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第一专题第三讲 广义逆矩阵及其应用_图文

现代数学方法与应用

Department of Mathematics

第 三 讲
广义逆矩阵与应用

本讲主要内容
一、广义逆概述 二、广义逆的类型 三、矩阵M-P广义逆 四、广义逆矩阵应用

一、广义逆概述
1920 年穆尔(Moore)首先提出了广义逆矩阵的概念,但其后 的 30 年未引起人们的重视.直到 1955 年彭诺斯(Penrose)利用四 个矩阵方程给出了广义逆矩阵的新的更简便实用的定义之后,广义 逆矩阵的研究才进入了一个新的时期,其理论和应用得到了迅速发 展,已成为矩阵论的一个重要分支,广义逆矩阵在数理统计、最优 化理论、控制理论、系统识别、数字图象处理等许多领域都具有重 要应用. 本章着重介绍几种常见的广义逆矩阵及其在解线性方程组中的 应用.

广义逆矩阵的基本概念
定义 8.1.1 设 A?C
m? n

为任 意复 数矩 阵, 如果存 在复 矩阵 (8.1.1) (8.1.2) (8.1.3)

G ? C n?m ,满足

GAG ? G , (GA) H ? GA , (8.1.4) ( AG ) H ? AG , 4 个方程的全部或一部分,则称 G 为 A 的一个广义逆矩阵,并把上
面 4 个方程叫做穆尔-彭诺斯( M-P )方程.进一步,如果 G 满足 M-P 的 4 个 方程 式, 则 称 G 为 A 的 穆 尔 - 彭 诺斯 广义 逆 , 记为 G ? A{1,2,3,4} , 一般 地 ,如 果 G 满 足 4 个 M-P 方 程式 中 的第

AGA ? A ,

i1 , i2 , ? ik (1 ? k ? 4) 个 , 则 称 G 为 A 的 一 种 弱 逆 , 记 为 G ? A{i1 , i2 , ? ik } .

二、广义逆的类型
由于 M-P 的 4 个方程都各有一定的解释,并且应用起来各有方 便之处,所以出于不同的目的,常常考虑满足部分方程的 G ,总之, 按照定义8.1.1 可推得,满足 1 个,2 个,3 个,4 个 M-P 方程的广 义逆矩阵共有 15 类,即
1 2 3 4 C4 ? C4 ? C4 ? C4 ? 15 .

但应用较多的是以下 5 类: A{1} , A{1, 2} , A{1, 3} , A{1, 4} , A{1, 2, 3, 4} . 下面将会看到,只有 A{1, 2, 3, 4} 是唯一确定的,其他各类广义 逆矩阵都不唯一:
(1)满足方程(8.1.1)的广义逆矩阵类记为 A{1} ,其中任意一 个确定的广义逆,称为减号逆,记为 A ; (2)满足方程(8.1.1)与(8.1.2)的广义逆矩阵类记为 A{1, 2} , 其中任意一个确定的广义逆,称为自反减号逆,记为 Ar ;
?
?

(3)满足方程(8.1.1)与(8.1.3)的广义逆矩阵类记为 A{1, 3} ,
? 其中任意一个确定的广义逆,称为最小范数广义逆,记为 Am ;

(4)满足方程(8.1.1)与(8.1.4)的广义逆矩阵类记为 A{1, 4} , 其中任意一个确定的广义逆,称为最小二乘广义逆,记为 Al? ; (5) 满足全部 4 个 M-P 方程的广义逆矩阵类记为 A{1, 2, 3, 4} , 这类广义逆对给定的 A 来说只有唯一的一个广义逆,称为加号逆, 或穆尔-彭诺斯广义逆,记为 A . 下面分别介绍这 5 类广义逆矩阵.
?

8.1.2 减号逆A定义 8.1.2 设 A 为一个 m ? n 复矩阵,若有一个 n ? m 复矩阵 G 存在,使(8.1.1)成立,即 AGA ? A , 则称 G 为 A 的一个{1}-广义逆,记为 G ? A{1} 或 G ? A ,也称 G
{1}

为 A 的一个减号广义逆,记为 G ? A ,即有

?

AA ? A ? A .

(8.1.5)

?1 0 ? ? ? ? 1 0 0? ? 1 0 0? 例 8.1.1 设 A ? ?1 0 ? , B ? ? ? 0 1 0? ? ,C ? ? ?0 0 1? ?, ? ? ? ? ?1 0 ? ? ?
由于

ABA ? A , ACA ? A ,
所以, B 与 C 均为 A 的减号逆.

显然,减号广义逆不唯一,并且减号逆是普通逆矩阵的 推广.
? ?1 定理 8.1.1 (1) 当 A 可逆时, A 有唯一的减号逆: A ? A ;

H (2) 当 G 为 A 的减号逆,即 AGA ? A 时,则 G 为

A H 的减号逆,即 A H G H A H ? A H ,即 ( A H ) ? ? ( A? ) H .

? Er 例 8.1.2 证明: 若A?? ?0 ?
?

0? ? Er ? ? , 则A ?? ? ?G 0 ? m?n ? 21

G12 ? ? ,即 ? G22 ? n?m
(8.1.6)

? E r G12 ? ? Er 0 ? ? ? , ? 0 0? ? ?? ?G ? ? ? ? 21 G22 ? n?m 其中 G12 , G21 , G22 是任意给定的.

? Er G12 ? ? 证明 因为对任意的 ? ,都有 ?G ? ? 21 G22 ? n?m ? Er 0 ? ? Er G12 ? ? Er 0 ? ? Er ? ? ? ? ?? ? 0 0? ? ? ? ? ?0 ?G ? G 0 0 ? ? m?n ? 21 ? m?n ? 22 ? n?m ?
所以

0? ? 0? ? m?n

? E r G12 ? ? ? ? . ? A ?G ? ? 21 G22 ? n?m ? G11 G12 ? ? ? 反过来,对任意的 A ? ? ,若满足 ?G ? ? 21 G22 ? n?m
? Er 0 ? ? G11 G12 ? ? Er ? ? ? ? 0 0? ? ? ?0 ?G ? G ? ? m?n ? 21 22 ? n?m ? 则必有 G11 ? Er ,即
? Er ? ? 0 ? 0? ? Er ? ?? ? ?G 0? ? 21
?

0? ? Er ? ?? ? 0 ? m?n ? ?0

0? ? , ? 0 ? m?n

G12 ? ? . ? G22 ? n?m

定 理 8.1.2

设 A 是 m ? n 矩 阵 , rank( A) ? r , 非 奇 异 矩 阵

P ? C m?m , Q ? C n?n 使得

? Er PAQ ? ? ?0 ?
?

0? ? , ? 0?

