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高中数学三角函数知识点及试题总结

高考三角函数

1.特殊角的三角函数值:

sin 00 = 0 cos 00 = 1 tan 00 = 0

sin3 00 = 1 2
cos3 00 = 3 2
tan3 00 = 3 3

sin 450 = 2 2
cos 450 = 2 2
tan 450 =1

sin6 00 = 3 2
cos6 00 = 1 2
tan6 00 = 3

sin9 00 =1 cos9 00 =0 tan9 00 无意义

2.角度制与弧度制的互化: 360 0 ? 2? , 180 0 ? ? ,

3 00
0

600 900

18 00 27 00 36 00

3.弧长及扇形面积公式
弧长公式: l ? ? .r 扇形面积公式:S= 1 l.r
2 ? ----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径
4.任意角的三角函数

设? 是一个任意角,它的终边上一点 p(x,y), r= x 2 ? y 2

(1)正弦 sin? = y
r
(2)各象限的符号:

余弦 cos? = x
r

正切 tan? = y
x

y

+

+

O

x

+—



y
—+ —+ x
O

y
—+ + O—

sin?

cos?

5.同角三角函数的基本关系:

tan?

(1)平方关系:sin2? + cos2? =1。(2)商数关系: sin? =tan?
cos?
(? ? ? ? k? , k ? z )
2
6.诱导公式:记忆口诀:把 k? ??的三角函数化为?的三角函数,概括为:奇变偶不变,符号 2
看象限。
?1?sin?2k? ?? ? ? sin? , cos?2k? ?? ? ? cos? , tan?2k? ?? ? ? tan? ?k ??? .

?2?sin?? ?? ? ? ?sin? , cos?? ?? ? ? ?cos? , tan?? ?? ? ? tan? .

?3?sin ??? ? ? ?sin? , cos??? ? ? cos? , tan??? ? ? ? tan? .

?4?sin?? ?? ? ? sin? , cos?? ?? ? ? ?cos? , tan?? ?? ? ? ? tan? .

口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin

? ??

? 2

??

? ??

?

cos ?

, cos

? ??

? 2

??

? ??

?

sin ?



?6?

sin

? ??

? 2

?

?

? ??

?

cos?



cos

? ??

? 2

?

?

? ??

?

?

sin

?



口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.

7 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质

8、三角函数公式:

倍角公式

降两幂角公和式与:差的三角函数关系

升幂公s式in2?:=2sin? ·cos?

1+scions(?? =?2?co)s=2 s?in?
2

·cos ?

? cos?co·s2?

1 ? cos2?
? cos22? =cos2? -sin2?

1-scions?? = 2sin2 ?
2

sin2?

?

1 ? cos2?
2 =2cos2?

-1

9.co正s(弦? 定? ?理)?=:cos? ·cos ? ? sin? ·

sin

a s?in

A

?

b sin

B

?

c sin C

?

2R

.

=1-2sin2?

余弦定理:

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cosC .

三角形面积定理. S ? 1 absin C ? 1 bc sin A ? 1 ca sin B .

2

2

2

1.直角三角形中各元素间的关系:

如图,在△ABC 中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。

(1)三边之间的关系:a2+b2=c2。(勾股定理) (2)锐角之间的关系:A+B=90°;

(3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义)

sinA=cosB= a ,cosA=sinB= b ,tanA= a 。

c

c

b

2.斜三角形中各元素间的关系:

在△ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。

(1)三角形内角和:A+B+C=π。

(2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等

a ? b ? c ? 2R 。 sin A sin B sin C (R 为外接圆半径)

(3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的

余弦的积的两倍 a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC。

3.三角形的面积公式:

(1)△= 1 aha= 1 bhb= 1 chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高); 222

(2)△= 1 absinC= 1 bcsinA= 1 acsinB;

2

2

2

(3)△= a2 sin B sin C = b2 sin C sin A = c2 sin Asin B ; 2sin(B ? C) 2sin(C ? A) 2sin(A ? B)
(4)△=2R2sinAsinBsinC。(R 为外接圆半径)

(5)△= abc ; 4R

(6)△= s(s ? a)(s ? b)(s ? c) ; ?? s ? 1 (a ? b ? c)?? ;

?2

?

