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浙江省2014届高三高考模拟冲刺卷(提优卷)(二)数学理试题 含答案


浙江省 2014 届高考模拟冲刺卷(提优卷) (二) 数学理试题
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。 2.每小题选出后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选 涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)= C k n p (1-p) (k=0,1,2,?,n)
k n-k

台体的体积公式 1 V= h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3 其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高

柱体的体积公式 V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式 1 V ? Sh 3 其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式 S=4π R2 球的体积公式 4 3 V ? πR 3 其中 R 表示球的半径

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已 知 i 是 虚 数 单 位 , 复 数 z 满 足 : ( ▲ ) A. ?

(1 ? 2i ) z ? (1 ? i ) 2 , 则 z
C.

的值是

4 2 ? i 5 5

B. ?

2 3 ? i 5 5

4 2 ? i 5 5

D.

2 3 ? i 5 5
2. 设集合 M= {x 1 ? x ? 2} , N= {x x ? a} , 若 M ? (CR N ) ? M , 则 a 的取值范围是 ( ▲ ) A.(? ? ,1) B.(?∞,1] C.[1,+∞) D.(2,+∞) 3.设 x 为非零实数,则 p: x ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件

1 ) ? 2 是 q: x ? 1 成立的 ( ▲ x

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( ▲ ) A.2 B.-2 C.3 D.-3 5. 李先生居住在城镇的 A 处,准备开车到单位 B 处上班,途中(不绕行)共要经过 6 个 交叉路口,假设每个交叉路口发生堵车事件的概率均为 遇到堵车次数 ? 的期望值 E? 是( ▲)

1 ,则李先生在一次上班途中会 6

A.

1 6

B.1

C. 6 ? ? ?

?5? ?6?

6

D. 6 ? ? ?

?1? ?6?

6

6.如果函数 y ? cos( A. a ?

?
4

? ax) 的图象关于直线 x ? ? 对称,则正实数 a 的最小值是( ▲ )
B. a ?

1 4

1 2

C. a ?

3 4

D. a ? 1

7 . 已 知 函 数 y ? f ( x) 在 R 上 为 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 ,

f ( x) ? l o g 3 ( x ? 1) , 若

f (t ) ? f (2 ? t ) ,则
A. ( ?? ,1)

实数 t 的取值范围是( ▲) B. (1, ?? ) C . ( ,2)

2 3

D. (2,??)

x2 y2 8. 已知双曲线 C 的方程是: ,若双曲线的离心率 e ? 2 , ? ? 1( m ? 0 ) 2m ? m2 m
则实数 m 的取值范围是( ▲) B . m?0 C . m ? 0或m ? 1 D. m ? 0 或 1<m<2. A. 1<m<2.

9. 在△ABC 中,已知 AB ? AC

? 4 , BC ? 3 ,M、N 分别是 BC 边上的三等分点,则

AM ? AN

的值是( ▲) B.

A.5

21 4

C. 6

D. 8

10.正四面体 ABCD,线段 AB / / 平面 ? ,E,F 分别是线段 AD 和 BC 的中点,当正四面体 绕以 AB 为轴旋转时,则线段 AB 与 EF 在平面 ? 上的射影所成角余弦值的范围是( ▲)

A. [0,

2 ] 2

B.[

2 ,1] 2

C.[

1 ,1] 2

D.[

2 1 , ] 2 2

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.

? 2? ?1? ?1? ?1? ?1? 11.设 ?1 ? ? ? a0 ? a1 ? ? ? a2 ? ? ? a3 ? ? ? a4 ? ? , ? x? ? x? ? x? ? x? ? x?
▲ .

4

2

3

4



a2 ? a4

的值是

? y?a ?0 ? 12.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 5 y ? 10 ? 0 ,且目标函数 z ? 2 x ? 5 y 的最 ? x ? y ?8 ? 0 ?
小值是 ? 10 ,则 a 的值是 ▲ . ▲

13.某几何体的三视图(单位:cm)如右图所示,则此几何体的体积等于 cm3.