(8.1.7)

则 A 的减号逆矩阵存在,且可表示为

? E r G12 ? ? (8.1.8) A ? Q? P , ?G ? ? 21 G22 ? 其中 G12 , G21 , G22 分别是 r ? (m ? r ) , (n ? r ) ? r , (n ? r ) ? (m ? r ) 的任意
矩阵. 证明 由定理所设,存在非奇异矩阵 P ? C m?m , Q ? C n?n 使得

0 ? ?1 ? Er 0 ? ?1 ? E r PAQ ? ? ? 0 0? ? ,即 A ? P ? ? 0 0? ?Q . ? ? ? ? ? Er G12 ? ? 对 G ? Q? P . 其 中 G12 , G21 , G22 分 别 是 ?G ? ? 21 G22 ? r ? (m ? r ), (n ? r ) ? r, (n ? r ) ? (m ? r ) 的任意矩阵.由于

? Er AGA ? P ? ?0 ?
?1

0 ? ?1 ? E r G12 ? ?1 ? Er ? ? Q Q? PP ? ? ?0 ? ? 0? ? ? G21 G22 ? 0 ? ?1 ?1 ? Er ?P ? ? 0 0? ?Q ? A , ? ?

0 ? ?1 ? Q ? 0?

所以, G ? A . 反之,由 AA A ? A ,即有
?

?

? Er 0 ? ?1 ? ?1 ? Er 0 ? ?1 ?1 ? E r ? ? ? ? P ? Q A P ? Q ?P ? ? ? ?0 0 0 0 0 ? ? ? ? ? ? Er 0 ? ?1 ? ?1 ? Er 0 ? ? Er 0 ? ? ? 0 0? ?Q A P ? ? 0 0? ??? ? 0 0? ?. ? ? ? ? ? ?
?1

0 ? ?1 ? Q , ? 0?

由例 8.1.2 可知:

Q A P

?1

?

?1

? Er ?? ? 0 ?

0? ? Er ? ?? ? ?G 0? ? 21

?

G12 ? ? . ? G22 ?



? Er A ? ? Q? ?G ? 21

G12 ? ? P. ? G22 ?

定理 8.1.2 不仅给出了{1}-广义逆的存在性,而且给出了{1}-广义逆的 表示与计算方法:

? Er 0 ? (1)求非奇异矩阵 P, Q , 使得 PAQ ? ? ? 0 0? ?; ? ? ? Er G12 ? ? ? (2)写出 A 的减号逆 A ? Q? P. ?G ? ? 21 G22 ?
注意到:

? P 0 ?? A E ?? Q 0 ? ? PAQ P ? ? ? , (8.1.9) ? 0 E? ?? ?E *? ?? ? 0 E? ??? ? Q ? *? ? ?? ?? ? ? ? A E? 对矩阵 ? ?E *? ? 进行初等变换,E 的位置记录了对 A 进行变换的过程. ? ?

解 因为
?1 ? ?2 ?3 ? ?1 ?0 ? ?0 ?

?1 1 2? ? ? ? 例 8.1.3 求 A ? ? 2 2 1 ? 的减号逆 A . ? 3 3 3? ? ?
1 2 1 0 0? ?1 ? ? 2 1 0 1 0? ? 0 3 3 0 0 1? ?0 ?~? 0 0 ? ?1 ?0 1 0 * ? ? ? ? ?0 0 1 ? ? 0 0? ?1 ? ? 0 ? 3 ? 2 1 0? ?0 0 ? 3 ? 3 0 1? ?0 ? ~? 0 0 ? ?1 ? 1 0 * ? ? ?0 ? ? 0 1 ? ?0 0 1 0 ?1 0 ? 2 1 0 ? ?0 1 3 3 ? 0 0 0 ?1 ?1 ~? ?1 ? 2 ?1 ? 1 * ?0 0 ?0 1 0 ? 1 2 1
1 0 0? ? 2 1 0 1 ? 0? 3 3 ? 0 0 ?1 ?1 1? ? 0 0 ? 1 0 * ? ? 0 1 ? 0? ? 0? ? 1? , ? ? ? ? ? 1 2

?1 0 0 1 0 0? ? 2 1 ? ? 0? ?0 0 1 3 3 ? ? 0 0 0 ?1 ?1 1 ? ~? ? 1 ?1 ? 2 ? ? ? * ?0 1 0 ? ?0 0 1 ? ? ?

? 1 0 0? ? 1 ? 2 ? 1? ?2 ? ? ? 1 所以, Q ? ? 0 0 1 ? , P ? ? ? 0 ? ,并且 3 3 ? ? ?0 1 0 ? ? ? ? ? ? ?1 ?1 1?
? Er A? ? Q? ?G ? 21 1 0 0? ? 1 ? 2 ? 1?? 1 0 g13 ?? ? ? ?? ? 2 G12 ? 1 ? ? P ? ? 0 0 1 ?? 0 1 g 23 ?? ? 0? ? G22 ? 3 3 ? ? 0 1 0 ?? g g g ?? ? ? ?? 31 32 33 ?? ? 1 ? 1 1 ? ?

? g13 ? 2 g 23 ? g 33 ? ? ?, g 33 ? ? g 23 ? ? 其中, g31 , g32 , g13 , g23 , g33 是任意常数.如果都取 0 就有 2 1 ? g 32 ? g13 ? 2 g 23 ? g 33 3 3 1 ? g 32 ? g 33 3 1 ? ? g 23 3

? 1 ? ? ? g 31 ? g 32 ? 3 2 ? ? g 31 ? g 32 ? g 33 ? 3 ? 2 ? g 23 ? 3 ?

? 1 2 ? ? 0 ? ? ? 3 3 ? ? 特别地, A ? ? 0 0 0 ? 就是 A 的一个减号逆. ? 2 ? 1 0? ? 3 ? 3 ? ?

? 1 ?1 2? ? A ? 例 8.1.4 求 A ? ? 的减号逆 . ? 2 2 3? ? ?
解 因为

? A ? ?E ? 3

?1 ?1 ? ?2 2 E2 ? ? ? ? 1 0 ? * ? ? ?0 1 ?0 0 ? 0 0 ? 1 ? 0 ?1 ? 0 ~ ?? 3 ? 7 ? 2 ? 1 0 ? 0 ? 2 4 1 ?

2 1 0? ? 1 0 ? ? 3 0 1? ? 2 4 ? ~ ?1 1 0 ? ? 0 *? ? 0 1 ? ?0 0 1 ? ? 1 0? ? 1 0 ? ? 0 1? ? 0 1 ? ~ ?? 3 2 ? ? ?? ? 0 0 ? ? 2 ?1 ? ?

