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导数专题复习(配详细答案)

导数专题复习(配详细答案)

体型一:

关于二次函数的不等式恒成立的主要解法:

1、分离变量;2 变更主元;3 根分布;4 判别式法

5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间)

与定义域的关系

(2)端点处和顶点是最值所在

其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结

合思想”,创建不等关系求出取值范围。

注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:
第一步:令 f ' (x) ? 0 得到两个根;
第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元);
例 1:设函数 y ? f (x) 在区间 D 上的导数为 f ?(x) , f ?(x) 在区间 D 上的导数为 g(x) ,若在区间 D

上 , g(x )? 0恒 成 立 , 则 称 函 数 y ? f (x) 在 区 间 D 上 为 “ 凸 函 数 ”, 已 知 实 数 m 是 常 数 ,

f (x) ? x4 ? mx3 ? 3x2 12 6 2
(1)若 y ? f (x) 在区间?0,3? 上为“凸函数”,求 m 的取值范围;

(2)若对满足 m ? 2 的任何一个实数 m ,函数 f (x) 在区间 ?a,b? 上都为“凸函数”,求 b ? a 的最大

值.

解:由函数 f (x) ? x4 ? mx3 ? 3x2 得 f ?(x) ? x3 ? mx2 ? 3x

12 6 2

32

? g(x) ? x2 ? mx ? 3

(1) y ? f (x) 在区间?0,3? 上为“凸函数”,
则 ? g(x) ? x2 ? mx ? 3 ? 0 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于 gmax (x) ? 0

?g(0) ??g(3)

? ?

0 0

?

??3 ? 0 ??9 ? 3m

?

3

?

0

?

m

?

2

解法二:分离变量法:
∵ 当 x ? 0 时, ? g(x) ? x2 ? mx ? 3 ? ?3 ? 0 恒成立,

当 0 ? x ? 3 时, g(x) ? x2 ? mx ? 3 ? 0 恒成立

等价于 m ? x2 ? 3 ? x ? 3 的最大值( 0 ? x ? 3 )恒成立,

x

x



h(

x)

?

x

?

3 x



0

?

x

?

3

)是增函数,则

hmax

(

x)

?

h(3)

?

2

?m ? 2

(2)∵当 m ? 2 时 f (x) 在区间 ?a,b? 上都为“凸函数”

则等价于当 m ? 2 时 g(x) ? x2 ? mx ? 3 ? 0 恒成立
变更主元法
再等价于 F (m) ? mx ? x2 ? 3 ? 0 在 m ? 2 恒成立(视为关于 m 的一次函数最值问题)

-2

2

?

?F ??F

(?2) ? 0 (2) ? 0

?

???2x ? x2 ? 3 ? 0

? ??2x

?

x2

?

3

?

0

?

?1

?

x

?

1

?b ? a ? 2

例 2:设函数 f (x) ? ? 1 x3 ? 2ax2 ? 3a2 x ? b(0 ? a ? 1,b ? R) 3
(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)若对任意的 x ?[a ?1, a ? 2],不等式 f ?(x) ? a 恒成立,求 a 的取值范围.
(二次函数区间最值的例子)
解:(Ⅰ) f ?(x) ? ?x2 ? 4ax ?3a2 ? ?? x ?3a?? x ? a?
0? a ?1
f ?(x)

a 3a

3a a

令 f ?(x) ? 0, 得 f (x) 的单调递增区间为(a,3a)

令 f ?(x) ? 0, 得 f (x) 的单调递减区间为(- ? ,a)和(3a,+ ? )

∴当 x=a 时, f (x) ? = 极小值 3 a3 ? b; 4

当 x=3a 时, f (x) 极大值=b.

(Ⅱ)由| f ?(x) |≤a,得:对任意的 x ?[a ?1, a ? 2], ?a ? x2 ? 4ax ? 3a2 ? a 恒成立①

则等价



g(x)



个二次函数

?gmax (x) ? a

? ?

g

min

(

x)

?

?a

0 ? a ? 1 , a ?1 ? a ? a ? 2a (放缩法)

g(x) ? x2 ? 4ax ? 3a2 的 对 称 轴 x ? 2a

即定义域在对称轴的右边, g(x) 这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。

g(x) ? x2 ? 4ax ? 3a2在[a ?1, a ? 2] 上是增函数.



g(x)max ? g(a ? 2) ? ?2a ?1.

g(x)min ? g(a ?1) ? ?4a ? 4.

