x= 2 sin(x+ ), 4

- 2 ≤sin x+cos x≤ 2 . 故选项 B 是假命题.故选 B.

4.(2015 西安一中模拟)命题 p:“? x∈R,x -x+1>0”的否定 ? p 为 .
2

解析:存在性命题的否定是全称命题,否定结论.命题 p: 2 2 “? x∈R,x -x+1>0” 的否定 ? p 为 “? x∈R,x -x+1≤0” .
答案:“? x∈R,x2-x+1≤0”

5.命题“ ? x∈R,2x -3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围
2


2

.

解析:“ ? x∈R,2x -3ax+9<0”为假命题, 则“? x∈R,2x -3ax+9≥0”为真命题,
2 2 因此Δ=9a -4×2×9≤0,故-2 2 ≤a≤2 2 .

答案:[-2 2 ,2 2 ]

考点突破
考点一

剖典例

找规律

含有逻辑联结词的命题的真假判断

【例 1】 已知命题 p1:函数 y=2x-2-x 在 R 上为增函数,p2:函数 y=2x+2-x 在 R 上为减函数,则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:( ? p1)∨p2 和 q4:p1 ∧( ? p2)中,真命题是( (A)q1,q3 (B)q2,q3 ) (D)q2,q4
x

(C)q1,q4

?1? 解析:≧y=2x 在 R 上为增函数,y=2-x= ? ? 在 R 上为减函数, ? 2? ?1? -x ?y=-2 =- ? ? 在 R 上为增函数,?y=2x-2-x 在 R 上为增函数, ? 2?
x

故 p1 是真命题. y=2x+2-x 在 R 上为减函数是错误的,故 p2 是假命题. ?q1:p1∨p2 是真命题,因此排除选项 B 和选项 D, q2:p1∧p2 是假命题, q3:( ? p1)∨p2 是假命题,排除选项 A. 故选 C.

反思归纳 判断含有逻辑联结词命题真假的方法:一是要

注意明确简单命题 p、q 的真假;二是要注意真值表的记忆 与理解,正确判断含有逻辑联结词命题的真假.

【即时训练】 (2014 高考湖南卷)已知命题 p:若 x>y,则-x<-y;命
题 q:若 x>y,则 x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧( ? q);④( ? p) ∨q 中,真命题是( (A)①③ (B)①④ ) (C)②③ (D)②④

解析:由不等式的性质可知,命题 p 是真命题,命题 q 为假命题,故①p ∧q 为假命题,②p∨q 为真命题,③ ? q 为真命题,则 p∧( ? q)为真命 题,④ ? p 为假命题,则( ? p)∨q 为假命题,故选 C.

考点二

全称命题与特称命题的真假判断

【例 2】 (2013 高考新课标全国卷Ⅰ)已知命题 p:? x∈R,2x<3x;命 题 q:? x∈R,x =1-x ,则下列命题中为真命题的是(
3 2

)

(A)p∧q (C)p∧( ? q)
x 3

(B)( ? p)∧q (D)( ? p)∧( ? q)
x 2

解析:x=0 时,2 =3 =1,故命题 p 为假命题,作 出函数 y=x ,y=1-x 的图象如图所示, 由图知命题 q 为真命题, 因此 p∧q 为假命题, ? p∧q 为真命题, p∧ ? q 为假命题, ? p∧ ? q 为假命题. 故选 B.

【变式 1】 对于本例,若把命题 p 改为:? x0∈R, 2 x < 3x ,其他条件不变,则
0

0

应选什么?

解:当 x=2 时,22<32 成立, 所以命题 p 为真命题; 令 f(x)=x3+x2-1, 则 f(0)f(1)<0, 故 f(x)有零点,
3 即? x0∈R, x 0 =1- x 02 ,

所以命题 q 为真. 故 p∧q 为真命题. 故选 A.

【变式 2】 对于本例,若把命题 q 改为:? x∈R,x3=1-x2,其他条件不 变,则应选什么?
解:命题 p 为假命题, 而命题 q,? x∈R,x3=1-x2 不可能恒成立,如 x=3 就不成立. 故命题 q 为假命题, 所以 p、q 均为假命题. 故选项 A、B、C 均为假命题. ( ? p)∧( ? q)为真命题. 故选 D.

反思归纳 (1)全称命题真假的判断方法 ①要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合 M 中的每 一个元素 x,证明 p(x)成立. ②要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合 M 中的一个 特殊值 x=x0,使 p(x0)不成立即可.

(2)特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合 M 中,找到一 个 x=x0,使 p(x0)成立即可,否则这一特称命题就是假命题.