14.在数列 ?an ?中, a1 ? 3 , (an ?1 ? 2)(an ? 2) ? 2 ( n ? N * ) ,则该数列的 前 2014 项的和是 ▲ .
2 2

15.若实数 x,y 满足: 3x ? 4 y ? 12 ,则 x ? y ? 2 x 的最小值是





16. 将编号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片,放入四个不同的盒子中,每个盒子至少放入 一张卡片, 则编号为 3 与 6 的卡片恰在同一个盒子中的不同放法共有 ▲ . 17.已知函数 f ( x) ? ? 则实数 a 的取值范围是

? ex ?1
2

x?0

?? x ? 2 x x ? 0
▲ _.

,若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? a 有三个不同的实根,

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应给出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分) 设 △ABC 的 三 内 角 A ,B,C 所 对 的 边 长 分 别 为 a,b,c , 且 a ? 3 , A= 60? ,

b?c ?3 2 .
(Ⅰ)求三角形 ABC 的面积; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的值及 △ABC 中内角 B,C 的大小.

19. (本小题满分 14 分) 在数列{an}中, a1 ? 255,

1 1 1 (n ? N * ) , ? ? 1 ? an?1 1 ? an 256

(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设 bk

?an ?的通项公式
(k ? N ) ,记数列
*

? ka2k

?bk ?的前 k 项和为 Bk ,求 Bk 的最大值.

20. (本小题满分 15 分) 如图, ?ABC 在平面 ? 内, ?ACB ? 90 , AB=2BC=2, P 为平面 ? 外一个动点,且
0

PC= 3 , ?PBC ? 60? (Ⅰ)问当 PA 的长为多少时, AC ? PB (Ⅱ) 当 ?PAB 的面积取得最大值时,求直线 PC 与平面 PAB 所成角的正 弦值

21. (本小题满分 15 分) 设椭圆 C1:

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F,P 为椭圆上的一个动点. 5

(Ⅰ)求线段 PF 的中点 M 的轨迹 C2 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线 l 与椭圆 C1 相交于点 A、D,与曲线 C2 顺次相交于点 B、C,当

AB ? FC ? FB 时,求直线 l 的方程.

22. (本小题满分 14 分) 已知函数

f ( x) ? ex ? 2x , g ( x) ? x 2 ? m ( m ? R )
f ( x) 中的任意实数 x, 在 y ? g ( x ) 上总存在实数 x0 , 使得 g ( x0 ) ? f ( x)

(Ⅰ) 对于函数 y ?

成立,求实数 m 的取值范围 (Ⅱ)设函数 h( x) ? af ( x) ? g( x) ,当 a 在区间 [1,2] 内变化时,

y ? h?( x) x ?[0, ln 2] 的取值范围; (2)若函数 y ? h ( x ) x ?[0,3] 有零点,求实数 m 的最大值.
(1)求函数

2014 年浙江省高考模拟冲刺卷(提优卷) 数学(理科)二参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 【答案解析】A. 由已知得 (1 ? 2i ) z ? 2i ,两边同乘 (1 ? 2i) 化简得 z ? ? 2. 【答案解析】B. 因为 (C R N ) ={x|x

4 2 ? i ,故选 A 5 5

? a },若 M ? (C H ) ? M ,则 a ? (?∞,1],故选 B
R

3. 【答案解析】B. 若 p 成立,q 不一定成立,如取 x ? 0.5 ,反之成立,故 p 是 q 的必要不充分条件,故 选B 4. 【答案解析】C. 该程序运行后输出的值是 3,故选 C 5. 【答案解析】B.

1 1 ? 服从二项分布 B (6, ) , E? ? 6 ? ? 1 ,故选 B 6 6
6. 【答案解析】A.

k 1 k? ,当 x ? ? 时, a ? ? (k ? Z ) ,因为 a ? 0 ,所以当 k ? 1 2 4 4 2 1 正数 a 取得最小值是 ,故选 A 4


?

? ax ?

时,

7. 【答案解析】B. 由 于 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 且 在 x ? 0 上 为 增 函 数 , 所 以 当

f (t ) ? f (2 ? t ) 时, t ? 2 ? t ,由此解得 t ? 1 ,故选 B
8. 【答案解析】D.

