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配套K12高三人教A版数学一轮复习练习:第九章 算法初步、统计与统计案例 第3节

小学+初中+高中+努力=大学

第九章 第 3 节

[基础训练组]

1.(导学号 14577866)有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下:

[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9

[23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12

[35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3

根据样本的频率分布估计,数据落在[31.5,43.5)的概率约是( )

1

1

A.6

B.3

1

2

C.2

D.3

解析:B [由条件可知,落在[31.5,43.5)的数据有 12+7+3=22(个),故所求概率约为2626

=13.故选 B.]

2.(导学号 14577867)(2018·大连模拟)PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗

粒物,一般情况下 PM2.5 浓度越大,大气环境质量越差.如图所示的茎叶图表示的是某市

甲、乙两个监测站连续 10 日内每天的 PM2.5 浓度读数(单位:μg/m3),则下列说法正确的是

()

A.甲、乙监测站读数的极差相等

B.乙监测站读数的中位数较大

C.乙监测站读数的众数与中位数相等

D.甲、乙监测站读数的平均数相等

解析:C [因为甲、乙监测站读数的极差分别为 55,57,所以 A 错误;甲、乙监测站读

数的中位数分别为 74,68,所以 B 错误;乙监测站读数的众数与中位数都是 68,所以 C 正

确,因此选 C.]

3.(导学号 14577868)(2018·丹东市、鞍山市、营口市一模)设样本数据 x1,x2,…,x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi=xi+a(a 为非零常数,i=1,2,…,10),则 y1,y2,…, y10 的均值和方差分别为( )

A.1+a,4

B.1+a,4+a

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

C.1,4

D.1,4+a

解析:A [方法 1:∵yi=xi+a,∴E(yi)=E(xi)+E(a)=1+a,方差 D(yi)=D(xi)+E(a) =4.

方法 2:由题意知 yi=xi+a,则-y =110(x1+x2+…+x10+10×a)=110(x1+x2+…+x10)

=-x +a=1+a,方差 s2=110[(x1+a-(-x +a)2+(x2+a-(-x +a)2+…+(x10+a-(-x +a)2]

=110[(x1--x )2+(x2--x )2+…+(x10--x )2]=s2=4.故选 A.]

4.(导学号 14577869)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取 30 名学生参

加环保知识测试,测试成绩(单位:分)如图所示,假设得分值的中位数为 me,众数为 mo, 平均值为-x ,则( )

A.me=mc=-x

B.me=mo<-x

C.me<mo<-x

D.mo<me<-x

解析:D [由图可知,30 名学生的得分情况依次为得 3 分的有 2 人,得 4 分的有 3 人,

得 5 分的有 10 人,得 6 分的有 6 人,得 7 分的有 3 人,得 8 分的有 2 人,得 9 分的有 2 人, 得 10 分的有 2 人.中位数为第 15、16 个数(分别为 5、6)的平均数,即 me=5.5,5 出现的次 数最多,故 mo=5,-x =2×3+3×4+10×5+6×6+ 303×7+2×8+2×9+2×10≈5.97.于是

得 mo<me<-x .故选 D.] 5.(导学号 14577870)(2018·柳州市、钦州市一模)甲、乙、丙三名同学 6 次数学测试成

绩及班级平均分(单位:分)如表:

第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次



95

87

92

93

87

94



88

80

85

78

86

72



69

63

71

71

74

74

全班

88

82

81

80

75

77

下列说法错误的是( )

A.甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平,且较稳定 B.乙同学的数学成绩平均值是 81.5

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学
C.丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平 D.在 6 次测验中,每一次成绩都是甲第一、乙第二、丙第三 解析:D [由统计表知:甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平,且较稳定,选项 A 正确;乙同学的数学成绩平均值是16(88+80+85+78+86+72)=81.5,选项 B 正确;丙同 学的数学学习成绩低于班级平均水平,选项 C 正确;在第 6 次测验成绩是甲第一、丙第二、 乙第三,选项 D 错误.故选 D.] 6.(导学号 14577871)(2018·济宁市一模)如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方 图,已知图中从左到右的前 3 个小组的频率依次成等差数列,第 2 小组的频数为 10,则抽 取的学生人数为 ________ .
解析:前 3 个小组的频率和为 1-(0.037 5+0.012 5)×5=0.75, 所以第 2 小组的频率为13×0.75=0.25 所以抽取的学生人数为01.205=40. 答案:40 7.(导学号 14577872)(2018·兰州市调研)某市教育行政部门为了对某届高中毕业生学业 水平进行评价,从该市高中毕业生中随机抽取 1 000 名学生的学业水平考试数学成绩作为样 本进行统计.已知该样本中的每个值都是[40,100]中的整数,且在[40,50),[50,60),[60,70), [70,80),[80,90),[90,100]上的频率分布直方图如图所示.记这 1000 名学生学业水平考试数 学平均成绩的最小值(平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率)为 a,则 a 的值 为 ________ .

解析:平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率,于是 a=0.005×10×40

+0.010×10×50+0.025×10×60+0.035×10×70+0.015×10×80+0.010×10×90=67.5.