?a ?1, a ? 2?

x ? 2a

于是,对任意 x ?[a ?1, a ? 2] ,不等式①恒成立,等价于

?g(a ??g(a

? 2) ? ?4a ? 4 ? a, ?1) ? ?2a ?1 ? ?a

解得

4 5

?

a

?

1.

又 0 ? a ? 1, ∴ 4 ? a ? 1. 5

点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间)与定义域的关系

第三种:构造函数求最值
题型特征: f (x) ? g(x) 恒成立 ? h(x) ? f (x) ? g(x) ? 0 恒成立;从而转化为第一、二种题型

例 3;已知函数 f (x) ? x3 ? ax2 图象上一点 P(1,b) 处的切线斜率为 ?3 ,

g(x) ? x3 ? t ? 6 x2 ? (t ?1)x ? 3 2
(Ⅰ)求 a, b 的值;

(t ? 0)

(Ⅱ)当 x ?[?1, 4] 时,求 f (x) 的值域;

(Ⅲ)当 x ?[1, 4] 时,不等式 f (x) ? g(x) 恒成立,求实数 t 的取值范围。

解:(Ⅰ)

f

/ (x)

?

3x2

?

2ax



? ?

f

/ (1)

?

?3 ,

?b ? 1? a

解得

?a ?? b

? ?

?3 ?2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f (x) 在[?1, 0]上单调递增,在[0, 2] 上单调递减,在[2, 4] 上单调递减

又 f (?1) ? ?4, f (0) ? 0, f (2) ? ?4, f (4) ? 16

∴ f (x) 的值域是[?4,16] (Ⅲ)令 h(x) ? f (x) ? g(x) ? ? t x2 ? (t ?1)x ? 3 x ?[1, 4]
2 思路 1:要使 f (x) ? g(x) 恒成立,只需 h(x) ? 0 ,即 t(x2 ? 2x) ? 2x ? 6 分离变量

思路 2:二次函数区间最值 二、参数问题 题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法 1:转化为 f ' (x) ? 0或f ' (x) ? 0 在给定区间上恒成立, 回归基础题型

解法 2:利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间 的子集; 做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”,要弄清楚两句话的区别: 前者是后者的子集

例 4:已知 a ? R ,函数 f (x) ? 1 x3 ? a ?1 x2 ? (4a ?1)x .

12

2

(Ⅰ)如果函数 g(x) ? f ?(x) 是偶函数,求 f (x) 的极大值和极小值;

(Ⅱ)如果函数 f (x) 是 (??, ? ?) 上的单调函数,求 a 的取值范围.

解: f ?(x) ? 1 x2 ? (a ?1)x ? (4a ?1) . 4
(Ⅰ)∵ f ?(x) 是偶函数,∴ a ? ?1.
令 f ?(x) ? 0 ,解得: x ? ?2 3 .

此时 f (x) ? 1 x3 ? 3x , f ?(x) ? 1 x2 ? 3 ,

12

4

列表如下:

x

(-∞,-2 3 ) -2 3 (-2 3 ,2 3 ) 2 3

(2 3 ,+∞)

f ?(x)

+

0



0

+

f (x)

递增

极大值

递减

极小值

递增

可知: f (x) 的极大值为 f (?2 3) ? 4 3 ,

f (x) 的极小值为 f (2 3) ? ?4 3 .

(Ⅱ)∵函数 f (x) 是 (??, ? ?) 上的单调函数,
∴ f ?(x) ? 1 x2 ? (a ?1)x ? (4a ?1) ? 0 ,在给定区间 R 上恒成立判别式法 4
则 ? ? (a ?1)2 ? 4 ? 1 ? (4a ?1) ? a2 ? 2a ? 0, 解得: 0 ? a ? 2 . 4
综上, a 的取值范围是{a 0 ? a ? 2}.

例 5、已知函数 f (x) ? 1 x3 ? 1 (2 ? a)x2 ? (1 ? a)x(a ? 0). 32
(I)求 f (x) 的单调区间;

(II)若 f (x) 在[0,1]上单调递增,求 a 的取值范围。子集思想

(I) f ?(x) ? x2 ? (2 ? a)x ? 1 ? a ? (x ?1)(x ? 1 ? a).