? ? 2 2 ? 2m ? m ? 0 ? 2m ? m ? 0 ? ? 解.由 ? m?0 ? 1 ? m ? 2 ,或 ? m?0 ? m ? 0 ,所以 m ? 0 或 1<m<2., 2 2 3 m ? m ? ( 3 m ? m ) ? ? ?2 ?2 2 ? ? ?m ? 2m ? m ?
故选 D 9. 【答案解析】C 设 BC 的中点为 O, 由 AB ? AC ? 4 , 即 ( AO ? OB) ? ( AO ? OC) ? AO ? OB ? 4 , 因为
2 2

BC

25 2 2 ? 3 ,所以 OB ? 9 ,由此可得: AO ? , 而 AM ? AN = AO ? OM , 4 4
2

2

由已知

OM ?

1 25 1 2 2 ,所以 AO ? OM = ? ? 6 ,所以 AM ? AN =6,故选 C 2 4 4

10. 【答案解析】 B. 如图,取 AC 中点为 G,结合已知得 GF / / AB,则线段 AB、EF 在平面 ? 上的射影所成角 等于 GF 与 EF 在平面 ? 上的射影所成角, 在正四面体中, AB ? CD, 又 GE / / CD, 所以 GE ? GF,
2 2 2 所以 EF ? GE ? GF ,当四面体绕 AB 转动时,因为 GF / / 平面 ? ,GE 与 GF 的垂直性保

持不变, 显然, 当 CD 与平面 ? 垂直时, GE 在平面上的射影长最短为 0, 此时 EF 在平面 ? 上 的射影 E1F1 的长取得最小值

1 1 ,当 CD 与平面 ? 平行时,GE 在平面上的射影长最长为 , 2 2

E1F1 取得最大值

2 2 1 ,所以射影 E1F1 长的取值范围是 [ , ],而 GF 在平面 ? 上的射 2 2 2

影长为定值

2 1 ,所以 AB 与 EF 在平面 ? 上的射影所成角余弦值的范围是[ ,1].故选 B 2 2

13. 【答案解析】40.
2 2 4 4 由题意 C4 (?2) ? C4 (?2) ? 40

14. 【答案解析】2. 作出平面区域, 由题设画图分析可知, 当? 由此可得 a ? 2 . 13. 【答案解析】

? x ? 5a ? 10 z ? 2 x ? 5 y 取得最小值 ? 10 , 时, ? y?a

32 . 3

由题意,该几何体为一个四棱锥,其底面是边长为 4 的正方形,高为 2 ,体积为

1 2 32 ?4 ?2 ? 3 3
14. 【答案解析】7049. 由 (an ?1 ? 2)(an ? 2) ? 2( n ? N * ) . 可得:(an ? 2)(an ?1 ? 2) ? 2( n ? N *, n ? 2 ) , 以上两式相除,得

an ?1 ? 2 ? 1 ,(an ?1 ? 2) ? (an?1 ? 2) n ? N *, n ? 2 ,所以 ,数列 ?an ? an ?1 ? 2 2 , a1 ? 3 , 所 以 a2 =4 , 所 以 a1 ? 2

是 一 个 周 期 数 列 , 周 期 为 2 , 由 于 a2 ? 2 ?

S2014 ? 1 0 0 ? 7 (a1 ? a2 ) ? 1 0 0 ? 7 (3 ? 4) ? 7 0 4 9
15. 【答案解析】8.

由于 x ? y ? 2 x = [(x ? 1) ? y ] ? 1 ,而点(-1,0)到直线 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 的距
2 2

2

2

离为 d ?

(?1) ? 3 ? 12 5

? 3 ,所以 ( x ? 1) 2 ? y 2 的最小值为 3,所以 x 2 ? y 2 ? 2 x 的最

2 小值为 3 ? 1 ? 8

16. 【答案解析】240. 将 3 和 6“捆绑”看成一张卡片,这样可看成 5 张卡片放入四个盒子中,共有不同的放
2 4 法: C5 A4 ? 240种放法.