0 ?1 ?2 0 1 0 0 ?7 1 4

1 0? ? 0 1? ? ? ?? ? ? 1 0? ? 0 1? ?, ? ?? ? ?

?? 3 2 ? 7? ? ? ?1 因此, Q ? ? 0 0 1 ? , P ? ? ?0 ? ? 2 ?1 4 ? ? ? ?? 3 ? ? Er G12 ? ? A ? Q? ?G G ? ?P ? ? 0 ? 21 22 ? ?2 ?

0? ,并且 ? ? 1?
? 7 ?? 1 0 ? ?? ?? 1 0 ? 0 1 ?? 0 1 ?? ?0 1? ? ? ? ?g g ? ?1 4 ? ?? 31 32 ? 2

? ? 3 ? 7 g 31 ? ? ? g 31 ? 2 ? 4g 31 ?

2 ? 7 g 32 ? ? g 32 ?, ? 1 ? 4 g 32 ? ?

其中, g 31 , g 32 是任意常数. 特别地,取 g 31 ? 0, g 32 ? 0 ,得 A 的一个减号逆:

?? 3 2 ? ? ? ? A ?? 0 0 ?. ? 2 ? 1? ? ?

8.1.3 自反减号逆Ar众所周知,对于普通的逆矩阵 A ,有 ( A?1 ) ?1 ? A ,但这一事实对
?1

?1 0 ? ? ? ? 于减号广义逆 A 一般不成立,例如,由例 8.1.1 知 A ? ?1 0 ? , ?1 0 ? ? ?

? 1 0 0? ?1 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,但 ,即 ( A ) ? A .为 A ?? A AA ? ? A ? 0 1 0? ?1 0 0 ? ? ? ? ?
?

了使 A 与 A 能互为减号逆,我们不妨对减号逆加以自反性限制,为此 给出自反减号逆的概念.

?

定义 8.1.3 设 A 为一个 m ? n 实矩阵,若有一个 n ? m 实矩阵 G 存 在,使(8.1.1)与(8.1.2)都成立,即

GAG ? G {1, 2} 则称 G 为 A 的一个{1,2}-广义逆, 记为 G ? A{1, 2} 或 G ? A , 也称 G
为 A 的一个自反减号广义逆,记为 G ? Ar? ,即有

AGA ? A

(8.1.10) AAr? A ? A , Ar? AAr? ? Ar? . ? 显 然 , 自 反 减 号 逆 Ar? 是 一 种 特 殊 的 减 号 逆 A , 它 满 足 自 反 性 ( Ar? ) ? r ? A.
为了给出自反减号逆的计算方法,我们先引出所谓矩阵右逆与左逆的 概念. 定义 8.1.4 设 A 为一个 m ? n 复矩阵, 若有一个 n ? m 复矩阵 G 存在, 使得 AG ? Em 或 GA ? En ,
?1 ?1 则称 G 为 A 的右逆或左逆,记为 G ? AR 或 G ? AL ,即有

?1 AAR ? Em 或

?1 AL A ? En .

(8.1.11)
?1

?1 ?1 ?1 ?1 在 一 般 情 况 下 AR , 若 AR ,则 A ? AL ? AL ?1 ?1 . A?1 ? AR ? AL

存在,且

定理 8.1.3 设 A 为一个 m ? n 复矩阵, (1)若 A ? R
m? n

为行满秩的,即 rank( A) ? m ,则

?1 (8.1.12) AR ? GAH ( AGAH ) ?1 , 其中, G 为使得 rank( AGAH ) ? rank( A) 的任意 n 阶矩阵,特别有 ?1 (8.1.13) AR ? AH ( AAH ) ?1 ; m? n (2)若 A ? R 为列满秩的,即 rank( A) ? n ,则 ?1 (8.1.14) AL ? ( AH GA) ?1 AH G , 其中, G 为使得 rank( A H GA) ? rank( A) 的任意 m 阶矩阵,特别有 ?1 (8.1.15) AL ? ( AH A) ?1 AH . 证明 ( 1)因为 A 行满秩,并且 G 使得 rank( AGAH ) ? rank( A) , H 所以 AGA 为满秩方阵,故有 ( AGAH )(AGAH ) ?1 ? Em

所以有

?1 AR ? GAH ( AGAH ) ?1 .特别,取 G ? E n ,得 ?1 AR ? AH ( AAH ) ?1 .

同理可证(2) .

?1 这里要特别指出的是,对于行或列满秩的矩阵 A , AR 与 ?1 ?1 ?1 是不可能同时存在的,当且仅当 A 为满秩矩阵时 AR 与 AL AL

才同时存在,并且都等于逆矩阵 A ,另外,由右逆与左逆的定 义不难看出右逆与左逆满足 M-P 方程(8.1.1) , (8.1.2) ,从而有 下面结论.

?1

定理 8.1.4 设 A 为一个 m ? n 复矩阵, (1) 若 A? R
m? n

为 行 满 秩 的 , 即 rank( A) ? m , 则

?1 (8.1.16) Ar? ? AR ? GAH ( AGAH ) ?1 , 其中 G 为使得 rank( AGAH ) ? rank( A) 的任意 n 阶矩阵; m? n (2) 若 A ? R 为列满秩的,即 rank( A) ? n ,则 ?1 (8.1.17) Ar? ? AL ? ( A H GA) ?1 A H G , 其中 G 为使得 rank( A H GA) ? rank( A) 的任意 m 阶矩阵; m, n} ,且存在满秩分解 A ? BC ,则 (3)若 Rank( A) ? r ? min{ ?1 ?1 Ar? ? CR BL .

(8.1.18)

证明 由右逆与左逆的定义, ( 1) (2)是显然的.对( 3)给出证 明.由于 A ? BC ,
?1 ?1 ?1 ?1 A(CR BL ) A ? BC(CR BL ) BC ? BC ? A , ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 (CR BL ) A(CR BL ) ? (CR BL ) BC(CR BL ) ? (CR BL ) , ? ?1 ?1 即 Ar ? CR BL .

于是

? 1 2 ? 1? 例 8.1.5 设 A ? ? ?0 ?1 2 ? ? ,求 A 的一个自反减号逆. ? ? 解 因为 rank( A) ? 2 ,所以 A 为行满秩矩阵,故
?1 Ar? ? AR ? AT ( AAT ) ?1

0 ?? ?1 ?1 ? ?? ? 1 2 ? 1?? ? ? 2 ? 1?? ? ?0 ?1 2 ? ?? 2 ?? ? 1 ? ? 1 2 ?? ? ? ?? ? 0? 0? ?1 ?1 ?1 ? ?? 6 ? 4 ? ? ? 1 ?5 ? ? 2 ? 1?? ?? 4 5 ? ? ? ? 2 ? 1? 14 ? ?4 ? ? ? 1 2 ?? ??1 2 ? ? ? ? ? ?