答案:67.5

8.(2018·成都市一诊)甲、乙两人在 5 次综合测评中成绩的茎叶图如图所示,其中一个





































- x





- x







- x



>

- x











小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学
____________________.
解析:由已知中的茎叶图可得乙的 5 次综合测评中的成绩分别为 87,86,92,94,91,则乙 的平均成绩-x 乙=15(87+86+92+94+91)=90.
设污损数字为 x,则甲的 5 次综合测评中的成绩分别为 85,87,84,99,90+x, 甲的平均成绩-x 甲=15(85+87+84+99+90+x)=89+5x, 因为-x 甲>-x 乙,所以 90<89+5x,x∈N,解得 x 的可能取值为 6,7,8,9,所以-x 甲>-x 乙的概 率是 p=140=25. 答案:25 9.(导学号 14577873)(2018·赣州市二模)某经销商从外地一水殖厂购进一批小龙虾,并 随机抽取 40 只进行统计,按重量分类统计结果如下图:

(1)记事件 A 为:“从这批小龙虾中任取一只,重量不超过 35 g 的小龙虾”,求 P(A)的

估计值;

(2)试估计这批小龙虾的平均重量;

(3)为适应市场需求,制定促销策略.该经销商又将这批小龙虾分成三个等级,并制定

出销售单价,如下表:

等级

一等品

二等品

三等品

重量(g)

[5,25)

[25,35)

[35,55]

单价(元/只)

1.2

1.5

1.8

试估算该经销商以每千克至多花多少元(取整数)收购这批小龙虾,才能获得利润?

解:(1)由于 40 只小龙虾中重量不超过 35 g 的小龙虾有 6+10+12=28(只),所以 P(A)

=2480=170.

(2)从统计图中可以估计这批小龙虾的平均重量为410(6×10+10×20+12×30+8×40+

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学
4×50=114400)=28.5(克). (3)设该经销商收购这批小龙虾每千克至多 x 元.根据样本,由(2)知,这 40 只小龙虾中
一等品、二等品、三等品各有 16 只、12 只、12 只,约有 1 140 g 即 1.14 千克, 所以 1 140x≤16×1.2+12×1.5+12×1.8, 而16×1.2+121× .1410.5+12×1.8≈51.6, 故可以估计该经销商收购这批小龙虾每千克至多 51 元. 10.(导学号 14577874)(文科)甲、乙两人参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间
参加的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次,画出茎叶图如图所示,乙的成绩中有一个数个位数 字模糊,在茎叶图中用 c 表示.(把频率当作概率)
(1)假设 c=5,现要从甲,乙两人中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度,你认为 派哪位学生参加比较合适?
(2)假设数字 c 的取值是随机的,求乙的平均分高于甲的平均分的概率. 解:(1)若 c=5,则派甲参加比较合适,理由如下: -x 甲=18(70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3)=85, -x 乙=18(70×1+80×4+90×3+5+3+5+2+5)=85, s2甲=18[(78-85)2-(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(93-85)2 +(95-85)2]=35.5, s2乙=18[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2 +(95-85)2]=41. 因为-x 甲=-x 乙,s2甲<s2乙, 所以两人的平均成绩相等,但甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适. (2)若-x 乙>-x 甲, 则18(75+80×4+90×3+3+5+2+c)>85, 所以 c>5 所以 c=6,7,8,9. c 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学
所以乙的平均分高于甲的平均分的概率为25. 10.(导学号 14577875)(理科)未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D 打印通常是采 用数字技术材料打印机来实现的,常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型,后逐渐 用于一些产品的直接制造,已经有使用这种技术打印而成的零部件.该技术应用十分广泛, 可以预计在未来会有广阔的发展空间.某制造企业向 A 高校 3D 打印实验团队租用一台 3D 打印设备,用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样 的零件,从中随机抽取 10 件零件,度量其内径的茎叶图如图所示(单位:μm).
(1)计算平均值 μ 与标准差 σ; (2)假设这台 3D 打印设备打印出品的零件内径 Z 服从正态分布 N(μ,σ2),该团队到工厂 安装调试后,试打了 5 个零件,度量其内径分别为(单位:μm):86、95、103、109、118, 试问此打印设备是否需要进一步调试,为什么? 参考数据:P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.997 4,0.954 43= 0.87,0.997 44=0.99, 0.045 62=0.002. 解:(1)平均值 μ=100+ -3-3-2+2+51+07+8+9+13+14=105. 标准差 σ= 110??-8?2×2+?-7?2+?-3?2+0+22+32+42+82+92?=6. (2)假设这台 3D 打印设备打印出品的零件内径 Z 服从正态分布 N(105,62), ∴P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=P(93<Z<117)=0.954 4,可知:落在区间(93,117)的数据有 3 个:95、103、109,因此满足 2σ 的概率为: 0.954 43×0.045 62≈0.001 7. P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=P(87<Z<123)=0.997 4,可知:落在区间(87,123)的数据有 4 个: 95、103、109、118,因此满足 3σ 的概率为: 0.997 44×0.002 6≈0.002 6. 由以上可知:此打印设备不需要进一步调试.
[能力提升练] 11.(导学号 14577876)(2018·益阳市模拟)为了了解某校九年级 1 600 名学生的体能情况, 随机抽查了部分学生,测试 1 分钟仰卧起坐的成绩(次数),将数据整理后绘制成如图所示的 频率分布直方图,根据统计图的数据,下列结论错误的是( ) 小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学
A.该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数的中位数为 26.25 B.该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数的众数为 27.5 C.该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 的人数约为 320 D.该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数少于 20 的人数约为 32 解析:D [由频率分布直方图可知,中位数是频率分布直方图面积等分线对应的数值, 是 26.25;众数是最高矩形的中间值 27.5;1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 的频率为 0.2,所 以估计 1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 的人数为 320;1 分钟仰卧起坐的次数少于 20 的频率 为 0.1,所以估计 1 分钟仰卧起坐的次数少于 20 的人数为 160.故 D 错.] 12.(导学号 14577877)(2018·广东惠州第二调研)惠州市某机构对两千多名出租车司机的 年龄进行调查,现从中随机抽出 100 名司机,已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间,根据 调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示,利用这个残缺的频率分布直 方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )

A.31.6 岁

B.32.6 岁

C.33.6 岁

D.36.6 岁

解析:C [由面积和为 1,知[25,30)的频率为 0.2,为保证中位数的左右两边面积都是

0.5,必须把[30,35)的面积 0.35 划分为 0.25+0.1,此时划分边界为 30+5×00..3255=33.57,故

选 C.]

13.(导学号 14577878)(2018·南昌市模拟)在一次演讲比赛中,6 位评委对一名选手打分

的茎叶图如图所示,若去掉一个最高分和一个最低分,得到一组数据 xi(1≤i≤4),在如图所

示的程序框图中,-x 是这 4 个数据的平均数,则输出的 v 的值为 ________ .

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

解析:根据题意得到的数据为 78,80,82,84,则-x =81.该程序框图的功能是求以上数据

的方差,故输出的 v 的值为14[(78-81)2+(80-81)2+(82-81)2+(84-81)2]=5.

答案:5

14.(导学号 14577879)(理科)(2018·马鞍山市一模)PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5

微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它是形成雾霾天气的主要原因之一.PM2.5 日均值越

小,空气质量越好.2012 年 2 月 29 日,国家环保部发布的《环境空气质量标准》见表:

针对日趋严重的雾霾情况各地环保部门做了积极的治理.马鞍山市环保局从市区 2017

年 11 月~12 月和 2018 年 11 月~12 月的 PM2.5 检测数据中各随机抽取 15 天的数据来分析

治理效果.样本数据如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶)

PM2.5 日均值 k(微克) 空气质量等级

k≤35

一级

35<k≤75

二级

k>75

超标

(1)分别求这两年样本数据的中位数和平均值,并以此推断 2019 年 11 月~12 月的空气

质量是否比 2018 年同期有所提高?

(2)在 2019 年的样本数据中随机抽取 3 天,以 X 表示抽到空气质量为一级的天数,求 X

的分布列与期望.

解:(1)2018 年数据的中位数是 58,平均数是 28+31+31+41+41+44+45+1558+60+61+75+77+84+92+99≈57.3 2017 年数据的中位数是 51,平均数是 17+18+23+30+39+39+49+1551+52+55+58+62+63+69+70≈46.3.
小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

2019 年 11 月~12 月比 2018 年 11 月~12 月的空气质量有提高.

(2)2019 年的 15 个数据中有 4 天空气质量为一级,故 X 的所有可能取值是 0,1,2,3, 利用 P(X=k)=C34C-k31C5 k11可得: P(X=0)=3931,P(X=1)=4941,P(X=2)=46565,P(X=3)=4455.

X0

1

2

3

P

33 91

44 91

66 455

4 455

E(X)=0+1×9414+2×46565+3×4455=45.

14.(导学号 14577880)(文科)(2018·渭南市二模)我国是世界严重缺水的国家,城市缺水

问题较为突出,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,

即确定一个合理的居民月用水量标准 x(吨),用水量不超过 x 的部分按平价收费,超过 x 的

部分按议价收费,为了了解全市居民月用水量的分布情况,通过抽样,获得了 100 位居民某

年的月用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成 9 组,制成了如图所

示的频率分布直方图.

(1)求直方图中 a 的值; (2)已知该市有 80 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数,并说明理由; (3)若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x(吨),估计 x 的值,并说明 理由. 解:(1)由频率分布直方图,可得(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5 =1,解得 a=0.30. (2)由频率分布直方图可知,100 位居民每人月用水量不低于 3 吨的人数为(0.12+0.08+ 0.04)×0.5×100=12,由以上样本频率分布,可以估计全市 80 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 800 000×11020=96 000. (3)∵前 6 组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30)×0.5=0.88>0.85,而 前 5 组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52)×0.5=0.73<0.85,∴2.5≤x<3. 由 0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得 x=2.9, 因此,估计月用水量标准为 2.9 吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.
小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学 小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学
END
小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学
END
小学+初中+高中+努力=大学


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