1、当a ? 0时, f ?(x) ? (x ?1)2 ? 0恒成立,

当且仅当 x ? ?1 时取“=”号, f (x)在(??, ??) 单调递增。

2、当a ? 0时,由f ?(x) ? 0,得x1 ? ?1, x2 ? a ?1,且x1 ? x2 ,

f ?(x)

单调增区间: (??, ?1), (a ?1, ??)

单调增区间: (?1, a ?1)

-1

a-1

(II)当 f (x)在[0,1]上单调递增, 则?0,1? 是上述增区间的子集:

1、 a ? 0 时, f (x)在(??, ??) 单调递增 符合题意

2、?0,1? ? ?a ?1,??? ,?a ?1? 0
综上,a 的取值范围是[0,1]。

?a ?1

三、题型二:根的个数问题

题 1 函数 f(x)与 g(x)(或与 x 轴)的交点======即方程根的个数问题 解题步骤

第一步:画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后

减再增”还是“先减后增再减”;

第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与 0 的关系;

第三步:解不等式(组)即可;

例 6、已知函数 f (x) ? 1 x3 ? (k ? 1) x 2 , g(x) ? 1 ? kx ,且 f (x) 在区间 (2,??) 上为增函数.

3

2

3

(1) 求实数 k 的取值范围;

(2) 若函数 f (x) 与 g(x) 的图象有三个不同的交点,求实数 k 的取值范围.

解:(1)由题意 f ?(x) ? x 2 ? (k ? 1)x ∵ f (x) 在区间 (2,??) 上为增函数,

∴ f ?(x) ? x 2 ? (k ? 1)x ? 0 在区间 (2,??) 上恒成立(分离变量法)

即 k ? 1 ? x 恒成立,又 x ? 2 ,∴ k ? 1 ? 2 ,故 k ?1 ∴ k 的取值范围为 k ?1

(2)设 h(x) ? f (x) ? g(x) ? x3 ? (k ? 1) x 2 ? kx ? 1 ,

32

3

h?(x) ? x 2 ? (k ? 1)x ? k ? (x ? k)( x ? 1)

令 h?(x) ? 0 得 x ? k 或 x ?1 由(1)知 k ?1 ,

①当 k ?1时, h?(x) ? (x ? 1) 2 ? 0 , h(x) 在 R 上递增,显然不合题意…

②当 k ?1 时, h(x) , h?(x) 随 x 的变化情况如下表:

x (??, k)

k

(k,1) 1 (1,??)

h?(x) ?

0



0

?

h(x)



极大值

↘ 极小值 ↗

? k3 ? k2 ? 1 6 23

k ?1 2

由于 k ? 1 ? 0 ,欲使 f (x) 与 g(x) 的图象有三个不同的交点,即方程 h(x) ? 0 有三个不同的实根,故 2

需? k3 6

? k2 2

? 1 ? 0 ,即 (k ? 1)(k 2 3

? 2k ? 2) ? 0

?k ? 1



? ?k

2

?

2k

?

2

?

,解得 k 0

?1?

3

综上,所求 k 的取值范围为 k ? 1 ? 3

根的个数知道,部分根可求或已知。
例 7、已知函数 f (x) ? ax3 ? 1 x2 ? 2x ? c 2
(1)若 x ? ?1 是 f (x) 的极值点且 f (x) 的图像过原点,求 f (x) 的极值;
(2)若 g(x) ? 1 bx2 ? x ? d ,在(1)的条件下,是否存在实数 b ,使得函数 g(x) 的图像与函数 f (x) 的 2
图像恒有含 x ? ?1 的三个不同交点?若存在,求出实数 b 的取值范围;否则说明理由。高 1 考 1 资 1 源 2


解:(1)∵ f (x) 的图像过原点,则 f (0) ? 0 ? c ? 0

f ?(x) ? 3ax2 ? x ? 2 ,

又∵ x ? ?1 是 f (x) 的极值点,则 f ?(?1) ? 3a ?1? 2 ? 0 ? a ? ?1

f ?(x)

? f ?(x) ? 3x2 ? x ? 2 ? (3x ? 2)(x ?1) ? 0

3 f极大值 (x) ? f (?1) ? 2

2 22

f极小值 (x )? f

( 3

?) ? 7

-1

2

3

(2)设函数 g(x) 的图像与函数 f (x) 的图像恒存在含 x ? ?1 的三个不同交点,

等价于 f (x) ? g(x) 有含 x ? ?1 的三个根,即: f (?1) ? g(?1) ? d ? ? 1 (b ?1) 2

? x3 ? 1 x2 ? 2x ? 1 bx2 ? x ? 1 (b ?1) 整理得:

2

2

2

即: x3 ? 1 (b ?1)x2 ? x ? 1 (b ?1) ? 0 恒有含 x ? ?1 的三个不等实根

2

2

(计算难点来了:) h(x) ? x3 ? 1 (b ?1)x2 ? x ? 1 (b ?1) ? 0 有含 x ? ?1 的根,

2

2

则 h(x) 必可分解为 (x ?1)(二次式) ? 0 ,故用添项配凑法因式分解,

x3 ?x2 ? x2 ? 1 (b ?1)x2 ? x ? 1 (b ?1) ? 0

2

2

x2

(x

?

1)

?

? ??

1 2

(b

?

1)

x2

?

x

?

1 2

(b

?1)???

?

0

x2

(x

?1)

?

1 2

??(b

? 1) x 2

?

2x

?

(b

?1)??

?

0

十字相乘法分解: x2 (x ?1) ? 1 ?(b ?1)x ? (b ?1)?? x ?1? ? 0
2

(x

? 1)

? ??

x2

?

1 2

(b

?

1)

x

?

1 2

(b

?1)???

?

0

? x3 ? 1 (b ?1)x2 ? x ? 1 (b ?1) ? 0 恒有含 x ? ?1 的三个不等实根

2

2

等价于 x2 ? 1 (b ?1)x ? 1 (b ?1) ? 0 有两个不等于-1 的不等实根。

2

2

?

????

?

1 4

(b

? 1)2

? ???(?1)2

?

1 2

(b

?

? 4? 1 (b ?1) ? 0 2
1) ? 1 (b ?1) ? 0 2

?

b

?

(??,

?1)

?

(?1,

3)

?

(3,

?? )

题 2:切线的条数问题====以切点 x0 为未知数的方程的根的个数

例 7、已知函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极小值-4,使其导数 f '(x) ? 0 的 x 的取值范围

为 (1,3) ,求:(1) f (x) 的解析式;(2)若过点 P(?1, m) 可作曲线 y ? f (x) 的三条切线,求实数 m 的取

值范围.

(1)由题意得: f '(x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 3a(x ?1)(x ? 3), (a ? 0)

∴在 (??,1) 上 f '(x) ? 0 ;在 (1,3) 上 f '(x) ? 0 ;在 (3, ??) 上 f '(x) ? 0

因此 f (x) 在 x0 ? 1处取得极小值 ?4 ∴ a ? b ? c ? ?4①, f '(1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ②, f '(3) ? 27a ? 6b ? c ? 0 ③

?a ? ?1 由①②③联立得: ??b ? 6 ,∴ f (x) ? ?x3 ? 6x2 ? 9x
??c ? ?9
(2)设切点 Q (t, f (t)) , y ? f (t) ? f , (t)(x ? t)

y ? (?3t2 ?12t ? 9)(x ? t) ? (?t3 ? 6t2 ? 9t)

? (?3t2 ?12t ? 9)x ? t(3t2 ?12t ? 9) ? t(t2 ? 6t ? 9)

? (?3t2 ?12t ? 9)x ? t(2t2 ? 6t) 过 (?1, m)

m ? (?3t2 ?12t ? 9)(?1) ? 2t3 ? 6t2

g(t) ? 2t3 ? 2t2 ?12t ? 9 ? m ? 0

令 g '(t) ? 6t2 ? 6t ?12 ? 6(t2 ? t ? 2) ? 0 ,

求得: t ? ?1,t ? 2 ,方程 g(t) ? 0 有三个根。

需:

? ? ?

g g

(?1) ? 0 (2) ? 0

?

??2 ? 3 ?12 ? 9 ? m ? 0 ??16 ?12 ? 24 ? 9 ? m ? 0

?

?m ?? m

? ?

16 ?11

故: ?11? m ?16;因此所求实数 m 的范围为: (?11,16)

题 3:已知 f (x) 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0 的根的个数
解法:根分布或判别式法 例 8、

解:函数的定义域为 R (Ⅰ)当 m=4 时,f (x)= 13x3-72x2+10x, f ?(x) =x2-7x+10,令 f ?(x) ? 0 , 解得 x ? 5, 或 x ? 2. 令 f ?(x) ? 0 , 解得 2 ? x ? 5
可知函数 f(x)的单调递增区间为 (??, 2) 和(5,+∞),单调递减区间为 ?2,5? .
(Ⅱ) f ?(x) =x2-(m+3)x+m+6, 要使函数 y=f (x)在(1,+∞)有两个极值点, ? f ?(x) =x2-(m+3)x
+m+6=0 的根在(1,+∞) 根分布问题: 1

?