考点三 全称命题与特称命题的否定
【例 3】 (1)(2014 高考天津卷)已知命题 p:? x>0,总有(x+1)e >1,则 ? p 为
x

(

)
0

(A)? x0≤0,使得(x0+1) e x ≤1 (B)? x0>0,使得(x0+1) e x ≤1
0

(C)? x>0,总有(x+1)ex≤1 (D)? x≤0,总有(x+1)ex≤1 (2)已知命题 p:? x∈(0, (A)? x∈(0, (C)? x∈(0,
π ),使得 cos x≤x,则 ? p 为( 2

)

π π ),使得 cos x>x (B)? x∈(0, ),使得 cos x<x 2 2 π ),总有 cos x>x 2

(D)? x∈(0,

π ),总有 cos x≤x 2

解析:(1)全称命题的否定是特称命题,所以命题 p:? x>0,总有(x+1)e >1
x

的否定是 ? p:? x0>0, 使得(x0+1) e x ≤1.故选 B.
0

(2)原命题是一个特称命题,其否定是一个全称命题, 而“cos x≤x”的否定是“cos x>x”. 故选 C.

反思归纳

常见词语的否定形式有:
原语 句 否定 形式 是 不是 都是 不都是 > ≤ 至少有 一个 一个也 没有 至多有 一个 至少有 两个 对任意 x∈ A 使 p(x)真 存在 x0∈A 使 p(x0)假

【即时训练】命题 “对任意 x∈R,都有 x2≥0” 的否定为(
(A)对任意 x∈R,都有 x2<0 2 (B)不存在 x∈R,使得 x <0 (C)存在 x0∈R,使得 x 02 ≥0 (D)存在 x0∈R,使得 x 02 <0

)

解析:原命题的否定为:存在 x0∈R,使得 x 02 <0, 故选 D.

助学微博
1.含“或”“且”“非”命题真假的判断 (1)对于“p∧q”命题:一假则假,都真才真. (2)对于“p∨q”命题:一真则真,都假才假.
(3)对“ ? p”命题:与“p”命题真假相反.

2.“且”“或”“非”三个逻辑联结词,对应着集合中的“交”“并” “补”.所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理.

3.对全称命题、特称命题的否定主要注意量词的改写与结论的否定.

思想方法

融思想

促迁移

分类讨论思想在由命题真假求参数取值范围问题中的应用

【典例】已知 c>0,且 c≠1,设 p:函数 y=c 在 R 上单调递减;q:
?1 ? 函数 f(x)=x -2cx+1 在 ? , ?? ? 上为增函数,若“p∧q”为假, ?2 ?
2

x

“p∨q”为真,求实数 c 的取值范围.

解:≧函数 y=cx 在 R 上单调递减, ?0<c<1.即 p:0<c<1. ≧c>0 且 c≠1,? ? p:c>1.
?1 ? 又≧f(x)=x -2cx+1 在 ? , ?? ? 上为增函数, ?2 ?
2

1 1 ?c≤ .即 q:0<c≤ . 2 2 1 ≧c>0 且 c≠1,? ? q:c> 且 c≠1. 2

又≧“p∨q”为真,“p∧q”为假, ?p 真 q 假或 p 假 q 真. ①当 p 真,q 假时,
1 ? ? ? 1 ? {c|0<c<1}∩ ?c c ? 且c ? 1? = ?c ? c ? 1? ; 2 ? ? ? 2 ? 1? ? ②当 p 假,q 真时,{c|c>1}∩ ?c 0 ? c ? ? = ? . 2? ? ? 1 ? 综上所述,实数 c 的取值范围是 ?c ? c ? 1? . ? 2 ?

方法点睛

解答本题时运用了分类讨论思想,由条件可知 p、q

一真一假,因此需分 p 真 q 假与 p 假 q 真两类讨论,分别求解最 后将解合并,实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零 为整”的解题策略.

【即时训练】已知命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负实数
根;命题 q:方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实数根.若“p 或 q”为真命 题,“p 且 q”为假命题,求 m 的取值范围.
2 ? ??1 ? m ? 4 ? 0, 解:由 p 为真命题得 ? ? ?? m ? 0,
2

则 m>2. 由 q 为真命题得 2 2 Δ2=16(m-2) -16=16(m -4m+3)<0, 则 1<m<3.

又≧“p 或 q”为真,“p 且 q”为假, ?p 与 q 一真一假.

?m ? 2, ①当 p 真 q 假时, ? 解得 m≥3; ?m ? 1或m ? 3, ?m ? 2, ②当 p 假 q 真时, ? 解得 1<m≤2. ?1 ? m ? 3,
?m 的取值范围为(1,2]∪[3,+≦)


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