17. 【答案解析】 (? ,0) ? (0, ) . 如图,直线 y=x-a 与函数 y ? f ( x) ? e ? 1 的图象在 x ? 0 处有一个切点,切点坐标
x

9 4

1 4

为(0,0) ,此时 a ? 0 ;直线 y ? x ? a 与函数 y ? ? x ? 2 x 的图象在 x ? 0 处有两个
2

切点,切点坐标分别是 ? ?

1 ? 1 3 ? (? 3 , 3 ) , ?和 ,此时相应的 a ? , 4 2 4 ? 2 4?

9 a ? ? ,观察图象可知,方程 f ( x) ? x ? a 有三个不同的实根时,实 4 9 1 数 a 的取值范围是 (? ,0) ? (0, ) 4 4
18. (本小题满分 14 分) 【答案解析】 (Ⅰ)由余弦定理 b ? c ? a ? 2bc cos
2 2 2

?
3

得 bc ? 3

,由此可得

1 3 3 3 3 S ?ABC ? bc sin A ? ? ? . 2 2 2 4
(Ⅱ) 因为 A=

?
3

; 由正弦定理:

3

sin

?
3

?

b c b?c , 又b ? c ? 3 2 , ? ? sin B sin C sin B ? sin C

所以 sin B ? sin C ?

6 6 ? ;因为 B ? C ? 120 ? ,所以 sin(120 ? C ) ? sin C ? ,由此 2 2



sin(C ? 30? ) ?

2 2 ,在 △ABC 中,由此可求得 A= 105? , C ? 15? 或 A= 15? ,

C ? 105? .
19. (本小题满分 14 分) 【答案解析】 (Ⅰ)设 cn ? a n ? 1,则数列 ?

?1? 1 ,公差也 ? 是一个等差数列,其首项为 c 256 ? n?



1 1 n 256 1 ,所以 1 ,所以 an ? ? ? (n ? 1) ? ?1, cn 256 256 256 n 256

k (Ⅱ)由(Ⅰ)知当 n ? 256 时, an ? 0 ,由 2 ? 256 得 k ? 8 ,所以

数 列 ?bk ? 的 前 8 项 和

B8 ( 或 前 7 项 和 B7 最 大 , 因 为 a8 ? 0 ) 最 大 ,

7

1 2 3 8 B8 ? 256 ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? 8 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? 8) 2 2 2 2



1 2 3 8 ?1? T8 ? ? 2 ? 3 ? ? ? 8 , 由 错 位 相 减 法 可 求 得 T8 ? 2 ? 5 ? ? ? , 所 以 2 2 2 2 ?2?

1? B8 = 256? [2 ? 5? ? ? ] ? 36 =466.即前 7 项或前 8 项和最大,其最大值为 466. ?2?
23. (本小题满分 15 分)
0 【答案解析】 ( Ⅰ ) 因 为 ?ACB ? 90 , 所 以

7

AC ? BC , 当 AC ? PC 时 ,

AC ? 平面P B C , 而 PB ? 平面PBC , 所 以 AC ? PB 时 , 此 时 ,

PA ? AC2 ? PC2 ? 3 ? 3 ? 6 ,即当 PA= 6 时, AC ? PB
(Ⅱ)在 ?PBC 中,因为 PC= 3 , ?PBC ? 60? BC=1 , 所 以
?

BC ? PC , PB ? 2 . 当 ?PAB 的 面 积 取 得 最 大 值 时 ,

?PBA ? 90 , (如图)在 Rt?PBA中,因为 BP ? BA ? 2 ,由此可求得 BD= 2 ,又在 Rt?BCD 中,BC=1,所以 CD=1,过 C 作 CE ? BD,E 为垂 足,由于 PA ? 平面BCD ,所以, 平面BCD ? 平面PBA,由两个平面 互相垂直的性质可知: CE ? 平面PBA ,所以 ?CPE 就是直线 PC 与平面 PAB 所成角,在

2 ,在 Rt?PEC 中, sin ?CPE ? CE ? 2 ? 3 ? 6 , 2 PC 2 6 6 所以直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值是 . 6

Rt?BCD 中,可求得 CE ?