?? ? (m ? 3)2 ? 4(m ? 6) ? 0;



? ?

f

?(1)

?

1

?

(m

?

3)

?

m

?

6

?

0;



解得 m>3

? ?

m

?

3

?

1.

?2

例 9、已知函数 f (x) ? a x3 ? 1 x2 ,(a ? R, a ? 0)(1)求 f (x) 的单调区间;(2)令 g(x) = 1 x4+f(x)

32

4

(x∈R)有且仅有 3 个极值点,求 a 的取值范围.

解:(1) f ' (x) ? ax2 ? x ? x(ax ? 1)

当 a ? 0 时,令 f ' (x) ? 0 解得 x ? ? 1 或x ? 0 ,令 f ' (x) ? 0 解得 ? 1 ? x ? 0 ,

a

a

所以 f (x) 的递增区间为 (??,? 1 ) ? (0,??) ,递减区间为 (? 1 ,0) .

a

a

当 a ? 0时,同理可得 f (x) 的递增区间为 (0,? 1 ) ,递减区间为 (??,0) ? (? 1 ,??) .

a

a

(2) g(x) ? 1 x4 ? a x3 ? 1 x2 有且仅有 3 个极值点 432

? g?(x) ? x3 ? ax2 ? x ? x(x2 ? ax ?1) =0 有 3 个根,则 x ? 0 或 x2 ? ax ?1 ? 0 , a ? ?2

方程 x2 ? ax ?1 ? 0 有两个非零实根,所以 ? ? a2 ? 4 ? 0, ?a ? ?2或 a ? 2
而当 a ? ?2 或 a ? 2 时可证函数 y ? g(x) 有且仅有 3 个极值点

其它例题:
1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在 R 上的函数 f (x) ? ax3 ? 2ax2 ? b(a ? 0)在区间??2,1?
上的最大值是 5,最小值是-11.

(Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式;

(Ⅱ)若 t ?[?1,1]时, f ?(x)? tx ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围.

解:(Ⅰ) f (x) ? ax3 ? 2ax2 ? b,? f ' (x) ? 3ax2 ? 4ax ? ax(3x ? 4)



f

' (x) =0,得

x1

?

0, x2

?

4 3

???2,1?

因为 a ? 0 ,所以可得下表:

x

??2, 0?

0

?0,1?

f '(x)

+

0

-

f (x)



极大



因此 f (0) 必为最大值,∴ f(0)? 5 因此 b ? 5 , f (?2) ? ?16a ?5, f (1) ? ?a ?5,? f (1) ? f (?2) ,

即 f (?2) ? ?16a ? 5 ? ?11,∴ a ? 1 ,∴ f (x)? x3 ? 2x2 ? 5.

(Ⅱ)∵ f ?(x) ? 3x 2 ? 4x ,∴ f ?(x)? tx ? 0 等价于 3x2 ? 4x ? tx ? 0,

令 g(t) ? xt ? 3x 2 ? 4x ,则问题就是 g(t) ? 0 在 t ?[?1,1]上恒成立时,求实数 x 的取值范围,

为此只需

? ? ?

g(?1) g(1)

? ?

0 0

,即

?3x ? ?x

2 2

? 5x ? 0, ?x?0

解得 0 ? x ? 1,所以所求实数 x 的取值范围是[0,1].

2、(根分布与线性规划例子)

(1)已知函数 f (x) ? 2 x3 ? ax2 ? bx ? c 3

(Ⅰ) 若函数 f (x) 在 x ? 1时有极值且在函数图象上的点 (0, 1) 处的切线与直线 3x ? y ? 0 平行, 求

f (x) 的解析式;

(Ⅱ) 当 f (x) 在 x ? (0, 1) 取得极大值且在 x ? (1, 2) 取得极小值时, 设点 M (b ? 2, a ?1) 所在平面
区域为 S, 经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 求直线 L 的方程.
解: (Ⅰ). 由 f ?(x) ? 2x2 ? 2ax ? b , 函数 f (x) 在 x ? 1时有极值 , ∴ 2a ? b ? 2 ? 0 ∵ f (0) ?1 ∴ c ?1

又∵ f (x) 在 (0, 1) 处的切线与直线 3x ? y ? 0 平行,

∴ f ?(0) ? b ? ?3 故

a? 1 2

∴ f (x) ? 2 x3 ? 1 x2 ? 3x ?1 32

……………………. 7 分

(Ⅱ) 解法一: 由 f ?(x) ? 2x2 ? 2ax ? b 及 f (x) 在 x ? (0, 1) 取得极大值且在 x ? (1, 2) 取得极小值,

? f ?(0) ? 0



? ?

f

?(1)

?