(7)△=r·s。

4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少

有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三

角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般

可分为下面两种情形:若给出的三角形是直角三角形,则称为解直角三角形;若给出的三角

形是斜三角形,则称为解斜三角形

解斜三角形的主要依据是: 设△ABC 的三边为 a、b、c,对应的三个角为 A、B、C。 (1)角与角关系:A+B+C = π; (2)边与边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,a-b < c,b-c < a,c-a > b;

(3)边与角关系:

正弦定理 a ? b ? c ? 2R (R 为外接圆半径); sin A sin B sinC
余弦定理 c2 = a2+b2-2bccosC,b2 = a2+c2-2accosB,a2 = b2+c2-2bccosA;

它们的变形形式有:a = 2R sinA, sin A ? a , cos A ? b2 ? c2 ? a2 。

sin B b

2bc

5.三角形中的三角变换

三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的 特点。

(1)角的变换

因为在△ABC 中,A+B+C=π,所以 sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。

sin A ? B ? cosC , cos A ? B ? sin C ;

2

2

2

2

(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。

r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半。

(3)在△ABC 中,熟记并会证明:∠A,∠B,∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°;

△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A,∠B,∠C 成等差数列且 a,b,c 成等比数列。

四.【典例解析】

题型 1:正、余弦定理

(2009

岳阳一中第四次月考).已知△

uuur ABC 中,AB

?

r a

uuur ,AC

?

r b

rr ,a ?b

?

0 ,S?ABC

?

15 4



rr

a ? 3, b ? 5 ,则 ?BAC ?

()

A.. 30o

B . ?150o

C.1500

D. 30o 或1500

答案 C
例 1.(1)在 ?ABC 中,已知 A?32.00 , B?81.80 , a?42.9 cm,解三角形; (2)在 ?ABC 中,已知 a?20cm, b?28 cm, A?400 ,解三角形(角度精确到10 ,边
长精确到 1cm)。

例 2.(1)在 ? ABC 中,已知 a ?2 3 , c? 6 ? 2 , B?600 ,求 b 及 A; (2)在 ? ABC 中,已知 a?134.6cm , b?87.8cm , c?161.7cm ,解三角形 解析:(1)∵ b2 ?a2 ?c2 ?2accosB
= (2 3)2 ?( 6 ? 2)2 ?2?2 3?( 6 ? 2) cos 450

=12?( 6 ? 2)2 ?4 3( 3 ?1)

=8

∴ b?2 2.

求 A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:

解法一:∵cos

A?

b2

?c2 ? 2bc

a2

?

(2

2)2 ?( 2?2

6? 2?(

2 )2 ?(2 6 ? 2)

3)2

?

1 2

,

∴ A?600.

(2)由余弦定理的推论得:

cos

A?

b2

?c2 ? 2bc

a2

?

87.82 ?161.72 ?134.62 2?87.8?161.7

? 0.5543,

A?56020? ;

cos

B

?

c2

?a2 ?b2 2ca

?1342.6?21?3146.61?.7126?18.77.82

? 0.8398,

B?32053? ;

例 3.在 ?ABC 中,sin A ? cos A ? 2 ,AC ? 2 ,AB ? 3,求 tan A 的值和 ?ABC 2
的面积。
又 0? ? A ? 180? , ? A ? 45o ? 60o, A ? 105o.

?tan A ? tan(45o ? 60o) ? 1? 3 ? ?2 ? 3 , 1? 3

S ?ABC

?

1 2

AC ?

AB sin

A

?

1 2

?2?3?

2? 4

6 ? 3( 2 ? 4

6) 。

例 4.(2009 湖南卷文)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2A, 则 AC 的值等于



cos A

AC 的取值范围为

.