0 ?? ?? ? 1? ? ? 2? ??

?1

?5 4? ? 4? 1 ? ? ? ?6 2? ? 6 ? 14 ? ? 3 8 ? ?

?1 2? ? ? 例 8.1.6 设 A ? ? 2 1 ? ,求 A 的一个自反减号逆. ?1 1? ? ? 解 因为 rank( A) ? 2 ,所以 A 为列满秩矩阵,故
?1 Ar? ? AL ? ( AT A) ?1 AT

? ? 1 2?? ? ? 1 2 1?? ? ? ? 1 2 1? ? ?? ? 2 1 1? ?? 2 1 ? ? ? ? 2 1 1? ? ?? 1 1 ? ? ? ? ?? ? ?? ?
? 6 5 ? ? 1 2 1? 1 ? 6 ? 5 ?? 1 2 1? 1 ? ? 4 7 1? ?? ?5 6? ? ? ? 2 1 1? ? ? 11 ? ?? 5 6 ? ?? ? 2 1 1? ? ? 11 ? ? 7 ? 4 1? ?. ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
?1

?1

?1 2 0? ? ? 例 8.1.7 设 A ? ? 0 0 2 ? ,求 A 的一个自反减号逆. ? 2 4 0? ? ?
解 因为 Rank( A) ? 2 ? 3 ,所以 A 既非行也非列满秩矩阵,先对 其进行满秩分解,由于

?1 2 0? ?1 2 0? ? ? ? ? A ? ? 0 0 2? ? ?0 0 1? , ? 2 4 0? ?0 0 0? ? ? ? ? ?1 0? ? ? ? 1 2 0? 令 B ? ? 0 2? , C ? ? ?0 0 1? ? .于是 ? ? ?2 0? ? ?
A ? BC ,并且

?1 CR ? C T (CC T ) ?1

?1 0? ?1 0? ?1 ? ?? 5 0 ? ? 1? ? ? 2 0 ?? ?0 1? ? ? 5 ? 2 0? , ? ? 0 1 ?? ? 0 5? ? ? ? ?
?1

B


?1 L

?5 0? ?1 0 2? 1 ? 2 0 4? ? ( B B) B ? ? ?0 4? ? ? ?0 2 0? ? ? 10 ? ?0 5 0? ?. ? ? ? ? ? ?
T ?1 T

?1 ?1 Ar? ? C R BL

?1 0? ? 2 0 4? ? 1 ? 2 0 4? 1 ? ? 1? ? ? ? 2 0? ? ? ?4 0 8?. ? ? 5? 10 ? 0 5 0 ? 50 ? ? ? 0 5 0 25 0 ? ? ? ?

定义 8.1.5

设 A 为一个 m ? n 复矩阵,若有一个 n ? m 复矩阵 G 存

在,使(8.1.1)与(8.1.3)都成立,即

AGA ? A

(GA) H ? GA
{1,3}

则称 G 为 A 的一个{1,3}-广义逆,记为 G ? A{1, 3} 或 G ? A

,也称 G

? 为 A 的一个最小(或极小)范数广义逆,记为 G ? Am ,即有 ? ? ? AAm A ? A , ( Am A) H ? Am A.

(8.1.19)

? 显然, 最小范数广义逆 Am 是一种特殊的减号逆 A , 是用条件 (8.1.3)

?

限制所得出的减号逆.

定理 8.1.5 设 A 为一个 m ? n 复矩阵, (1) 若 A? R
m? n

为 行 满 秩 的 , 即 rank( A) ? m , 则

A H ( AAH ) ?1 是 A 的一个最小范数广义逆,即
? Am ? AH ( AAH ) ?1 ,

(8.1.20)

( 2 ) 若 A? R

m? n

为 列 满 秩 的 , 即 rank( A) ? n , 则

( A H A) ?1 A H 是 A 的一个最小范数广义逆,即
? Am ? ( AH A) ?1 AH ,

(8.1.21)

m, n} , 且 存 在 满 秩 分 解 ( 3 ) 若 rank( A) ? r ? min{
?1 ?1 A ? BC ,则 C R BL 是 A 的一个最小范数广义逆,即

? ?1 ?1 (8.1.22) Am ? CR BL ? C H (CC H ) ?1 (B H B) ?1 B H .

证明 仅对(3)给出证明,由于 A ? BC ,所以

BC(C H (CC H ) ?1 ( B H B) ?1 B H ) BC ? BC ,
((C H (CC H ) ?1 ( B H B) ?1 B H ) BC) H ? (C H (CC H ) ?1 C) H ? C H (CC H ) ?1 C

? (C H (CC H ) ?1 ( B H B) ?1 B H ) BC ,

? Am ? C H (CC H ) ?1 (B H B) ?1 B H .

定理 8.1.6 设 A 为一个 m ? n 复矩阵, 则 A H ( AAH ) ? 是 A 的一个最 小范数广义逆,即
? (8.1.23) Am ? AH ( AAH ) ? . 证明 设 rank( A) ? r ? min{ m, n} ,并且有满秩分解 A ? BC ,因 ( AAH ) ? 是一个减号逆,所以 ( AAH )( AAH ) ? ( AAH ) ? AAH , 即 ( BCC H B H )(AAH ) ? ( BCC H B H ) ? BCC H B H . 用 B( B H B) ?1 (CC H ) ?1 C 右乘上式两端,得 ( BCC H B H )( AAH ) ? ( BEr Er C) ? BEr Er C , 即 AAH ( AAH ) ? A ? A , ? 所以, Am ? AH ( AAH ) ? 满足(8.1.1)式.其次它也满足( 8.1.3)式,

因为

( AH ( AAH ) ? A) H ? AH (( AAH ) ? ) H A ? AH ( AAH ) ? A , ? 故 Am ? AH ( AAH ) ? 是 A 的一个最小范数广义逆.

解 解法一:由例 8.1.7 以及定理 8.1.5 可知,

?1 2 0? ? ? 例 8.1.8 设 A ? ? 0 0 2 ? ,求 A 的一个最小范数广义逆. ? 2 4 0? ? ?
4? ? 0 8? . 25 0 ? ? 0 10 ? ? 4 0 ? ,存在 0 20? ? 0
0 ? 2? ?, 1 0 ? 0 1 ? ?

?2 1 ? ? Am ? ?4 50 ? ?0 ?5 ? T 解法二:因为 AA ? ? 0 ?10 ?
? 1 ? ? 5 P?? 0 ? ?? 2 ? ? 0 1 4 0

? 0? ?1 ? ?, Q ? ?0 ? 0 ?0 ? ? 1? ? ?