24. (本小题满分 15 分) 【答案解析】 (Ⅰ)设点 M(x,y) ,而 F(2,0) ,故 P 点的坐标为(2x-2,2y) ,代入椭圆方 程 得 : ( 2 x ? 2) ? ( 2 y ) 2 ? 1 , 即 线 段 PF 的 中 点 M 的 轨 迹 C2 的 方 程 为 :
2

5

4( x ? 1) ? 4 y2 ? 1 5
2

( Ⅱ ) 设 直 线

l

的 方 程 为 :

x ? my ? 2 , 解 方 程 组

? x ? m y? 2 ? 2 ? (m 2 ? 5) y 2 ? 4m y ? 1 ? 0 , ?1 ? 16m2 ? 4(m2 ? 5) ? 20m2 ? 20 , ? ?x 2 ? y ? 1 ? ?5



m?0







yA ?

? 4m ? 2 5 m 2 ? 1 2(m 2 ? 5)











x ? m y? 2 ? ? 2 ? 4(m 2 ? 5) y 2 ? 8m y ? 1 ? 0 ? 4( x ? 1) 2 ? 4 y ? 1 ? 5 ?

?2 ? 64m ? 4(4m ? 20) ? 80m ? 80 , yc ?
2 2 2

8m ? 4 5 m2 ? 1 ,由题设 2(4m2 ? 20) AB ? FC ? FB ,可得 AF ? FC ,有 y A ? yC ,所以

? 4m ? 2 5 m 2 ? 1 8m ? 4 5 m 2 ? 1 2 =? ,即 6m ? 5 m ? 1 ( m ? 0 ) ,由此解 2 2 2(m ? 5) 2(4m ? 20)
得:m ?

1 155 5 ? , 故符合题设条件的其中一条直线的斜率 k ? ; ?当 m ? 0 时, m 5 31

同理可求得另一条直线方程的斜率 k ? ?

155 ,故所求直线 l 的方程是 5

y??

155 ( x ? 2) . 5

25. (本小题满分 14 分) 【答案解析】 (Ⅰ)原命题 ? [ g ( x)]min ? [ f ( x )]min ,先求函数 y ? f ( x) 的最小值,令

f ?( x) ? ex ? 2 ? 0 ,得 x ? ln 2 .当 x ? ln 2 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ln 2 时, f ?( x) ? 0 ,
故当 x ? ln 2 时, y ? f ( x) 取得极 (最) 小值, 其最小值为 2 ? 2 ln 2 ; 而函数 y ? g ( x) 的最小值为 m,故当 m ? 2 ? 2 ln 2 时,结论成立 (Ⅱ) (1) :由 h( x) ? a(e
x

? 2 x) ? x 2 ? m ,可得 h?( x) ? a(e x ? 2) ? 2 x ,把 y ? h?( x)

这个函数看成是关于 a 的一次函数, (1) 当 x ?[0, ln 2] 时,e x ? 2 ? 0 , 因为 a ?[1,2] ,
x x x 故 h?( x) 的值在区间 [2(e ? 2) ? 2 x, (e ? 2) ? 2 x] 上变化,令 M ( x) ? 2(e ? 2) ? 2 x ,

x ?[0, ln 2] ,则 M ?( x) ? 2e x ? 2 ? 0 , M ( x) 在 x ?[0, ln 2] 为增函数,故 h?( x) 在 x ?[0, ln 2] 最小值为 M (0) ? ?2 ,又令 N ( x) ? (e x ? 2) ? 2 x ,同样可求得 N ( x) 在 x ?[0, ln 2] 的最大值 N (0) ? ?1 ,所以函数 y ? h?( x) 在 x ?[0, ln 2] 的值域为[-2,-1] x (Ⅱ) (2) 当 x ?[0, ln 2] 时,N ( x) ? (e ? 2) ? 2 x 的最大值 N (0) ? ?1 , 故对任意 a ?[1,2] , h( x) 在 x ?[0, ln 2] 均为单调递减函数,所以函数 h( x) max ? h(0) ? a ? m
当 x ?[ln 2,3] 时,因为 e x ? 2 ? 0 , a ?[1,2] ,故 h?( x) 的值在区间