答案? 2 ( 2, 3)

解析 设 ?A ? ? ,? B ? 2?.由正弦定理得

由锐角 ?ABC 得 0o ? 2? ? 90o ? 0o ? ? ? 45o,

又 0o ? 180o ? 3? ? 90o ? 30o ? ? ? 60o ,故 30o ? ? ? 45o ? 2 ? cos? ? 3 ,

2

2

例 5.(2009 浙江理)(本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,

且满足 cos A ? 2

5



uuur AB

?

uuur AC

?

3



25

(I)求 ?ABC 的面积; (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.



(1)因为 cos A ? 2

5

,?cos A ?

2 cos2

A ?1?

3 ,sin

A?

4

uuur uuur ,又由 AB ? AC

?3

25

25

5

得 bc cos

A ? 3, ?bc

? 5 ,? S?ABC

?

1 bc sin 2

A?

2

(2)对于 bc ? 5,又 b ? c ? 6 ,?b ? 5, c ? 1或 b ? 1, c ? 5,由余弦定理得

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5

例 6.(2009 全国卷Ⅰ理)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知

a2 ? c2 ? 2b ,且 sin AcosC ? 3cos Asin C, 求 b

解法一:在 ?ABC 中Q sin Acos C ? 3cos Asin C, 则由正弦定理及余弦定理

有: aga2 ? b2 ? c2 ? 3 b2 ? c2 ? a2 gc, 化简并整理得: 2(a2 ? c2 ) ? b2 .又由已知

2ab

2bc

a2 ? c2 ? 2b ?4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍).
例 7. ?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时,cos A ? 2 cos B ? C 取得最 2
大值,并求出这个最大值。 解析:由 A+B+C=π,得B2+C=π2 -A2,所以有 cosB+2C =sinA2。

cosA+2cosB2+C =cosA+2sinA2 =1-2sin2A2 + 2sinA2=-2(sinA2 - 12)2+ 32;

当 sinA2 = 12,即 A=π3 时, cosA+2cosB2+C取得最大值为32。
例 8.(2009 浙江文)(本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,

且满足 cos A ? 2

5



uuur AB

?

uuur AC

?

3



25

(I)求 ?ABC 的面积; (II)若 c ?1,求 a 的值.

解(Ⅰ) cos A ? 2 cos2 A ?1 ? 2 ? ( 2 5 )2 ?1 ? 3

2

5

5

又 A? (0,? ) , sin A ? 1 ? cos2 A ? 4 ,而 AB.AC ? AB. AC.cos A ? 3 bc ? 3 ,所

5

5

以 bc ? 5 ,所以 ?ABC的面积为: 1 bcsin A ? 1 ? 5 ? 4 ? 2

2

25

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5

所以 a ? b2 ? c2 ? 2bccosA ? 25 ?1? 2?3 ? 2 5

例 9.在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a、b、c 成等比数

列,且 a2-c2=ac-bc,求∠A 的大小及 b sin B 的值。 c
∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac。 又 a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc。

在△ABC 中,由余弦定理得:cosA= b2 ? c 2 ? a 2 = bc = 1 ,∴∠A=60°。

2bc

2bc 2

在△ABC 中,由正弦定理得 sinB= b sin A ,∵b2=ac,∠A=60°, a

∴ b sin B ? b2 sin 60? =sin60°= 3 。

c

ac

2

例 10.在△ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,求 tan A ? tan C ? 3 tan A tan C 的

2

2

22

值。

解析:因为 A、B、C 成等差数列,又 A+B+C=180°,所以 A+C=120°,

从而 A ? C =60°,故 tan A ? C ? 3 .由两角和的正切公式,

2

2

tan A ? tan C

得2

2 ? 3。

1? tan A tan C

22

所以 tan A ? tan C ? 3 ? 3 tan A tan C ,

2

2

22

tan A ? tan C ? 3 tan A tan C ? 3 。

2

2

22

例 11.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( )

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

答案:C

解析:2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB=sinC,

∴sin(A-B)=0,∴A=B

例 12.(2009 四川卷文)在 ?ABC 中,A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,

且 sin A ? 5 ,sin B ? 10

5

10

(I)求 A? B 的值;