? E2 使得 P( AA )Q ? ? ?0 ?
T

0? ? ,所以 ? 0?
0 1 g 32 ? 1 ? g13 ?? 5 ?? g 23 ? 0 ? ? g 33 ?? ? 2 ? ? 0 1 4 0 ? 0? ? 0? ? 1? ? ?

? E2 ( AA ) ? Q? ?G ? 21
T ?

? 1 0 ? 2 ?? 1 ? ?? G12 ? ? P ? ? 0 1 0 ?? 0 ? G22 ? ? 0 0 1 ?? g ? ?? 31

?1 2 ? ? g 31 ? 2 g 13 ? 4 g 33 ?5 5 ?? ? 2 g 23 ? ? 1 g 31 ? 2 g 33 ? 5 ?

1 ? g 32 2 1 4 1 g 32 4

? g 13 ? 2 g 33 ? ? ?, g 23 ? ? g 33 ? ?

从而,
? Am ? AT ( AAT ) ?

1 ?1 2 ? ? ? g 31 ? 2 g13 ? 4 g 33 ? g 32 g13 ? 2 g 33 ? 2 ? 1 0 2 ?? 5 5 ? ? ?? 1 ? ? ? 2 0 4? ? 2 g 23 g 23 ? ? 4 ? 0 2 0 ?? ? 1 1 ? ? g 31 ? 2 g 33 g 32 g 33 ? ? 5 4 ? ? ?1 ? ? 2 g 0 g ? 13 13 ? ?5 ? 2 ? ? ? 4 g13 0 2 g 13 ? , ?5 ? ? ? 1 2 g 23 ? ? ? 4 g 23 2 ? ? 4 g ? , g 23 ? 0 就是解法一结果. 其中, g13 , g 23 是任意常数.如取 13 50
显然,最小范数广义逆不唯一,不同方法获得不同结果.

三、矩阵M-P广义逆
定义 8.1.6 设 A 为一个 m ? n 复矩阵, 若有一个 n ? m 复矩阵 G 存在,使(8.1.1)与(8.1.4)都成立,即

AGA ? A , ( AG) H ? AG ,
则称 G 为 A 的一个{1,4}-广义逆,记为 G ? A{1, 4} 或 G ? A 称 G 为 A 的一个最小二乘广义逆,记为 G ? Al? ,即有
{1, 4}

,也

AAl? A ? A , ( AAl? ) H ? AAl? .

(8.1.24)
?

显然,最小二乘广义逆 Al? 是一种特殊的减号逆 A ,是用条件 (8.1.4)限制所得出的减号逆.

定理 8.1.7 设 A 为一个 m ? n 复矩阵, ( 1) 若 A? R
m? n

为 行 满 秩 的 , 即 rank( A) ? m , 则 (8.1.25)

A H ( AAH ) ?1 是 A 的一个最小二乘广义逆,即 Al? ? AH ( AAH ) ?1 ;
( 2 ) 若 A? R
m? n

为 列 满 秩 的 , 即 rank( A) ? n , 则

( A H A) ?1 A H 是 A 的一个最小二乘广义逆,即 (8.1.26) Al? ? ( AH A) ?1 AH ; m, n} , 且 存 在 满 秩 分 解 ( 3 ) 若 rank( A) ? r ? min{ ?1 ?1 A ? BC ,则 C R BL 是 A 的一个最小二乘广义逆,即 ?1 ?1 Al? ? CR BL ? C H (CC H ) ?1 (B H B) ?1 B H . (8.1.27)
证明 仅对(3)给出证明,而且只要证明它满足(8.1.4)式.由 于 A=BC,所以

( AAl? ) H ? ( BC(C H (CC H ) ?1 ( B H B) ?1 B H ))H

? (B(B H B) ?1 B H ) H ? (B(B H B) ?1 B H ) H ? AAl? ,
即得

Al? ? C H (CC H ) ?1 (B H B) ?1 B H .

定理 8.1.8 设 Al? 是 A 的一个最小二乘广义逆, 则 A 的最小二 乘广义逆都可表示为 (8.1.28) G ? Al? ? ( E ? Al? A)V , 其中 V 是任意 n ? m 矩阵. 证明 首先证明对于任何 n ? m 矩阵 V ,式(8.1.28)所确定的 G 是 A 的最小二乘广义逆.事实上, AG ? AAl? ? A(E ? Al? A)V ? AAl? ,从而

AGA ? AAl? A ? A , ( AG) H ? ( AAl? ) H ? AAl? ? AG , 所以,式(8.1.28)所确定的 G 确是 A 的最小二乘广义逆. 其次证明对任意的最小二乘广义逆 G ,必存在 V ,使 G 具有 ? 式(8.1.28)的形式.事实上,可取 V ? G ? Al ,由于,
? H ? H ? , AG ? AAl? AG ? ( AAl? ) H ( AG) H ? ( AGAA ) ? ( AA ) ? AA l l l 所以, Al? ? (E ? Al? A)(G ? Al? ) ? Al? ? G ? Al? ? Al? AG ? Al? AAl? ? G .

?1 2 0? ? ? 例 8.1.9 设 A ? ? 0 0 2 ? ,求 A 的最小二乘广义逆. ? 2 4 0? ? ? ? 2 0 4? ? 1 ? ? 解 由例 8.1.7 以及定理 8.1.7 可知, Al ? ?4 0 8? . 50 ? ? 0 25 0 ? ? 再由定理 8.1.8 可知, A 的任意一个最小二乘广义逆可表示为 G ? Al? ? ( E ? Al? A)V
? 2 0 4? ?2 0 ? 1 ? 1 ? ? ? 4 0 8 ? ? (E ? ? 4 0 50 ? 50 ? ? ? 0 25 0 ? ? 0 25 ? 2 0 4? ? 40 ? 20 ? 1 ? 1 ? ? ? 4 0 8 ? ? ? ? 20 10 50 ? 50 ? ? 0 ? 0 25 0 ? ? 0 4 ?? 1 2 0 ? ?? ? 8 ?? 0 0 2 ?)V ? 2 4 0? 0? ?? ? 0? ? 0 ?V 0? ?

? 2 0 4? ? 4v11 ? 2v 21 4v12 ? 2v 22 4v13 ? 2v 23 ? ? 1? ? 1 ? ? ? 4 0 8 ? ? ? ? 2v11 ? v 21 ? 2v12 ? v 22 ? 2v13 ? v 23 ? 50 ? 5? ? ? 0 25 0 0 0 0 ? ? ? ? ? 2 0 4? ? ? 2 g 21 ? 2 g 22 ? 2 g 23 ? ? 1? ? 1 ? ? ? 4 0 8 ? ? ? g 21 g 22 g 23 ? 50 ? 5? ? ? 0 25 0 0 0 0 ? ? ? ? 其中 g 21 , g 22 , g 23 是任意常数.