0

?? f ?(2) ? 0

?b ? 0 即 ??2a ? b ? 2 ? 0
??4a ? b ? 8 ? 0

令 M (x, y) ,



?x ? b?2

? ?

y

?

a

?

1



?a ? y ?1 ??b ? x ? 2

?x ? 2 ? 0 ∴ ??2 y ? x ? 2 ? 0
??4 y ? x ? 6 ? 0

故点 M 所在平面区域 S 为如图△ABC,

易得 A(?2, 0) , B(?2, ?1) , C(2, ? 2) , D(0, ?1) , E(0, ? 3) , 2

S?ABC ? 2

同时 DE 为△ABC 的中位线,

S?DEC

?

1 3 S四边形ABED

∴ 所求一条直线 L 的方程为: x ? 0

另一种情况设不垂直于 x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 设直线 L 方程为 y ? kx ,它与

AC,BC 分别交于 F、G, 则 k ? 0 , S四边形DEGF ? 1



? y ? kx ??2 y ? x ? 2 ? 0

得点 F 的横坐标为:

xF

?

?2 2k ?1



? y ? kx ??4 y ? x ? 6 ? 0

得点 G 的横坐标为:

6 xG ? ? 4k ?1

S ∴ 四边形DEGF ? S?OGE ? S?OFD

? 1 ? 3 ? 6 ? 1 ?1? 2 ? 1即 16k2 ? 2k ? 5 ? 0 2 2 4k ?1 2 2k ?1

解得: k ? 1 或 2
综上,所求直线方程为:

k ? ? 5 (舍去) 8
x?0或y ? 1 x 2

故这时直线方程为:

y? 1x 2
.…………….………….12 分

(Ⅱ) 解法二: 由 f ?(x) ? 2x2 ? 2ax ? b 及 f (x) 在 x ? (0, 1) 取得极大值且在 x ? (1, 2) 取得极小值,

? f ?(0) ? 0



? ?

f

?(1)

?

0

?? f ?(2) ? 0

?b ? 0 即 ??2a ? b ? 2 ? 0
??4a ? b ? 8 ? 0

令 M (x, y) ,



?x ? b?2

? ?

y

?

a

?1



?a ? y ?1 ??b ? x ? 2

?x ? 2 ? 0 ∴ ??2 y ? x ? 2 ? 0
??4 y ? x ? 6 ? 0

故点 M 所在平面区域 S 为如图△ABC,

易得 A(?2, 0) , B(?2, ?1) , C(2, ? 2) , D(0, ?1) , E(0, ? 3) , 2

S?ABC ? 2

同时 DE 为△ABC 的中位线,

S?DEC

?

1 3

S四边形ABED

∴所求一条直线 L 的方程为: x ? 0

另一种情况由于直线 BO 方程为: y ? 1 x , 设直线 BO 与 AC 交于 H , 2



?? ?

y?1x 2

??2 y ? x ? 2 ? 0

得直线 L 与 AC 交点为: H (?1, ? 1) 2

∵ S?ABC ? 2 ,

S?DEC

?

1 2

?

1 2

?2

?

1 2

,

S?ABH

? S?ABO ? S?AOH

? 1 ? 2?1? 1 ? 2? 1 ? 1

2

2 22

∴ 所求直线方程为: x ? 0 或 y ? 1 x 2

3、(根的个数问题)已知函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? (c ? 3a ? 2b)x ? d (a ? 0) 的图象如图所示。

(Ⅰ)求 c、d 的值;

(Ⅱ)若函数 f (x) 的图象在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 ,

求函数 f ( x )的解析式;

(Ⅲ)若 x0 ? 5, 方程 f (x) ? 8a 有三个不同的根,求实数 a 的取值范围。

解:由题知: f ?(x) ? 3ax2 ? 2bx+c-3a-2b

(Ⅰ)由图可知 函数 f ( x )的图像过点( 0 , 3 ),且 f ??1? = 0



?d ? 3 ??3a ? 2b

?

c

?

