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2.1-第2课时-数列的通项公式与递推公式


第2课时

数列的通项公式与递推公式

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第二章 数列

栏目导引

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第二章 数列

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1.体会递推公式是数列的一种表示方法. 2.理解递推公式的含义,能够根据递推公式写出数列的前几 项.

3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式.

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第二章 数列

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1.数列的单调性 在数列{an}中,若an+1 >an,则{an}是递增数列;若an+1 an , 则{ an}是递减数列;若an+1 = an,则{an}是常数列. <

2.数列的递推公式
如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且从第二项(或某一 项)开始的任一项a 与它的前一项 an-1 ( 或 前 几 项 )(n≥2 ,
n

n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这 个数列的
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递推

公式.
第二章 数列

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如何判断数列的单调性
要比较 an 与 an+1 的大小,可以用作差法或作商法, 即若 an+1-an>0,则 an+1>an,可以判断数列{an}是递增 a n+ 1 数列;当 an>0 时,若 a >1,则 an+1>an,也能判断数 n 列{an}是递增数列.对于递减数列,可以相应调整不等 号的方向给出判断.

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3.通项公式与递推公式的区别与联系

区别 通项公式 递推公式 项an是序号n的函数式an=f(n) 已知a1及相邻项间的关系式

联系 都可以确定 数列

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1 .已知数列 {an} , a1 = 1 , an - an - 1 = n - 1(n≥2) .则 a6 = ( ) A.7 B.11

C.16

D.17

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解析: ∵a1=1,an-an-1=n-1

∴a2-a1=1
a3-a2=2 a4-a3=3 a5-a4=4 a6-a5=5 累加得a6-a1=1+2+3+4+5 ∴a6=1+15=16.故选C. 答案: C
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2.数列2,4,6,8,10,…的递推公式是(

)

A.an=an-1+2(n≥2)
B.an=2an-1(n≥2) C.a1=2,an=an-1+2(n≥2) D.a1=2,an=2an-1(n≥2)

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解析: a2-a1=2

a3-a2=2
a4-a3=2 a5-a4=2 ∴an-an-1=2,即an=an-1+2(n≥2),故选C. 答案: C

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an+1 1 3. 已知数列{an}满足 a1>0, a =2(n∈N*), 则数列{an} n 是________数列(填“递增”或“递减”).
1 解析: 由已知 a1>0,an+1=2an(n∈N*), 得 an>0(n∈N*). 1 1 又 an+1-an= an-an=- an<0, 2 2 ∴{an}是递减数列.
答案: 递减

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4.已知a1=1,an+1=2an,

(1)写出数列的前五项;
(2)求数列的一个通项公式.

解析: (1)由 a1=1,an+1=2an 得 a2=2,a3=4,a4=8,a5=16. an (2)方法一(累乘法):由已知得 =2(n≥2), an-1 a2 a3 a4 an ∴ =2, =2, =2,?, =2, a1 a2 a3 an-1 将这些式子的两边分别相乘得
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a2 a3 a4 an an n-1 ?· =a =2 (n≥2), a1· a2· a3· an-1 1 又 a1=1=20,∴通项公式为 an=2n 1.


方法二(迭代法): an=2an-1=22an-2=23an-3 =?=2n-1a1=2n-1, 即通项公式为 an=2n 1.


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已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(log2an)=-2n.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:数列{an}是递减数列.

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[解题过程]

(1)∵f(x)=2x-2 x,f(log2an)=-2n,


∴2log2an-2-log2an=-2n, 1 an-a =-2n, n ∴an2+2nan-1=0, 解得 an=-n± n2+1. ∵an>0,∴an= n2+1-n,n∈N*.

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an+1 ?n+1?2+1-?n+1? (2)证明: a = n n2+1-n n2+1+n = <1. 2 ?n+1? +1+?n+1? ∵an>0,∴an+1<an, ∴数列{an}是递减数列.

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[题后感悟]

本题是函数、方程与数列的典型结合与运

用.要比较 an 与 an+1 的大小,可以用作差法或作商法,即若 an+1-an>0,则 an+1>an,可以判断数列{an}是递增数列;当 an+1 an>0 时,若 >1,则 an+1>an,也能判断数列{an}是递增数 an 列.对于递减数列,可以相应调整不等号的方向给出判断.

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1. 设 f(x) = log2x - logx4(0<x<1) ,又知数列 {an} 的通项 an 满足

f(2an)=2n(n∈N*).
(1)试求数列{an}的通项公式;

(2)判断数列{an}的增减性.

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解析: (1)∵f(x)=log2x-logx4(0<x<1),f(2an)=2n, ∴log22an-log2an4=2n. log24 由换底公式得 log22an- =2n, log22an 2 得 an-a =2n,∴an2-2nan-2=0. n ∴an=n± n2+2. 由 0<x<1 有 0<2an<1,∴an<0. ∴数列{an}的通项公式为 an=n- n2+2.

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an+1 ?n+1?- ?n+1?2+2 (2) a = n n- n2+2 n+ n2+2 = <1. 2 ?n+1?+ ?n+1? +2 ∴an+1>an. 即数列{an}是递增数列.