8.1.6 加号逆A+
定义 8.1.7 设 A 为一个 m ? n 复矩阵,若有一个 n ? m 复矩阵 G 存在,使(8.1.1) 、(8.1.2)、(8.1.3)与(8.1.4)都成立,即

AGA ? A , GAG ? G , ( AG) H ? AG , (GA) H ? GA , 则 称 G 为 A 的 一 个 {1,2,3,4}- 广 义 逆 , 记 为 G ? A{1, 2,3,4} 或

G ? A{1, 2,3, 4} ,也称 G 为 A 的加号逆、或伪逆、或摩尔—彭诺斯逆 ? (M-P 逆) ,记为 G ? A ,即有
AA ? A ? A , A ? AA ? ? A ? , ( AA? ) H ? AA? , ( A? A) H ? A? A . (8.1.29)
显然,加号逆同时也是减号逆、自反减号逆、最小范数广义 逆、最小二乘广义逆.

定理 8.1.9 设 A 为一个 m ? n 复矩阵,若 rank( A) ? r ? min{ m, n} ,且 存在满秩分解 A ? BC ,则 A 存在唯一的加号逆 (8.1.30) 证明 由定理 8.1.4、定理 8.1.5、定理 8.1.7 可知,式(8.1.30)所给出得 矩阵是一个加号逆,所以,我们仅仅要证明其唯一性即可.设 G1 , G2 是两个 加号逆,于是 AG1 ? ( AG2 A)G1 ? ( AG2 )(AG1 ) ? ( AG2 ) H ( AG1 ) H ? ( AG1 AG2 ) H ? ( AG2 ) H ? AG2 同理 G1 A ? G2 A .所以,
?1 ?1 A? ? C R BL ? C H (CC H ) ?1 ( B H B) ?1 B H .

G1 ? G1 AG1 ? G1 AG2 ? G2 AG2 ? G2 ,
故加号逆是唯一的.

推论 8.1.1 (1) 若 A ? R

m? n

为行满秩的,即 rank( A) ? m ,则

(8.1.31) A? ? A H ( AAH ) ?1 ; m? n (2) 若 A ? R 为列满秩的,即 rank( A) ? n ,则 (8.1.32) A? ? ( A H A) ?1 A H .

C ? ?1 2? ,从而

?1 2? ? ? ? 例 8.1.10 设 A ? ? 0 0 ? ,求 A . ? 2 4? ? ? ?1? ?1 2? ?1? ? ? ? ? ? ? 解 由于 A ? ? 0 0 ? ? ? 0 ??1 2 ? ? BC ,其中 B ? ? 0 ? , ? 2? ? 2 4? ? 2? ? ? ? ? ? ?
?1 ?1 A? ? C R BL ? C T (CC T ) ?1 ( BT B) ?1 BT ? 1 ? ?1 ?1 1 ? 1 0 2? ?? ? 2? ?(5) (5) ?1 0 2? ? 25 ? ? 2 0 4? ?. ? ? ? ?

四、广义逆矩阵应用

在这一节,我们将会看到广义逆矩阵理论能够把相容线性方程 组的一般解、最小范数解、以及矛盾方程组的最小二乘解全部概括 和统一起来,从而以线性代数古典理论所不曾有的姿态解决了一般 线性方程组的求解问题.

8.2.1 线性方程组求解问题的提法
考虑非齐次线性方程组

Ax ? b , (8.2.1) m?n m n 其 中 A?C , b ?C 给 定 , 而 x ?C 为 未 知 向 量 . 若 rank( A?b) ? rank( A) ,则方程组( 8.2.1)有解,此时称方程组 是相容的;否则,若 rank( A?b) ? rank( A) ,则方程组(8.2.1)
无解,此时称方程组是不相容的或矛盾的.
关于线性方程组的求解问题,常见有以下几种情形: (1)若系数矩阵 A ? C
n?n

,且可逆,则方程组(8.2.1)对任

意的 b 是相容的,且有唯一的解

x ? A?1b .

(8.2.2)

(2)若 rank( A?b) ? rank( A) ,但当 A 是奇异方阵或长方矩 阵时,则方程组(8.2.1)是相容的,它的解不是唯一的.此时 A 般解(无穷多)表示成
?1

不存在,那么我们自然会想到,这时是否也能用某个矩阵 G 把一

x ? Gb

(8.2.3)

的形式呢?这个问题的回答是肯定的,我们将会发现 A 的减号逆

A? 充当了这一角色.
(3)如果方程组(8.2.1)是相容的,且其解有无穷多个,怎 样求具有最小范数的解,即

min x
Ax ? b

(8.2.4)

其中 ? 是欧氏范数.可以证明,满足该条件的解是唯一的,称之 为最小范数解或极小范数解.

(4)若 rank( A?b) ? rank( A) ,则方程组(8.2.1)不相容, 不存在通常意义下的解,但在许多实际问题中,要求出这样的解

min || Ax ? b ||2 , n
x?C

(8.2.5)

其中 || ? || 2 是向量的 2-范数.我们称这个问题为求矛盾方程组的最 小二乘问题,相应的 x 称为矛盾方程组的最小二乘解. (5)一般说来,矛盾方程组的最小二乘解是不唯一的,但在 最小二乘解的集合中,具有极小范数

min{|| x ||: min || Ax ? b ||2 } n
x?C

(8.2.6)

的解是唯一的,称之为极小范数最小二乘解,或最佳逼近解.
广义逆矩阵与线性方程组的求解有着极为密切的联系.利用前
? 一节的减号逆 A 、自反减号逆 Ar? 、最小范数广义逆 Am 、最小二
?

乘广义逆 Al? 以及加号逆 A 可以给出上述诸问题的解.
?

8.2.2 相容方程组的通解
对于一个 m ? n 的相容的线性方程组 (8.2.1) , 不论系数矩阵 A 是方阵还是长方矩阵,是满秩的还是降秩的,我们都有一个标准的 求解方法,并且能把它的解表达成非常简洁的形式.下面用定理形 式给出.

定理 8.2.1 如果线性方程组(8.2.1)是相容的, A 是 A 的任一个减号逆, 则线性方程组(8.2.1)的一个特解可表示成

?

x ? A?b ,
而通解可表示成

(8.2.7) (8.2.8)

x ? A?b ? ( E ? A? A) z ,

其中, z 是与 x 同维的任意向量. x ? b 成立.又由 x ,使 A~ 证明 因为 Ax ? b 相容,所以必有一个 n 维向量 ~
? ?