[(e x ? 2) ? 2x,2(e x ? 2) ? 2x] 上变化,此时,对于函数 M ( x) ,存在 x0 ? [ln 2,3] ,M ( x) 在
x ? [ln 2, x0 ] 单调递减,在 x ? [ x0 ,3] 单调递增,所以, h( x) 在 x ?[ln 2,3] 的最大值为 h(3) ? a (e3 ? 6) ? 9 ? m ,因为 a ?[1,2] , h(3) ? h(0) ? a(e3 ? 7) ? 9 ? 0 ,所以

h(3) ? h(0) ,故 h( x) 的最大值是 h(3) ? a(e3 ? 6) ? 9 ? m ,又因为 a ?[1,2] ,故当函数 y ? h( x ) 有零点时,实数 m 的最大值是 m ? 2(e 3 ? 6) ? 9 ? 2e3 ? 21.

题号:03 “数学史与不等式选讲”模块(10 分)

解(Ⅰ)由于 a ? b ? c ? 1 ,所以 ( a ?1)2 ? ( b ? 2)2 ? ( c ? 3)2

? (a ? b ? c ?14) ? (2 a ? 4 b ? 6 c ) ? 15 ? 2( a ? 2 b ? 3 c ) ,由柯西不等式 ( a ? 2 b ? 3 c )2 ? (1 ? 4 ? 9)(a ? b ? c) ? 14 ,当且仅当
a b c ? ? 时, 1 2 3

( a ? 2 b ? 3 c ) 取得最大值 14 ,又因为 a ? b ? c ? 1 ,由此可得:当
a?
2 2 2 1 4 9 , b ? , c ? 时, ( a ? 1) ? ( b ? 2) ? ( c ? 3) 取得最大值 15 ? 2 14 14 14 14

(Ⅱ)因 a , b, c 是正实数,故
? (c ? a ? b) ? 1

bc ac ab 1 ?? bc ac ? ? ac ab ? ? ab bc ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? a b c 2? c ? ? c a ?? ?? a b ? ? b

ab ? bc ? ca ? a 2 ? b 2 ? c 2











3(ab ? bc ? ca) ? (a ? b ? c)2 ? 1
bc ac ab ? ? ? 3(ab ? bc ? ca ) . a b c

所以

题号:04 “矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(10 分) 解 ( Ⅰ )? 当切线 l 垂直于 x 轴时,由题设可求得 A(

12 12 12 12 (或 , ) , B( ,? ), 7 7 7 7

A?(?

12 12 12 12 ,故 kOA ? kOB ? ?1 ,所以 OA ? OB ; , ) , B?(? ,? )) 7 7 7 7

? 当 切 线 l 与 x 轴 不 垂 直 时 , 设 直 线 AB 的 方 程 为 : y ? kx ? m , 解 方 程 组

y ? kx ? m ? ? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12 ? 0

? 4m 2 ? 12 x x ? ? ? 1 2 3 ? 4k 2 , ? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx? 4m2 ?12 ? 0 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 ? ? 8 km ? x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 ?

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1x2 ? mk( x1 ? x2 ) ? m2 ,所以

x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 )(
x2 ? y2 ?

4m 2 ? 12 ? 8km , 因 为 直 线 y ? kx ? m 与 圆 ) ? m k( ) ? m2 ( * ) 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

m 12 12 12 2 (1 ? k 2 ) ,代入方程( * )化简得 相切,所以 ,即 m ? ? 2 7 7 7 1? k

x1 x2 ? y1 y2 ? 0
即 kOA ? kOB ? ?1 ,所以 OA ? OB . 综上??,证得 OA ? OB 成立

(Ⅱ) 以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 椭圆 C 在极坐标
系下的方程是

1

?2

?

? cos2 ? sin 2 ? ,因为 OA ? OB ,故可设 A( ?1 , ? ), B ( ? 2 , ? ? ) ,所 ? 2 4 3
2 2

cos2 ( ? ? ) sin 2 ( ? ? ) 1 1 7 1 1 cos ? sin ? 2 2 ? ? ? 以 。 即 ? ?( ? )? ? 2 2 4 3 12 4 3 4 3 OA OB

?

?

1 OA
2

?

1 OB
2

为定值,其大小为

7 . 12


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