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已知数列{an}满足下列条件,写出它的前 5 项,并归 纳出数列的一个通项公式. (1)a1=0,an+1=an+(2n-1); 2an (2)a1=1,an+1= . an+2

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题中的两个数列都是用递推公式给出的,已知a1可递
推出a2,…,依此类推,可求出它的任意一项.

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[解题过程] (1)∵a1=0,an+1=an+(2n-1),

∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1;
a3=a2+(2×2-1)=1+3=4; a4=a3+(2×3-1)=4+5=9; a5=a4+(2×4-1)=9+7=16. 故该数列的一个通项公式是an=(n-1)2.

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2an (2)∵a1=1,an+1= , 2+an 2a1 2 2a2 1 ∴a2= = ,a3= = , 2+a1 3 2+a2 2 2a3 2 2a4 1 a4 = = ,a5= = , 2+a3 5 2+a4 3 2 1 2 1 ∴它的前 5 项依次是 1, , , , . 3 2 5 3 2 2 2 2 2 它的前 5 项又可写成 , , , , , 1+1 2+1 3+1 4+1 5+1 2 故它的一个通项公式为 an= . n+1

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[题后感悟] 根据初始值及递推公式写出数列的前几项,然

后归纳、猜想其通项公式,这是教学大纲和《高考考试大纲》
的基本要求,我们必须熟练地掌握它,其中归纳猜想通项公式 是难点,可用上面的根据数列的前几项写出一个通项公式的方 法来处理,不同的是在写出前几项时一般不对前几项化简,但 有时化简后有利于观察其通项公式,关键是尝试,而没有定

法.

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2. 在 数 列 {an} 中 , 已 知 a1 = 2 , a2 = 3 , an + 2 = 3an + 1 -
2an(n≥1),写出此数列的前6项,并猜想数列的通项公式. 解析: a1=2,a2=3, a3=3a2-2a1=3×3-2×2=5, a4=3a3-2a2=3×5-2×3=9, a5=3a4-2a3=3×9-2×5=17, a6=3a5-2a4=3×17-2×9=33. 可猜想an=2n-1+1.
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已知数列{an},a1=2,an=3an-1,写出数列的前5

项,猜想an,并加以证明.

由题目可获取以下主要信息: an+1 ① a =3,n∈N*; n an an-1 a3 a2 ②an= · · ?· · · a1. a a an-1 an-2 2 1 解答本题运用累乘法转化为求某一常数的乘方运算.

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[解题过程] 由a1=2,an=3an-1得

a2=3a1=3·2=6
a3=3a2=3·6=32·2=18 a4=3a3=3·18=33·2=54 a5=3a4=3·54=34·2=162 猜想an=2·3n-1 证明(累乘法):

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由 a1=2,an=3an-1 得, an an-1 a3 a2 = =?=a =a =3 an-1 an-2 2 1 an an-1 a3 a2 ∴an= · · ?· · · a1 a a an-1 an-2 2 1 = 3· 3· 3· ?· 3· 2 n-1 个 =2· 3n-1(n∈N*) 当 n=1 时,a1=2· 31 1=2.


∴n=1 时满足 an=2· 3n 1,∴an=2· 3n 1(n∈N*).
- -

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[题后感悟] 由形如an=f(n)· an-1(n≥2)的数列的递推公式求

通项公式时,通常用累乘法或迭代法.形成函数的运动变化的
观点,不断地变换递推公式中的“下标”,直到可以利用首项 或前几项是解题的关键.

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4.例题中,题干改为:已知数列{an}中,a1=1,(n+1)an+1

=nan,求此数列的前5项及通项公式.
解析: n 由 a1=1,(n+1)an+1=nan 得 an+1= an n+1

1 1 2 1 ∴a2=2a1=2,a3=3a2=3, 3 1 4 1 a4=4a3=4,a5=5a4=5 an+1 n 由(n+1)an+1=nan 得 = an n+1
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an n-1 即 = n an-1 an an-1 a3 a2 ∴an= × ×?×a ×a ×a1 an-1 an-2 2 1 n-1 n-2 2 1 = n × ×?×3×2×1 n-1 1 =n(n≥2 且 n∈N*) 1 当 n=1 时,a1=1=1, 1 ∴n=1 时满足 an= . n 1 综上,an= (n∈N*). n
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1.准确理解数列的递推公式的概念

递推公式是间接反映数列的式子,它是数列任意两个 (或多
个)相邻项之间的推导关系,不能由n直接得出an.用递推公式给出 一个数列,必须给出以下两点: (1)“基础”——数列{an}的第1项或前几项; (2) 递推关系 ——数列 {an} 的任一项 an 与它的前一项 an - 1( 或前 几项)之间的关系,并且这个关系可以用一个公式来表示.如果 两个条件缺一个,数列就不能确定.

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2.用递推公式求数列的通项公式 (1)累加法 当 an-an-1=f(n)满足一定规律时,可用 an=(an-an-1) +(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 来求通项 an. (2)累乘法 an an an-1 a2 当 =g(n)满足一定条件时, 可用 an= · · ?· · a an-1 an-1 an-2 a1 1 来求通项 an.

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3.与数列递推公式有关的问题

数列递推公式的主要题型:

(1)根据数列的递推公式和第 1项(或其他项)求数列的前几项; (2)根据数列的递推公式求数列的通项公式.

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练考题、验能力、轻巧夺冠
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