? x ? A~ x ,亦即 AA?b ? b , 于 A 是 A 的一个减号逆,所以 AA A ? A ,则有 AA A~

由此得出 x ? A b 是方程组(8.2.1)的一个特解. 其次,在式(8.2.8)两端左乘 A ,则有

?

Ax ? AA?b ? A( E ? A? A) z ? AA?b ? b , x 为任意一个解时, 所以,式(8.2.8)确定的 x 是方程组(8.2.1)的解.而且当 ~ x ,则有 若令 z ? ~ A?b ? ( E ? A? A)Z ? A?b ? ( E ? A? A)~ x ? A? b ? ~ x ? A? A~ x ? A?b ? ~ x ? A?b ? ~ x,
从而方程的任意一个解均可表示为(8.2.8)的形式.这表明由式(8.2.8)确定的 解是方程组(8.2.1)的通解.

特别地,当 b ? 0 时, (8.2.1)为齐次线性方程组,而齐次线 性方程组总是有解的,因此,有如下的结果:

推论 8.2.1 齐次线性方程组

Ax ? 0
的通解为

(8.2.9)

x ? ( E ? A? A) z .

(8.2.10)

? x1 ? 2 x2 ? x3 ? 1 例 8.2.1 求线性方程组 ? 的通解. ? ? x2 ? 2 x3 ? 2 ? 1 2 ? 1? ?1? 解 方程组的系数矩阵与常数列为 A ? ? ?0 ?1 2 ? ? ,b ?? ? 2? ? .由于 ? ? ? ? rank( A?b) ? rank( A) ? 2 ,所以方程组是相容的,并且有减号逆(例 8.1.5) ? 5 4? ? 1? ? T T ?1 A ? A ( AA ) ? ? 6 2 ? , 14 ? ? 3 8 ? ?
故所求方程组的通解为:

? 13 ? 9 z1 ? 6 z 2 ? 3 z 3 ? ?13? ? ? 3 ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? x ? A b ? ( E ? A A) z ? ?10 ? 6 z1 ? 4 z 2 ? 2 z 3 ? ? ?10? ? c? 2 ? 14 ? ? 14 ?19? ? 1 ? 19 ? 3 z ? 2 z ? z 1 2 3 ? ? ? ? ? ?
其中 c 为任意常数.

从上面例子可以看出, 用减号逆来表示相容方程组的通解是很 方便的,这是线性方程组理论的一个重大发展.但是,如何在无穷 多个解向量中求出一个长度最短的解向量呢?这便是下面要研究 的最小范数解.

8.2.3 相容方程组的极小范数解
定理 8.2.2 在相容线性方程组 Ax ? b 的一切解中具有最小范数的解为
? x ? Am b, ? 其中 Am 是 A 的最小范数广义逆.

(8.2.11)

证明

? 因为 Am 是 A 的一个减号逆,所以可设 Ax ? b 的通解为 ? ? x ? Am b ? (E ? Am A) z .

由于
? ? 2 ? ? H ? ? || x ||2 2 ?|| A mb ? ( E ? A m A) z ||2 ? ( A mb ? ( E ? A m A) z) ( A mb ? ( E ? A m A) z)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ( Am b)H ( Am b) ? ( Am b)H (E ? Am A) z ? ((E ? Am A) z)H ( Am b) ? ((E ? Am A) z)H (E ? Am A) z

而且

? ? ? ? ? ? ( Am b)H (E ? Am A) z ? x H ( Am A)H (E ? Am A) z ? x H ( Am A)(E ? Am A) z ? 0 ,

? ? 同理, ((E ? Am A) z)H ( Am b) ? 0 ,所以, ? H ? ? H ? || x ||2 2 ? (A mb) ( A mb) ? ((E ? A m A) z) ( E ? A m A) z

? ? 2 ? 2 ?|| Am b ||2 2 ? || ( E ? A m A) z ||2 ?|| A mb ||2 .
? 故 x ? Am b 是最小范数解.

定理 8.2.3 相容线性方程组 Ax ? b ,具有唯一的最小范数解. 证明 设 G1 和 G2 是 A 的两个不同的最小范数广义逆,应有

AGi A ? A , (Gi A) H ? Gi A , i ? 1,2
记 xi ? Gib , i ? 1,2 ,为线性方程组 Ax ? b 的两个最小范数解,则
2 2 || x1 ? x2 ||2 ? || G b ? G b || ? || ( G A ? G A ) x || 2 1 2 2 1 2 2

? ((G1 A ? G2 A) x) H (G1 A ? G2 A) x ? x H ((G1 A)H ? (G2 A)H )(G1 A ? G2 A) x

? x H (G1 A ? G2 A)(G1 A ? G2 A) x ? 0
所以 x1 ? x2 .这说明不同的最小范数广义逆 G1 和 G2 ,按 xi ? Gib 求 得的最小范数解是唯一的.

? x1 ? 2 x2 ? x3 ? 1 例 8.2.2 求线性方程组 ? 的最小范数解. ? ? x2 ? 2 x3 ? 2
? 1 2 ? 1? 解 由例 8.1.5 知, A ? ? ?0 ?1 2 ? ? 的最小范数广义逆 ? ?
? Am ? A H ( AAH ) ?1

?5 4? ? 1? ? ?6 2? , 14 ? ? ?3 8?

?13? 1? ? ? 所以,方程组的最小范数解为 x ? Amb ? ?10? . 14 ? ? ?19?

8.2.4 矛盾方程组的最小二乘解
定理 8.2.4 不相容方程组 Ax ? b 有最小二乘解

? ? Al? b , x
其中 Al? 是 A 的最小二乘广义逆. 证明

(8.2.12)

? ? Al? b ,于是对任意的 x 恒有, 设 Al? 是 A 的一个最小二乘广义逆, x
2 ? ? 2 ? ? || Ax ? b || 2 ? || Ax ? A x ? A x ? b || ? || AA ( Ax ? b ) ? ( AA ? E ) b || 2 2 l l 2

? ( AAl? ( Ax ? b) ? ( AAl? ? E)b) H ( AAl? ( Ax ? b) ? ( AAl? ? E)b)
? (( AAl? ? E )b) H ( AAl? ? E )b ? ( AAl? ( Ax ? b)) H AAl? ( Ax ? b) ? ( Ax ? b) H ( AAl? ) H ( AAl? ? E )b ? b H ( AAl? ? E ) H AAl? ( Ax ? b)
? 2 ?|| ( AAl? ? E )b || 2 2 ? || AA l ( Ax ? b) || 2

? ( Ax ? b) H ( AAl? )( AAl? ? E )b ? b H ( AAl? ? E ) AAl? ( Ax ? b)
2 ? ? b || 2 ? 2 ? ?|| Ax 2 ? || Ax ? Ax || 2 ?|| Ax ? b || 2

? ? Al? b 是不相容方程组 Ax ? b 的最小二乘解. 所以, x

必须注意,矛盾方程组(不相容方程组)的最小二乘解导致的 误差平方和(即在最小二乘意义下)是唯一的,但是,最小二乘解 可以不惟一.为此,有下面的定理.