3a

?

2b

?

0

?

?d ??c

?3 ?0

(Ⅱ)依题意 f ??2?= – 3 且 f ( 2 ) = 5

?12a ? 4b ? 3a ? 2b ? ?3 ??8a ? 4b ? 6a ? 4b ? 3 ? 5

解得

a

=

1

,

b

=



6

所以 f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3 (Ⅲ)依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a>0 )

f ??x? = 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由 f ??5?= 0 ?b = – 9a



若方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根,当且仅当 满足 f ( 5 )<8a<f ( 1 ) ②

由① ② 得 – 25a + 3<8a<7a + 3 ? 1 <a<3 11
所以 当 1 <a<3 时,方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根。………… 12 分 11
4、(根的个数问题)已知函数 f (x) ? 1 x3 ? ax2 ? x ? 1(a ? R) 3

(1)若函数 f (x) 在 x ? x1, x ? x2 处取得极值,且 x1 ? x2 ? 2 ,求 a 的值及 f (x) 的单调区间;

(2)若 a ? 1 ,讨论曲线 f (x) 与 g(x) ? 1 x2 ? (2a ?1)x ? 5 (?2 ? x ? 1) 的交点个数.

2

2

6

解:(1) f'(x) ? x2 ? 2ax ?1

? x1 ? x2 ? 2a, x1 ? x2 ? ?1 ? x1 ? x2 ? (x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? 4a2 ? 4 ? 2 ?a ? 0 ………………………………………………………………………2 分 f ?(x) ? x2 ? 2ax ?1 ? x2 ?1

令 f ?(x) ? 0 得 x ? ?1,或x ? 1

令 f ?(x) ? 0 得 ?1 ? x ? 1

∴ f (x) 的单调递增区间为 (??, ?1) , (1, ??) ,单调递减区间为 (?1,1) …………5 分

(2)由题 f (x) ? g(x) 得 1 x3 ? ax2 ? x ? 1 ? 1 x2 ? (2a ? 1)x ? 5

3

2

6

即 1 x3 ? (a ? 1)x2 ? 2ax ? 1 ? 0

3

2

6

令?(x) ? 1 x3 ? (a ? 1)x2 ? 2ax ? 1 (?2 ? x ? 1) ……………………6 分

3

2

6

???(x) ? x2 ? (2a ?1)x ? 2a ? (x ? 2a)(x ?1)

令??(x) ? 0 得 x ? 2a 或 x ? 1……………………………………………7 分

a? 1 2
当 2a ? ?2 即 a ? ?1时

x

?2

(?2,1)

1

? ?( x)



?(x) ?8a ? 9

a

2

此时, ?8a ? 9 ? 0 , a ? 0,有一个交点;…………………………9 分 2
当 2a ? ?2 即 ?1 ? a ? 1 时, 2

x

?2

(?2, 2a)

2a

(2a,1)

1

? ?( x)



0



?(x) ?8a ? 9 2

2 a2 (3 ? 2a) ? 1

a

3

6

2 a2 (3 ? 2a) ? 1 ? 0 ,

3

6

∴当 ?8a ? 9 ? 0 即 ?1 ? a ? ? 9 时,有一个交点;

2

16

当 ?8a ? 9 ? 0,且a ? 0 即 ? 9 ? a ? 0 时,有两个交点;

2

16

当 0 ? a ? 1 时, ?8a ? 9 ? 0 ,有一个交点.………………………13 分

2

2

综上可知,当 a ? ? 9 或 0 ? a ? 1 时,有一个交点;

16

2

当 ? 9 ? a ? 0 时,有两个交点.…………………………………14 分 16

5 、( 简 单 切 线 问 题 ) 已知 函 数 f (x) ? x 3 图 象 上 斜 率 为 3 的 两 条 切 线 间 的 距 离 为 2 10 , 函 数

a2

5

g(x)?

f

3bx (x )? a2 ?

3.

(Ⅰ) 若函数 g(x) 在 x ?1 处有极值,求 g(x) 的解析式;

(Ⅱ) 若函数 g(x) 在区间[?1,1] 上为增函数,且 b2 ? mb ? 4 ? g(x) 在区间[?1,1] 上都成立,求实数 m 的
取值范围.


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