(II)若 a ? b ? 2 ?1,求 a、b、c 的值。

解(I)∵ A、B 为锐角, sin A ? 5 ,sin B ? 10

5

10

∴ cos A ? 1? sin2 A ? 2 5 , cos B ? 1? sin2 B ? 3 10

5

10

∵ 0? A?B?? ∴ A?B ? ?
4

(II)由(I)知 C ? 3? ,∴ sin C ? 2

4

2

由a?b? c得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b

又∵ a ? b ? 2 ?1

∴ 2b ? b ? 2 ?1 ∴ b ?1

∴ a ? 2,c ? 5 21.(2009 四川卷文)在 ?ABC 中,A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,

且 sin A ? 5 ,sin B ? 10

5

10

(I)求 A? B 的值;

(II)若 a ? b ? 2 ?1,求 a、b、c 的值。

解(I)∵ A、B 为锐角, sin A ? 5 ,sin B ? 10

5

10

∴ cos A ? 1? sin2 A ? 2 5 , cos B ? 1? sin2 B ? 3 10

5

10

∵ 0? A?B?? ∴ A?B ? ?
4

(II)由(I)知 C ? 3? ,∴ sin C ? 2

4

2

由a?b? c得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b

又∵ a ? b ? 2 ?1

∴ 2b ? b ? 2 ?1 ∴ b ?1

∴ a ? 2,c ? 5
五.【思维总结】
1.解斜三角形的常规思维方法是: (1)已知两角和一边(如 A、B、C),由 A+B+C = π 求 C,由正弦定理求 a、b; (2)已知两边和夹角(如 a、b、c),应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定理先求较短 边所对的角,然后利用 A+B+C = π,求另一角; (3)已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A),应用正弦定理求 B,由 A+B+C = π 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况;

(4)已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = π,求角 C。

2.三角形内切圆的半径: r

?

a

2S? ?b?

c

,特别地, r直

?

a

? b ? c斜 2



3.三角学中的射影定理:在△ABC 中, b ? a ? cosC ? c ? cosA ,… 4.两内角与其正弦值:在△ABC 中, A ? B ? sin A ? sin B ,…
5.解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大 角定理及几何作图来帮助理解”

1 如果函数 (?? )????

的图像关于点

中心对称,那么 的最小值为

(A) ?(B) ?(C) (D) ??????

2、右图所示的是函数

图象的一部分,则其函数解析式是

???A. D.

???B.

? C.?

????

3、已知函数

的最小正周期为 ,则该函数图象

A.关于直线

对称?????? ????B.关于点( ,0)对称

C.关于点( ,0)对称??????? ??D.关于直线

对称

4、由函数

的图象

A.向左平移 个单位??? ??????? B.向左平移 个单位

C.向右平移 个单位 ???????? D.向右平移 个单位

5、若

是函数

时????????

图象的一条对称轴,当 取最小正数

A.



单调递增???????????? B.



单调递减

C.



单调递减?????????? D.



单调递增

6、函数



)的最小正周期是 ,若其图像向左平移 个单

位后得到的函数为奇函数,则 的值为?????(??? )

?A. ????????B. ????????C.

????????D.

7、(2012 年高考(新课标理))已知

,函数



则 的取值范围是??????????????????????????????? ( )

上单调递减.

A.

??? B.

???? C.

????? D.

8、(2012 年高考(福建文))函数

的图像的一条对称轴是???? ( )

A.

??? B.

???? C.

9、下列命题中的真命题是???

??? D.

A.函数 周期为 2
C.函数

内单调递增 B.函数 的图象是关于点( ,0)成中心对称的图形

D.函数

的图象是关于直线 x= 成轴对称的图形

10、已知

,则

等于

A.

????B.

??? C.5 ??????D.25

11、已知正六边形 ABCDEF 的边长为 1,则

的值为

的最小正

? A. ??? ????B.

??????? C . ??? D.

12、已知平面向量





A. 1???? B. 2???? C. -2???? D. -1

与 垂直,则 是(?? )

13、设

,O 为坐标原点,若 A、B、C 三

点共线,则

的最小值是??? ??????????????????????????????????????