定理 8.2.5 不相容方程组 Ax ? b 的最小二乘解可表示为

? ? Al?b ? (E ? Al? A) z , x
其中 z 是任意列向量.

(8.2.13)

证明

? 确为最小二乘解.因为 Al? b 是 先证( 8.2.13 )式中的 x

Ax ? b 的 最 小 二 乘 解 , 所 以 || A( Al? b) ? b || 2 取 最 小 值 , 而

? ? AAl? b ? A( E ? Al? A) z ? AAl?b ,所以, Ax

? ? b || 2 ?|| A( Al?b) ? b || 2 || Ax
? 为最小二乘解. 也取最小值,即 x

x 必可表示成(8.2.13)式的 再证 Ax ? b 的任一个最小二乘解 ~ 形式.事实上,类似于定理 8.2.4 的证明有
? 2 ? 2 ~ || A~ x ? b || 2 ? || A ( A b ) ? b || ? || A x ? A ( A b ) || 2 l 2 l 2 从 而 有 || A~ x ? A( A?b) || 2 ? 0 , 即 A(~ x ? A? b) ? 0 , 这 说 明

~ x ? Al? b 为齐次线性方程组 Ax ? 0 的一个解,所以, ~ x ? A? b ? ( E ? A? A) z , 即 ~ x ? A? b ? ( E ? A? A) z ,
l l l l

l

2

l

其中 z 是任意列向量.
如定理 8.2.5 所述, 不相容方程组的最小二乘解不是唯一的, 而 由前面 8.1 节定理 8.1.8 知道最小二乘广义逆也不是唯一的,并且, 最小二乘广义逆的通式(8.1.28)与最小二乘解的通式(8.2.23)形 式上有类似之处.

? x1 ? 2 x 2 ? 1 ? 例 8.2.3 求矛盾方程组 ?2 x1 ? x 2 ? 0 的最小二乘解. ?x ?x ?0 2 ? 1 ?1 2? ? ? 解 由于系数矩阵 A ? ? 2 1 ? 为列满秩矩阵,所以 ?1 1? ? ?
? 6 5 ? ? 1 2 1? 1 ? ? 4 7 1? ? T ?1 T Al ? ( A A) A ? ? ? 5 6? ? ? ? 2 1 1? ? ? 11 ? ? 7 ? 4 1? ?. ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? 又因向量 b ? ? 0 ? ,于是,最小二乘解为 ?0? ? ? ?1? ? 4 7 1 ?? ? 1 ? ? 4 ? 1? ? ? ? Al b ? ? ? ? x . ?0? ? ? ? ? ? ? 11 ? 7 ? 4 1?? ? 11 ? 7 ? ?0? ? 代入误差公式可得误差 将x 1 ? ? b || 2 ? || Ax . 11
?1

在最小二乘曲线拟合和多元线性回归分析中常常要计算矛盾方 程组的最小二乘解.广义逆矩阵的理论使得求矛盾方程组最小二乘 解的方法简单化、标准化了.整个求解的关键在于求出 A 的最小二 乘广义逆 Al? ,而用不着先求误差平方和,再利用极值条件,最后 求解一个新的方程组等一系列烦琐的步骤.

8.2.5 线性方程组的最佳逼近解
由于加号逆既是减号逆又是极小范数逆、最小二乘逆,故对于
? 方程组 Ax ? b ,不论其是否有解,均可用加号逆 A 来讨论(设 z

是任意 n 维向量) : ( 1 ) 当 Ax ? b 相 容 时 , x ? A? b ? ( E ? A? A) z 是 通 解 ;

x ? A ? b 是最小范数解.
? ? (2) 当 Ax ? b 不相容时,x ? A b ? ( E ? A A) z 是最小二乘

通解; x ? A b 是其中一个最小二乘解. 在下面的定理中,我们将要证明对于矛盾方程组 Ax ? b (即 不相容) , x ? A b 不但是最小二乘解,而且是具有最小范数的最 小二乘解(也称为最佳逼近解) .
?

?

定理 8.2.6 矛盾方程组 Ax ? b 的极小范数最小二乘解 (即最佳逼近解) 为

x ? A? b .
证明

(8.2..14)

由定理 8.2.5 可知,不相容方程组 Ax ? b 的最小二乘解可表示为

? ? A? b ? ( E ? A? A) z , x
所以,我们只要证明:对任意列向量 z 恒有

|| A? b || 2 ?|| A? b ? ( E ? A? A) z || 2 即可.事实上
? ? H ? ? || A? b ? ( E ? A? A) z || 2 ? ( A b ? ( E ? A A ) z ) ( A b ? ( E ? A A) z) 2

? ( A? b) H ( A? b) ? ((E ? A? A)z ) H ( A? b) ? ( A? b) H ( E ? A? A)z ? ((E ? A? A)z ) H ( E ? A? A)z H ? ? H ? ? H ? 2 ?|| A? b || 2 ? z ( E ? A A ) A b ? b (( E ? A A ) A ) z ? || ( E ? A A ) z || 2 2
? 2 ? 2 ?|| A? b || 2 ? || ( E ? A A ) z || ? || A b || 2 2 2.

? x1 ? 2 x 2 ? 1 ? 例 8.2.4 求方程组 ? 2 x3 ? 1 的最佳逼近解. ?2 x ? 4 x ? 3 2 ? 1
解 方程组的系数矩阵与常数列为

?1 2 0? ?1? ? ? ? ? A ? ? 0 0 2? , b ? ?1? ? 2 4 0? ? 3? ? ? ? ? 因为 rank( A?b) ? 3 ? 2 ? rank( A) ,故此方程组不相容.由于 ? 2 0 4? ? 1 ? ? A ? ?4 0 8? , 50 ? ? 0 25 0 ? ?

所以,该方程组的最佳逼近解为

? 2 0 4 ?? 1 ? ? 14 ? ?? ? 1 ? ? 1 ? ? x?A b? ? 4 0 8 ?? 1 ? ? ? 28? . 50 ? 50 ? ? ? ? ? ? 0 25 0 ?? 3 ? ? 25?
通过本节的讨论使我们体会到: 如果能方便地求得系数矩阵的加 号逆,则用它来表示相容或不相容线性方程组的解,是一种既简单又 严谨的计算方法.


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