A.2???? B.4?????C.6?????????? D.8

14、设∠POQ=60°在 OP、OQ 上分别有动点 A,B,若 · =6, △OAB 的重心是 G,则| | 的最小值是(?? )
?A.1??? B.2??? C.3????? D.4

15、若

是夹角为 的单位向量,且

,则



A.1??????? B.-4??????? C. ??????? D.

16、已知圆 O 的半径为 积是

,圆周上两点 A、B 与原点 O 恰构成三角形,则向量

的数量

A. ??????B. ??????? C. ???????? D.
17、如图,已知点 O 是边长为 1 的等边△ABC 的中心,则( (??? )

)·(

)等于

?A. ??????B. ??????? ?? C. ???????? D.

18、(2012 年高考(大纲文))若函数

是偶函数,则 ???( )

A. ?????? B. ?????? C. ?????? D.

19、若

<0,且

<0,则有 在

A.第一象限???????? B.第二象限????? ??C.第三象限?????? D 第四象限

20、函数 y=cosx

(o≤x≤ ,且 x≠ )的图象为

21、在

中,内角 A、B、C 的对边长分别为 、 、 ,已知 求 b.??????

,且

22、已知函数



(Ⅰ) 求函数

的单调递增区间;

(Ⅱ)已知

中,角

所对的边长分别为

,若







的面积 .

23、已知向量

(I)若

,求

的值;

(II)记

,在

中,角

的对边分别是

,求函数

的取值范围。

,且满足

24、设

=3,计算:(1)

;(2)



25、已知向量



(1)当 ∥ 时,求

的值;(2)求



上的值域.

26、已知函数 f(x)=
(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及单调增区间; (Ⅱ)若函数 f(x)的图像向右平移 m(m>0)个单位后,得到的图像关于原点对称,求实数 m 的最 小值.

27、已知函数

?? (1)求函数

的最小正周期;

?? (2)若对

,不等式

恒成立,求实数 m 的取值范围.

28、函数 的距离为 ,

(

)的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之间

(1)求函数

的解析式;

(2)设

,则

,求 的值.

29、已知函数 时,函数

的最小值为 0。

?? (I)求函数

的表达式;

?? (II)在△ABC,若

的最小正周期为 ,且当 的值。

30、? 设函数

???? (I)求函数

的最小正周期; (II)设函数

对任意

,有



且当

时,

; 求函数



上的解析式。

31、?????? 已知函数



(Ⅰ)求函数

的最小正周期和值域;

(Ⅱ)若 为第二象限角,且

,求

32、已知两个不共线的向量 a,b 夹角为 ,且

(1)若

垂直,求



的值. 为正实数。

(2)若

,求

的最小值及对应的 x 值,并指出向量 a 与 xa-b 的位置关系;

(3)若 为锐角,对于正实数 m,关于 x 的方程 的取值范围。

有两个不同的正实数解,且

33、设△

的内角

所对边的长分别为 。

,且有

(Ⅰ)求角 A 的大小;(Ⅱ) 若

, , 为 的中点,求 的长。

34、已知函数





(1)求函数

的最小正周期,并求函数



上的最大值、最小值;

(2)函数

的图像经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数

的图像

35、已知向量

,函数

·,

?????? (Ⅰ)求函数

的单调递增区间;

?????? (Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足

及函数

的值域.

,且边 b 所对的角为 ,试求 的范围

36、

的值为______。

37、设向量

⊥ ,则| |=____________.

38、已知平面向量



,则 与 的夹角余弦值等于 ?????.

39、已知 A、B、C 的坐标分别为 A(3,0)、B(0,3)、C(

),



(1)若

,求角 的值;

(2)若

,求

的值.

1、故选 A 2、.A 3、B 4、B5、A 6、C 7、 ?8、C 9、C10、C 11、D 12、D 13、D14、B 15、

C 16、C17、D 18、C 19、D20、C 21、



m 的取值范围为 33、(Ⅰ)

(II)


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